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2026年江苏省南通市海门区东洲国际学校中考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026的倒数是（　　）
A. 2026 B. C. D. -2026
2.下列计算正确的是（　　）
A. a2+2a2=3a4 B. a6÷a3=a2 C. （a-b）2=a2-b2 D. （ab）2=a2b2
3.在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如表，则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（　　）
投中次数 6 7 8 9 10
人数 3 3 2 1 1
A. 5.7，7 B. 6.4，7.5 C. 7.4，7 D. 7.4，7.5
4.如图，PA切⊙于点A，OP交⊙O于点B，且点B为OP的中点，弦AC∥OP.若OP=2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A=88°，∠C=42°，AB=60，则点A到BC的距离为（　　）
A. 60sin50° B. C. 60cos50° D. 60tan50°
6.如图所示，把多块大小不同的30°角三角板，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与x轴重合且点A的坐标为（2，0），∠ABO=30°，第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交x轴于点B1，第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交y轴于点B2，第四块三角板斜边B2B3与第三块三角板的斜边B1B2垂直且交x轴于点B3．按此规律继续下去，则线段OB2020的长为（　　）
A. 2×（）2020 B. 2×（）2021 C. （）2020 D. （）2021
7.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E为边CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD=60°，则△OCE的面积是（　　）
A.
B. 2
C. 2
D. 4
8.如图（1），长方形ABCD中，AE=6cm,AB=8cm,点P从B出发，沿折线BE—ED—DC匀速运动，运动到点C停止.P的运动速度为2cm/s,运动时间为t（s），△BPC的面积为y（cm2）.y与t的函数图象如图（2），则下列结论正确的有（　　）
①a=7；②b=10；③当t=3时，△PCD为等腰三角形；④当t=10s时，y=12cm2
A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④
9.直线y=x+4分别与x轴、y轴相交于点M，N，边长为2的正方形OABC一个顶点O在坐标系的原点，直线AN与MC相交于点P，若正方形绕着点O旋转一周，则点P到点（0，2）长度的最小值是（　　）
A. 2-2
B. 3-2
C.
D. 1
10.如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（3，2）在对角线OB上，反比例函数y=（k＞0，x＞0）的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为（　　）

A. （4，） B. （，3） C. （5，） D. （，）
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.若a2-3a+2=0，则1+6a-2a2= .
12.若关于x的方程（k-1）x2+6x+9=0有两个相等的实数根，则k的值是 .
13.小明和小红玩抛硬币游戏，连续抛两次，小明说：“如果两次都是正面，那么你赢；如果两次是一正一反，则我赢．”判断该游戏______（填“公平”或“不公平”）．
14.如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=45°，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为 .
15.若关于x的一元二次方程x2-2mx-4m+1=0有两个相等的实数根，则（m-2）2-2m（m-1）的值为______．
16.如图，已知矩形OABC的面积为，它的对角线OB与双曲线相交于点D，且OB：OD=5：3，则k= ______．
17.如图，已知∠MON是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM、ON于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC.过点A作AD∥ON，交射线OC于点D，过点D作DE⊥OC，交ON于点E.设OA=5，DE=6，则sin∠MON= .
18.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，tanA=2，，以BC为直径作圆，圆心为O，过圆上一点D作直线AB的垂线，垂足为E，则AE+DE的最大值是 .
三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
计算：
（1）；
（2）解方程：；
（3）化简：.
20.(本小题10分)
现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽到卡片上的数字恰好为3的概率是______；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
21.(本小题10分)
如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AE交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE⊥CD；
（2）已知AE=4cm，CD=6cm，求⊙O的半径．
22.(本小题10分)
天气渐暖，越来越多的人在工作之余选择到野外游玩.“五一”期间，小明一家去金石滩附近露营.如图，小明同学为测量一棵大树AB的高度，他先在水平地面的点E处用高1.5m的测角仪DE测得∠ADC=35°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得∠AFC=42°.求大树AB的高度.（结果精确到1m.参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
23.(本小题10分)
某种型号汽车油箱容量为40L，每行驶100km耗油10L．设一辆加满油的该型号汽车行驶路程为x（km），行驶过程中油箱内剩余油量为y（L）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）为了有效延长汽车使用寿命，厂家建议每次加油时油箱内剩余油量不低于油箱容量的，按此建议，求该辆汽车最多行驶的路程．
24.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E，F分别为BC上两个动点，连接EF，将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为H，G.
（1）如图1，当点G落在DC边上时，连接BG.
①求的值；
②若点G为DC的中点，求CF的长.
（2）如图2，若E为AD的中点，，求sin∠GBC的值.
25.(本小题10分)
如图，二次函数y=x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，-3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1-y2|=2，求x1、x2的值．

26.(本小题10分)
如图①，已知矩形ABCD中，AB=60cm,BC=90cm.点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动.当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动.设点P、Q运动的时间为t（s）.
（1）当t= ______s时，△BPQ为等腰三角形；
（2）当BD平分PQ时，求t的值；
（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G.
探索：是否存在实数t,使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由.
27.(本小题16分)
问题提出
（1）如图①，已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，则S△ACD ______S△BCD（填“＞”“＜”或“=”）；
问题探究
（2）如图②，⊙O的直径为20，点A，B，C都在⊙O上，AB=12，求△ABC面积的最大值；
问题解决
（3）如图③，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=20，BC=10，根据设计要求，点D为∠ABC内部一点，且∠ADB=60°，过点C作CE∥AD交BD于点E，连接AE，CD，试求满足设计要求的四边形ADCE的最大面积.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】5
12.【答案】2
13.【答案】不公平
14.【答案】2
15.【答案】
16.【答案】12
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】-4
20.【答案】解：（1）从中任意抽取1张，抽到卡片上的数字恰好为3的概率=；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数，即和为3或6的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率==．
21.【答案】（1）
证明：连接OA．
∵AE是⊙O切线，
∴OA⊥AE，
∴∠OAE=90°，
∴∠EAD+∠OAD=90°，
∵∠ADO=∠ADE，OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA=∠ADE，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥CD；
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF=AE=4cm．
又∵OF⊥CD，
∴DF=CD=3cm．
在Rt△ODF中，OD==5cm，
即⊙O的半径为5cm．
22.【答案】11m．
23.【答案】解：（1）由题意可知：y=40-，即y=-0.1x+40
∴y与x之间的函数表达式：y=-0.1x+40．
（2）∵油箱内剩余油量不低于油箱容量的
∴y≥40×=10，则-0.1x+40≥10．
∴x≤300
故，该辆汽车最多行驶的路程是300km．
24.【答案】解：（1）①过点A作AM∥EF，交BC于点M，交BG于点N，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥EF，
∵AM∥EF，
∴四边形AEFM为平行四边形，
∴AM=EF．
∵将矩形沿EF折叠，点A，B的对应点分别为H，G，
∴EF垂直平分BG，
∴AM⊥BG，
∴∠BAM+∠ABG=90°．
∵∠ABG+∠CBG=90°，
∴∠BAM=∠CBG．
∵∠ABM=∠BCG=90°，
∴△BAM∽△CBG，
∴，
∴；
②设CF=x,则BF=12-x.
∵点B，G关于EF对称，
∴EF垂直平分BG，
∴BF=GF=12-x.
∵点G为DC的中点，
∴CG=CD，
∵AB=CD=8，
∴CG=4．
在Rt△GFC中，
∵CF2+CG2=FG2，
∴x2+42=（12-x）2，
解得：x=．
∴CF的长为；
（2）过点F作FK⊥AD于点K，如图，
∵E为AD的中点，
∴DE=AD=6．
∵，
∴FC=BC=4．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∵FK⊥AD，
∴四边形KFCD为矩形，
∴∠KFC=90°，DK=FC=4，FK=CD=8．
∴EK=DE-DK=2．
∴EF==2．
∴sin∠EFK=．
∵∠KFC=90°，
∴∠BFK=90°，
∴∠EFK+∠BFE=90°，
∵EF⊥BG，
∴∠BFE+∠GBC=90°，
∴∠GBC=∠EFK，
∴sin∠GBC=sin∠EFK=．
25.【答案】解：（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，-3），
故抛物线的对称轴为x=2，
即-b=2，
解得：b=-4；
（2）由（1)得二次函数的解析式为y=x2-4x，
把y=-3代入y=x2-4x并解得x=1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，-3）、（3，-3），则BC=2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ=BC=2，故x2-x1=2，
又∵y1=x12-4x1，y2=x22-4x2，|y1-y2|=2，
故|（x12-4x1）-（x22-4x2）|=2，|x1+x2-4|=1．
∴x1+x2=5或x1+x2=3，
由，解得；
由，解得．
26.【答案】
27.【答案】（1）=；
（2）取优弧的中点记为C1，过C1作AB的垂线，垂足为D，由垂径定理知C1D过O且AD=BD，如图②所示.
过点C作AB的平行线a，
∵当直线a向上平移时，a距AB的距离增大，即△ABC的AB边上的高增大，
∴当a运动到最高点C时，△ABC的AB边上的高最大，
又∵AB为常数，
∴当C运动到C1时，△ABC的面积最大，
下面计算△ABC1的面积：
连接OB，
在Rt△OBD中，
∵AB=12，⊙O的直径为20，
∴BD=6，BO=10，OC1=10，
由勾股定理得：
OD===8，
∴C1D=OD+OC1=8+10=18，
∴△ABC1的面积为：AB C1D=×12×18=108，
∴△ABC面积的最大值为108；
（3）过点C作CF∥BD交AD的延长线于F，如图③-1所示，
∵CF∥BD，
∴∠F=∠ADB=60°，
∵AD∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴DF=CE，FC=DE，
在△DFC和△CED中
∴△DFC≌△CED（SSS），
∴S△DFC=S△CED，
又由（1）的结论知S△DAC=S△DAE，
∴S四边形ADCE=S△DAE+S△CED=S△DAC+S△DFC=S△AFC，
所以只需求得S△AFC最大值即得S四边形ADCE的最大值.
以AC为边向△ABC外作等边三角形△AGC，再作等边△AGC的外接圆，过G作GJ⊥AC于J，如下图③-2所示，
∵∠F=60°，
∴点F在△AGC的外接圆上，
由第（2）问的解决知，当F运动到点G时，S△AFC最大=S△ACG；
在Rt△ABC中：
由勾股定理得AC===10，
∴AJ=AC=5，
∴GJ=×10=15，
∴S△ACG=AC×GJ=×10×15=75；
∴四边形ADCE的最大面积是75。
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