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高二年级期末考试试卷
数 学 2026.01
本试卷满分 150分，考试用时 150分钟。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.抛物线 的准线方程是
A. B. C. D.
2.等比数列 的前 n项和为 ，且 ， ，则 ( )
A. 63 B. 48 C. 31 D. 15
3.某书架的第一层放有 8本不同的数学书，第二层放有 5本不同的物理书.从这些书中任
取 1本数学书和 1本物理书，不同的取法有( )
A. 13种 B. 40种 C. 种 D. 种
4.已知双曲线 的左、右焦点为 ， ，若双曲线 C上存在点 P满足
，则双曲线 C的一条渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.点 关于直线 对称的点的坐标为
A. B. C. D.
6.已知函数 在区间 上单调递增，则实数 a的最小值为
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
7.若圆 与圆 的公共弦长为 ，则 ( )
A. 1 B. C. 2 D.
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8.已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，
则实数 a的取值范围为
A. B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知两直线 与 ，则( )
A.直线 过定点 B.直线 在 y轴上的截距为 1
C.当 时， D.当 时， 与 之间的距离为
10.已知函数 ，则 ( )
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C.点 是曲线 的对称中心 D.直线 是曲线 的切线
11.已知抛物线 C： 的焦点 F到准线的距离是 4，直线 l过它的焦点 F且与
C交于 ， 两点，M为弦 AB的中点，则下列说法正确的是( )
A.抛物线 C的焦点坐标是 B.
C.若 ，则
D.若以 M为圆心的圆与 C的准线相切，则 AB是该圆的一条直径
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 在点 处的切线方程为 .
13.某校 3名男大学生和 2名女大学生被安排到 3个不同的单位实习，每个实习单位至少
安排 1名实习学生且性别相同，则不同的安排方法有 种.
14.若 A， B是平面内不同的两定点，动点 P满足 且 ，则点 P的轨迹
是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故被称为阿波罗尼斯圆，简
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称阿氏圆.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 ，圆 若圆 C上存在
点 M，使 ，则实数 a的取值范围是 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. 本小题 13分
平面直角坐标系中，已知 三个顶点的坐标分别为 ， ，
求 BC边所在的直线方程；
求 的面积.
16. 本小题 15分
设等差数列 的前 n项和为 ，已知 ， ，求：
数列 的通项公式；
数列 的前 n项和 ．
17. 本小题 15分
已知圆 C的圆心为 ，且圆 C经过点
求圆 C的标准方程；
若直线 l： 与圆 C相交于 A，B两点，求弦 AB的长；
求过点 且与圆 C相切的直线方程.
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18. 本小题 17分
已知函数 ，
(1)当 时，求 的极值；
(2)若函数 在其定义域内单调递增，求实数 m的取值范围；
(3)若 ，且 有两个极值点 ， ，其中 ，求 的取值范围.
19. 本小题 17分
已知椭圆 的离心率是 ，且过点
求椭圆 C的标准方程；
过点 的直线 l与 C交于 A，B两点.
若 ，且直线 l的倾斜角为 ，求线段 AB的长；
若直线 l的斜率不为 0， ，是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求
出 s的最小值；若不存在，请说明理由.
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第 5页共 5页高二年级期末考试试卷
数学答案 2026.01
一、单选题：
1 2 3 4 5 6 7 8
A C B D C B A A
二、多选题：
9 10 11
AC AC ABD
三、填空题：
12. 13.24 14.
四、解答题：
15.解： 因为 ， ，
所以 BC所在的直线方程为 ， ˙˙˙˙˙˙˙˙˙4分
即 ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙6分
，C两点间的距离为 ，˙˙˙˙˙˙˙8分
点 A到直线 BC的距离 ， ˙˙˙˙˙11 分
所以 的面积为 ˙˙˙˙˙13 分
16.解： 设等差数列 的公差为 d，
等差数列 中， ，
，
，
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，
联立 ，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙2分
， ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙4分
； ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙6分
，˙˙˙˙˙˙˙˙9分
， ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙12 分
.˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙15 分
17.解： 设圆的标准方程为： ，
将点 代入，可得 ，解得 ，˙˙˙˙˙˙2分
所以圆 C的标准方程为 ； ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙4分
圆心 到直线 l： 的距离 ， ˙˙˙˙˙6分
所以弦长 ； ˙˙˙8分
根据 ，可知 在圆外；˙˙˙˙˙9分
①当过点 的直线斜率不存在时，
直线为 ，与圆相交，不符合题意； ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙11 分
②当过点 P的直线斜率存在时，
设过 P与圆相切的直线方程为 ，即 ，
根据圆心到切线的距离 ，
可得 ，解得 ， ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙13 分
可得切线方程为 或 ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙15 分
综上所述，过点 且与圆 C相切的直线方程为 或
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18. 解：(1)函数 f(x)的定义域为 ，
当 时， ,
所以 , ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙2
分
令 ，解得 或 ,
当 时， ， 单调递增；当 时， ，
单调递减；当 时， ， 单调递增；˙˙˙˙˙˙4分
因此，函数 的极大值为 ，极小值为 .
˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙6
分
(2)由已知 的定义域为 ，
则题意等价于 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙8分
由对勾函数性质知， 时， ，
当且仅当 时等号成立，
，即 ；˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙11 分
(3)由已知 ，
有两个极值点 ， ，
， 为方程 的两个不相等的实数根，
则 ， ，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙13 分
， ，
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又 ，解得 ，
，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙15 分
设 ，
则 ，
在 上单调递减，
又 ， ，
，
即 的取值范围为 ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙17 分
19.解： 椭圆 的离心率是 ，且过点 ，
得 ，得 ，
又 ，所以 ，
又 ，
解得 ， ，
所以椭圆 C的标准方程为 ；˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙5分
设 ， ；
由题意可得直线 l的方程为 ，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙7分
联立 ，
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得 ，
所以 ，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙9分
所以 ；˙˙˙
˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙11 分
存在点 P，使得 为定值，s的最小值为 ；
由题意，可设 l： ，
联立 ，
得 ，
则 ，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙13 分
且 ，因为 ，
所以
，˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙15 分
因为 为定值，所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，
第 5页共 6页
20.当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 s的最小值为 ˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙˙17 分
第 6页共 6页

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