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2026年河南省洛阳市汝阳县中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，一定是二次根式的是（　　）
A. B. C. D.
2.下面调查统计中，适合采用普查方式的是（　　）
A. 了解某爆款商品的受众群体的收入情况
B. 了解某市学生观看春节档电影的情况
C. 了解郑州市民对2026年总台春晚的喜爱程度
D. 了解春晚节目《武BOT》中H1型人形机器人的所有零件情况
3.计算的结果为（　　）
A. B. C. D.
4.将一元二次方程x2-8x=0配方后变形为（x+a）2=b,则a的值为（　　）
A. 4 B. -4 C. 8 D. -8
5.奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是（-1，4），河南博物院的坐标是（2，0）.他们相约在二七纪念塔会合，在这张简图上二七纪念塔的坐标为（　　）
A. （1，-2） B. （-1，-2） C. （-2，1） D. （0，-2）
6.如图，一个矩形木箱放置在斜面上，此时BD恰好与地面EF平行.已知∠CEF=α，AB=3，则点A到BD所在直线的距离可表示为（　　）
A. 3cosα
B.
C. 3sinα
D.
7.如图，在⊙O中，AB，AC是弦，圆心O在∠BAC的内部，若∠ABO=32°，∠ACO=28°，则∠BOC的度数是（　　）
A. 132°
B. 120°
C. 110°
D. 100°
8.关于x的方程x2-kx+k-1=0（k为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数的图象经过（-1，a），（-2，b），（2，c）三点，则a,b,c之间的大小关系为（　　）
A. c＞b＞a B. c＞a＞b C. a＞b＞c D. a＞c＞b
9.如图，已知射线OB分别与二次函数，的图象交于点A，B，且OB=4OA，则下列有关a,b的关系，判断正确的是（　　）
A.
B.
C. a=16b
D. a=4b
10.如图，点P1的坐标为（1，0），P2为y轴正半轴上一点，且∠OP2P1=30°，一只电子跳蚤按箭头方向在坐标轴上进行跳动.第一步从P1跳到P2处，第二步从P2跳到P3处，且P1P2=P1P3，第三步从P3跳到P4处，且P2P3=P2P4，第四步从P4跳到P5处，且P3P4=P3P5，…，按此规律一直跳下去，则P10的坐标为（　　）
A. B. C. （27，0） D. （0，81）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.请写出一个当x＞0时，y随x增大而减小的二次函数的表达式 .
12.2026年3月14日是全球第七个“国际数学日”，其主题为“数学与希望”.为了让同学们更好地领略数学的魅力，某校在活动日策划了“数独王国“方程追击”“数字解谜”三个挑战游戏.每人随机选择参与其中一个游戏，则晓晓和轩轩恰好选到同一个游戏的概率为 .
13.如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形.若两个大正方形ABCD，A′B′C′D′的面积均为75cm2，重叠部分的小正方形A′ECF的面积为27cm2，则BE的长为 cm.
14.将半径为4的圆按如图所示的方式折叠得到一个弓形（阴影部分），若折痕到圆心的距离为2，则弓形的面积为 .（结果保留π）
15.如图，在锐角三角形ABC中，以AC为边作等边三角形AEC，以AB为边作等腰三角形AFB，其中AF=BF，∠AFB=120°，D为BC的中点，分别连接FD和ED，若FD的长为6，则DE的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算：；
（2）解方程：3（x-1）=x（1-x）.
17.(本小题9分)
每年的4月23日是世界读书日.某校为了解学生进行课外阅读的情况，在该校学生中随机抽取部分学生展开关于每周课外阅读时长的调查（每人必选其中一项），其中A：每周课外阅读小于1小时，B：每周课外阅读1～3小时，C：每周课外阅读3～5小时，D：每周课外阅读5小时以上.将参加调查的学生的数据整理后，依据样本数据得到如下两幅不完整的条形图和扇形图.
请根据图中所给出的信息解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是______，n=______；
（2）直接补全条形统计图；
（3）扇形统计图中“C”部分对应扇形的圆心角为______度；
（4）若该校有2000名学生，请你估计每周阅读时长不少于3小时的学生有多少人.
18.(本小题9分)
根据题目要求，用无刻度的直尺作图，并回答相应问题.（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图1，点A，B，C都在格点上，在网格中求作△A1B1C，使得△A1B1C与△ABC是以点C为位似中心，相似比为2的一对位似图形；
（2）根据（1）中所作图形，可得=______；
（3）如图2，点D，E都在格点上.在DE上求作一点P，使得EP：PD=1：3.
19.(本小题9分)
楼宇间无人机精准配送、城市间低空出行场景加速落地、田间植保无人机高效作业…如今，低空经济早已不是电影中的科幻场景，而是实实在在地走入了人们的生产生活.小明发现学校的无人机社团正在训练，如图，他站在教学楼上的点C处测得无人机（点E）的仰角为27°，同时小亮站在操场上的点B处利用测倾仪测得无人机（点E）的仰角为37°，经测量得知测倾仪到地面的距离为1.6米（AB=1.6米），点B到教学楼底部点D的距离为30米（DB=30米），小明得知教学楼上的点C距离地面19.6米（CD=19.6米），所有点都在同一平面内，DC⊥DB，AB⊥BD，则此时无人机的飞行高度为多少米？
（参考数据：，，，，，）
20.(本小题9分)
“如何仅用直尺和圆规过圆上一点作已知圆的切线？”小明提出一种想法：如图，设点P为⊙O上一点，先作射线PO交⊙O于点Q，再以⊙O上一点A为圆心（点A不与点P，Q重合），以AP长为半径画圆弧，交射线PQ于点B，交射线BA于点C，连接PC.
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）若，AP=12，求⊙O的半径.
小明的思考过程如下：
如图，连接AQ.…
请你将他的思考过程补充完整.
21.(本小题9分)
根据以下素材，完成任务.
素材1 优优生鲜超市10月份在某配送平台开展外送服务.已知该超市10月份第一周在该配送平台完成订单250单，10月份第三周完成订单490单.
素材2 该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为200单；若配送费每提高1元，日订单量将减少10单.
问题解决
任务 （1）求该超市10月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率；
（2）为使在该配送平台日利润达到1280元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？
22.(本小题10分)
某校大课间开展“抛沙包游戏”的综合实践活动.
【研究背景】活动中，甲、乙、丙站在同一条直线上，其中甲抛沙包，乙接沙包，丙在两人之间拦截，将沙包看作一个点，沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线.
【探究发现】如图，以甲站立的位置为原点，三人所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，沙包飞行的高度记为y（单位：m），沙包距甲的水平距离记为x（单位：m），沙包的运行路线可以近似看作是抛物线L1：y=a（x-4）2+2.6的一部分，如果甲在A（0，1.6）处将沙包抛给乙，乙恰好在B（10，c）处接到沙包.
【建立模型】
（1）求抛物线L1的函数解析式（不要求写自变量取值范围）；
【应用模型】
（2）丙竖直跳起，拦截的最大高度为1.6m,求丙拦截沙包成功的运动范围；
（3）如果乙在B处接到沙包后，原地将沙包回传，回传沙包的运行路线可以近似看作是抛物线L2：y=-x+2c+1的一部分，已知回传沙包到达其飞行的最高点时，沙包离站在原地的甲的水平距离不大于7m.求k的最大值.
23.(本小题10分)
综合与实践
【情境】用直角三角板在如图1所示的纸片Rt△ABC（∠BAC=90°）中画裁剪线，裁剪出两个相似三角形（三角形纸片可以完全使用，也可以有剩余）.
【操作】小云和君君尝试用不同方法解决问题.
小云的思路如下：如图2，过点A作边BC上的高AH，AH即为裁剪线.
君君的思路如下：如图3.
Ⅰ.在边BC上取一点M，过点M作MP⊥AB，垂足为P；
Ⅱ. ______，即PM，MQ为裁剪线.
【探究】根据以上描述，解决下列问题.
（1）如图2，求证：△ABH∽△CAH；
（2）君君的思路中，若点Q在AC上.
①请你在Ⅱ中的横线上补全内容，并在图3中补全图形；
②若PM：AC=2：3，BP=8，求MQ的长；
【应用】
（3）如图4，在四边形纸片ABCD中，AB⊥CB，DC⊥CB，AB=8，CD=3，BC=10.在边BC上找一点N，连接AN，DN，若沿AN，DN裁剪出的△NAB与△NCD相似，直接写出BN的长.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】y=-x2-2x-1
12.【答案】
13.【答案】2
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】 x1=-3，x2=1
17.【答案】50;32 108 估计每周阅读时长不少于3小时的学生有1040人
18.【答案】如图1，△A1B1C即为所求； 4 如图2，点P即为所求．

19.【答案】此时无人机的飞行高度为21.4米．
20.【答案】由题可得AB=AP=AC，点B，A，C在同一条直线上，
∴BC为⊙A的直径，
∴∠BPC=90°，即OP⊥PC．
∵OP为⊙O的半径，
∴PC为⊙O的切线 ⊙O的半径为7.5
21.【答案】40%；
12元
22.【答案】 丙拦截沙包成功的运动范围为在距离甲8到10米的地方，即8≤x＜10 14
23.【答案】证明：根据题意可知∠AHB=∠CHA=90°，∠BAC=∠AHB=90°，
∴∠ABH=90°-∠HAB=∠CAH．
∴△ABH∽△CAH ①过点M作MQ⊥AC，垂足为Q，
补全图形如下：
②MQ=4 BN的长为或4或6
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