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2025-2026学年北京市海淀区清华附中八年级（下）统练数学试卷（2）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，真命题是（　　）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形
2.如图，四边形ABCD是平行四边形，∠D=120°，∠CAD=32°，则∠ABC、∠CAB的度数分别为（　　）
A. 28°，120°
B. 120°，28°
C. 32°，120°
D. 120°，32°
3.菱形的周长为32cm,一个角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（　　）
A. 8cm和4cm B. 4cm和8cm C. 8cm和8cm D. 4cm和4cm
4.把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是（　　）
A. 85° B. 90° C. 95° D. 100°
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为（　　）
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
6.如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连接BE．若BE平分∠ABC，且AB=5，BE=4，则AE=（　　）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，则∠EBF等于（　　）
A. 75°
B. 60°
C. 50°
D. 45°
8.如图，在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为（　　）
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
9.如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）
A. 4
B. 2.4
C. 4.8
D. 5
10.如图，分别在四边形ABCD的各边上取中点E，F，G，H，连接EG，在EG上取一点M，连接HM，过F作FN∥HM，交EG于N，将四边形ABCD中的四边形①和②移动后按图中方式摆放，得到四边形AHM'G'和AF'N'E，延长M'G'，N'F'相交于点K，得到四边形MM'KN'．下列说法中错误的是（　　）
A. S四边形MM'KN′=S四边形ABCD B. HM=NF
C. 四边形MM'KN'是平行四边形 D. ∠K=∠AHM'
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是______（写出一个即可）．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分別为AB，BC，AC的中点，若CD=5，则EF的长为 ．
13.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，D为线段AB的中点，则∠BCD= °．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（-3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
15.如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，对角线AC，BD交于点O，点E为边AB的中点，若AB=10，AC=8，则OE的长为______.

16.如图，在矩形ABCD中，AB=3cm,BC=4cm,点E是BC边上的一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE长为 .
17.如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，E，F分别是BC，DC上的点，∠EAF=60°，连接EF，则△AEF的面积最小值是______．
18.已知直线l及线段AB，点B在直线上，点A在直线外．
如图，（1）在直线l上取一点C（不与点B重合），连接AC；
（2）以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点B为圆心，AC长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线AB异侧）；
（3）连接CD交AB于点O，连接AD，BD．
根据以上作图过程及所作图形，在下列结论①OA=OB；②AD∥BC；③∠ACD=∠ADC中，一定正确的是 （填写序号）．
三、解答题：本题共5小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
已知，如图，在 ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BF=DE．
求证：AE=CF．
20.(本小题10分)
如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD=DC，DE平分∠ADC交AC于点E，DF平分∠BDC交BC于点F，∠DFC=90°．
（1）求证：四边形CEDF是矩形；
（2）若∠B=30°，AD=2，连接BE，求BE的长．
21.(本小题10分)
如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CM是AB边上的中线.过点B作BD∥MC，且BD=MC，连接CD.
（1）求证：四边形BMCD是菱形；
（2）连接AD.若BC=2，∠ABC=60°，求AD的长.
22.(本小题10分)
在等边△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA上的动点，满足DE=EF，且∠DEF=60°．作点E关于AC的对称点G，连接CG，DG．
（1）当点D，E，F在如图1所示的位置时，请在图1中补全图形，并证明四边形DBCG是平行四边形；
（2）当AD＜BD，AB=DE时，求∠BDE的度数．

23.(本小题10分)
在矩形ABCD中，AB，BC两边的长满足AB＜BC＜2AB，∠BAD的平分线交边BC于点E.DH⊥AE于点H，连接DE，BH，线段BH的延长线交DE于点F，交DC于点G.
（1）如图1，当AH=AB时，求证：DH=DC；
（2）如图2，当AH≠AB时，
①求证：点H为线段BG的中点；
②用等式表示线段BG与DE的数量关系，并证明.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】答案不惟一，如：CB=BF；BE⊥CF；∠EBF=60°；BD=BF等
12.【答案】5
13.【答案】50
14.【答案】（5，4）
15.【答案】3
16.【答案】cm或3cm
17.【答案】3
18.【答案】①②
19.【答案】证明：连接AC交BD于点O，连接AF、CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵OF=BF-OB，OE=DE-OD，
BF=DE，
∴OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
20.【答案】（1）证明：∵DE平分∠ADC，DF平分∠BDC，
∴∠ADE=∠CDE=∠ADC，∠CDF=∠BDC，
∴∠CDE+∠CDF=（∠ADC+∠BDC）=×180°=90°，即∠EDF=90°，
∵AD=DC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴∠CED=∠AED=×180°=90°，
又∵∠DFC=90°，
∴四边形CEDF是矩形；
（2）解：由（1）可知，四边形CEDF是矩形，
∴∠CED=∠ECF=90°，
∴∠A=90°-∠B=90°-30°=60°，DE⊥AC，
∵AD=DC，
∴CE=AE，△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°，AC=AD=2，
∴AE=CE=1，
∴DE===，
∵∠DCB=∠ECF-∠ACD=90°-60°=30°，
∴∠DCB=∠B，
∴DB=DC=AD，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE===，
即BE的长为．
21.【答案】见解析；
2．
22.【答案】解：（1）如图1，即为补全的图形，
证明：在等边△ABC中，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵点E，点G关于AC对称，
∴∠ACG=∠ACB=60°，CE=CG，
∴∠A=∠ACG，
∴AB∥CG，即BD∥CG，
∵∠DEF=60°，∠BED+∠CEF+∠DEF=180°，
∴∠BED+∠CEF=120°，
在△BDE中，∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°，
∴∠BDE=∠CEF，
在△BDE与△CEF中，
，
∴△BDE≌△CEF（AAS），
∴CE=BD，
∴CG=CE=BD，
∵BD∥CG，
∴四边形DBCG是平行四边形；
（2）∵四边形DBCG是平行四边形，
∴BC=DG，∠DGC=∠B=60°，
∵BC=AB，AB=DE，
∴DG=DE，
∵DE=EF，∠DEF=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，
∵点E，点G关于AC对称，
∴EF=GF，∠FEC=∠FGC，
∴DF=GF，
∴DG=DF=GF，
在△DFG中，DG2=DF2+GF2，
∴∠DFG=90°，
∵DF=GF，
∴∠FDG=∠FGD=45°，
∴∠CGF=∠CGD-∠FGD=15°，
∴∠BDE=∠CEF=∠CGF=15°．

23.【答案】证明见解析； ①证明见解析；②BG与DE的数量关系为BG=DE，证明见解析．
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