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2026年山西省晋中市榆社县河峪中学、郝北中学等中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视.在验光时，验光师经常会以“***D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“-0.50D”，近视100度记录为“-1.00D”，等等.通常，近视超过200度时就要持续配戴眼镜进行视力矫正，有4位同学的验光记录如下，需要持续配戴眼镜的是（　　）
A. -1.25D B. -0.75D C. -1.75D D. -2.25D
2.在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意.以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（　　）
A. B.
C. D.
3.五台山位于山西省忻州市，是中华十大名山之一.其由五座山峰环抱而成，因峰顶平坦如台、无林木覆盖而得名.以下是五台山五座主峰的具体海拔数据：
东台（望海峰） 西台（挂月峰） 南台（锦绣峰） 北台（叶斗峰） 中台（翠岩峰）
2796米 2773米 2485米 3061米 2894米
根据上述五座山峰的海拔数据，下列说法错误的是（　　）
A. 这五座山峰海拔的最大值与最小值相差576米
B. 这五座山峰海拔的中位数为2796米
C. 这五座山峰海拔的众数为2700米
D. 这五座山峰海拔的平均数为2801.8米
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，已知AD=2，DB=3，DE=4，则BC的长为（　　）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
5.不等式x-3（x-2）≥4的解集在数轴上表示为（　　）
A. B.
C. D.
6.如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A，C嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是（　　）
A.
B.
C.
D.
7.为开展跨学科实践活动，某小组准备了四款功能不同的AI智能辅助软件：“智学助手”“思维导图大师”“速记精灵”“解题通”.小聪和小明各自从这四款软件中随机选择一款，若选择每款软件的可能性相同，则下列事件中，发生可能性最大的是（　　）
A. 两人选择的软件完全相同
B. 两人选择的软件完全不同
C. 小明选中“思维导图大师”，小聪选中“解题通”
D. 至少有一人选中“智学助手”
8.食用油的沸点温度远高于水的沸点温度（100℃）.为了用刻度不超过100℃的温度计测量出某种食用油沸点的温度，在锅中倒入一些这种食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔10s测量一次锅中油温，测得的数据如表：
时间t/s 0 10 20 30 40
油温y/℃ 10 30 50 70 90
观察发现，烧了110s时，油沸腾了，估计这种食用油的沸点温度是（　　）
A. 200℃ B. 230℃ C. 260℃ D. 290℃
9.如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是边BC上一点，将△ABE沿AE折叠，点B落在矩形内的点F处，连接CF，若△CEF是直角三角形，则BE的长为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
10.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是:画Rt△ABC，使∠ACB=90°,BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，则该方程的一个正根是（）
A. AC的长 B. AD的长 C. BC的长 D. CD的长
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：x3-2x2+x= ．
12.在平面直角坐标系中，将线段OA绕点O顺时针旋转90°得到线段OA′，点A′的坐标为（-2，3），则点A的坐标为 .
13.如图，A、B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A、B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是 .
14.如图1，车轮为正方形的自行车可在特定路面上平稳行驶，且车轮中心到水平地面的距离保持不变.已知正方形车轮的边长为50cm,则图2中路面横截面最高点到水平地面的距离AD的长为 cm.
15.在△ABC中，B C=4，C A=5，A B=6，B D平分∠ABC，过点C作AC的垂线，交DB的延长线于点E，则线段CE的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
计算及化简：
（1）；
（2）（a+3）（a-2）-a（a+1）.
17.(本小题9分)
为积极响应教育部关于“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的号召，传承弘扬中华优秀体育文化，推动全民健身与校园体育深度融合，某校为更好地落实相关精神，了解学生参加体育活动情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如下表），并对数据进行整理分析.部分信息如下：
调查问卷1.你每天参加体育活动（含体育课）的时间（单位：小时）（_____）（单选）
A.0.5≤x＜1 B.1≤x＜1.5 C.1.5≤x＜2 D.x≥2
2.随着体育活动时间增加，学校拟增设特色体育项目，你希望增设的项目有（_____）（可多选）
E.球类F.田径类G.体操类H.传统武术类
希望增设的活动项目统计表
活动项目 球类 田径类 体操类 传统武术类
百分比 72% 23% 40% 46%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）参与这次问卷调查的学生人数有______人；
（2）若该校共有1000名学生，请估计每天参加体育活动时间不低于2小时的学生人数；
（3）基于上述两项调查的数据，提炼一条信息，并向学校提出一条合理化建议.
18.(本小题9分)
如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD=CE
（1）求证：OA=OB；
（2）已知AB=4，OA=4，求阴影部分的面积．
19.(本小题9分)
为弘扬三晋文化，山西博物院推出独具山西特色的系列文创产品.已知一个“黄河魂”帆布包的进价比一个“霜红之韵”月色满裳杯垫的进价多5元，用200元购进帆布包的数量与用150元购进杯垫的数量相同.求一个帆布包和一个杯垫的进价各是多少元.
20.(本小题9分)
学科实践
【情境再现】如图，春节前夕，小东借助斜靠在墙上的梯子，帮助爷爷张贴院门春联.
【数学眼光】使用梯子时，安全攀爬高度不仅与梯子长度有关，还与梯子和地面所成的角度有关.
【AI来助力】借助AI模拟分析可知：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足：50°≤α≤75°.
【数学思考】已知小东爷爷家的梯子长为3米，小东的身高为1.5米.
（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙面？（结果精确到0.1米）
（2）若将梯子底端放在距离墙面1.5米处，小东能否安全使用这架梯子，将春联贴在3米高的院门上方？（请画出示意图，并解决上述问题.参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，）
21.(本小题9分)
阅读与思考
小铭是个爱写数学周记的同学，下面是他的一篇周记.
这周我们开始学习《锐角三角函数》一章，我不仅知道了锐角三角函数是在直角三角形中定义的，还知道了一些特殊角，比如30°，45°，60°角的三角函数值.当然，这些特殊锐角的三角函数值也是在直角三角形中求得的.不仅如此，因为老师不断用问题启发我们思考，我们还求出了15°角的正切值.老师还说，我们只有学会向自己提问题，思维品质才能得到提高.上课情况是这样的：
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=2.
老师的第一个问题：你能利用这个图作出15°角，且这个15°角在直角三角形中吗？
我们的思考：如图2，用尺规作出30°角的平分线，交AC于点D，则∠DBC=15°，且在Rt△DBC中.
我们的思路：只要求出DC的长度，则15°角的正切值可求.
我们又注意到DC垂直于BC，且BD是角平分线，由角平分线的性质以及等面积法，可以求出DC的长.
老师的第二个问题：这种方法得15°角容易想到，但计算量较大.认真观察图形，再想与角有关的知识，你还能通过什么方法得到15°角，且这个角在直角三角形中？
一阵寂静后，我的同桌自信地说：利用三角形的外角！
我们情不自禁把掌声送给了同桌.
老师的问题真厉害！我以后也要善于向自己提出问题，并努力去解决.
请根据小铭同学的周记，回答下列问题：
（1）在上述周记中提到的角平分线的性质是______；
（2）请你在老师第二个问题的启发下，依据小铭同桌的思路在图1中画图，并求出15°角的正切值；
（3）请你参考小铭同学的数学周记内容，利用图3中的直角作出一个在直角三角形中的67.5°角（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并直接写出这个67.5°角的正切值.
22.(本小题9分)
综合与实践
【问题情境】在某沙漠化治理研究中，科研人员为了监测沙丘的移动和高度变化，选取了一个典型的新月形沙丘进行剖面测量.为了方便建模，他们将沙丘的纵向轮廓线近似看作一条抛物线.
【建立模型】科研人员以沙丘的最低点（同时也是沙丘与周围平地的交界点）为原点O，以水平地面为x轴，竖直方向为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.已知该沙丘轮廓线的最高点A距离地面10米，沙丘在平地上的跨度（即底端点O和点B之间的距离）为40米.
【问题解决】
（1）请求出描述该沙丘轮廓线的抛物线的函数表达式.
（2）为了固定沙丘防止移动，治沙工人计划在沙丘上部（最高点下方）铺设一条水平的草方格沙障.
①若要求沙障距离水平地面的高度为6米.请计算这条草方格沙障的长度（结果精确到1米，参考数据：）.
②为搭建稳固的水平沙障，需在沙丘轮廓线上对称安装两根立柱，立柱垂直于水平地面，底端固定在水平地面（即x轴）上，顶端贴合沙丘轮廓线.若施工要求左侧立柱顶端的高度是其到原点O（沙丘左侧最低点）水平距离的，请计算两根立柱之间的水平距离.
23.(本小题12分)
综合与探究
问题情境：数学课上，同学们以矩形为背景探索几何元素之间的关系.已知在矩形ABCD中，AB≤BC，E，F分别是AB，BC的中点，点G在BC边的延长线上，且，连接DE，DF，DG.
（1）特例分析：如图1，小睿同学画出了AB=BC时的图形，并提出如下问题，请你解答：猜想线段FG与EF的数量关系，并证明你的结论；
拓展探究：小玫同学继续进行探究.如图2，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，她提出如下问题，请你解答：
（2）①求此时的值；
②将图2中的△DEF从当前位置开始，沿射线BC的方向平移得到△D′E′F′（其中点D′，E′，F′分别是点D，E，F的对应点），点P是平面内的一点，请直接写出以点D′，E′，G，P为顶点的四边形是菱形时，△DEF平移的距离.
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】x（x-1）2
12.【答案】（-3，-2）
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】-5 -6
17.【答案】200 估计每天参加体育活动时间不低于2小时的学生有375人 由调查可知，大部分同学每天参加体育活动时间低于两小时，建议：学校多提供一些球场等活动场所，多提供学生活动时间
18.【答案】解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C
∴∠ACO=90°，
∵CD=CE
∴=，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠A=∠B
∴OA=OB，
（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC=AB=2，
∴sin∠COB==，
∴∠COB=60°，
∴∠B=30°，
∴OC=OB=2，
∴扇形OCE的面积为：=，
△OCB的面积为：×2×2=2，
S阴影=2-π．
19.【答案】一个杯垫的进价为15元，一个帆布包进价为20元．
20.【答案】使用这架梯子，最高可以安全攀上2.9米高的墙面 如图所示，根据题意，得在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3m，BC=1.5m，
小东能安全使用这架梯子将春联贴在3米高的大门上方
21.【答案】角平分线上的点到角两边的距离相等 如图，延长CB到E，使BE=BA，连接EA，则∠E=15°，
在Rt△ABC中，AB=2，∠ABC=30°，∠C=90°，
∴，
∵BE=AB=2，
∴，
∴在Rt△AEC中，，
∴ 如图，以点C为圆心，一定长度为半径作圆，交已知两直角边于点B和点A，连接AB，则∠BAC=45°，延长CA到D，使AD=AB，连接BD，则∠D=22.5°，
∠DBC=90°-22.5°=67.5°，∠DBC即为所求．
设CA=1，则，
∴CA=BC=1，，
∴，
∴
22.【答案】 ①草方格沙障的长度约为25米；②两根立柱之间的水平距离为20米
23.【答案】；证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵AB=BC，E，F分别是AB，BC的中点，
∴BE=BF=AE=FC，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：，
∵，
∴CG=AE=FC，
∵点G在BC边的延长线上，
∴FG=2BF，
∴，
∴ ①；②△DEF平移的距离是或
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