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2025-2026学年江苏省苏州市西安交大苏州附中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在下列实数中，无理数是（　　）
A. 2 B. C. D.
2.2025年，苏州工业园区完成地区生产总值4163亿元，同比增长5.5%，高质量发展成效显著.数据4163亿元用科学记数法表示为（　　）
A. 4.163×1010元 B. 4.163×1011元 C. 4.163×1012元 D. 4.163×1013元
3.已知一组数据：36、37、32、37、33，这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A. 36、32 B. 36、36 C. 37、32 D. 37、36
4.下列计算正确的是（　　）
A. a2 a3=a6 B. （-a3b）2=-a6b2
C. a6÷a2=a3 D. （a2）3=a6
5.小西同学在刷淘宝时候发现一款苏州产的数显角度尺（如图一），比量角器方便好多，小西不禁对其原理好奇起来，他找到了一款不带数显的量角专用神器（如图二），请问它里面应用的数学原理是（　　）
A. 两直线平行，同位角相等 B. 对顶角相等
C. 等量代换 D. 同弧所对的圆心角是圆周角的两倍
6.已知点A（-5，y1）、B（-2，y2）和C（1，y3）都在二次函数y=ax2+2ax+c（a＜0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y3＜y2＜y1
7.苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气.图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O，且圆心角∠O=108°，已知OA=100cm,OB=40cm,则该砖雕的面积为（　　）
A. 6400πcm2 B. 900πcm2 C. 5500πcm2 D. 2520πcm2
8.如图，在矩形ABCD中，BC=4，AB=2，Rt△BEF的顶点E在边CD上，且∠BEF=90°，EF=BE，DF=，则tan∠DEF的值为（　　）
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
9.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
10.分解因式：9x2-36= .
11.设x1、x2是方程x2+mx-2=0的两个根，且x1+x2=2x1x2，则m= .
12.苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形ABCDEFGH中心与“太极图”圆心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为 .
13.如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为 .
14.如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点D在AB边上，且AB=3AD，点E为BC边上一动点，将线段DE绕点E顺时针旋转60°得线段EF，连接AF、DF，当DF与△ABC的某条边平行时，则线段CF的长为 .
15.如图，点A，B在反比例函数y=（k＞0）的图象上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C，D分别在x轴的正、负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点，且△BCE的面积是△ADE的面积的2倍，则k的值是______．
三、解答题：本题共12小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题3分)
如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角∠DAB=30°，测量这栋高楼底部的俯角∠DAC=60°，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为______米.
17.(本小题4分)
计算：.
18.(本小题4分)
解不等式组：.
19.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题6分)
如图，16个小方框代表16把椅子，其中黑色圆点表示已有人入座，小李和小王随机入座，根据要求，小李需要坐第二排，小王需要坐第三排，两人选择座位的可能性相同.
（1）直接写出小王选择C2座位的概率；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小李和小王刚好坐在同一列的概率.
21.(本小题6分)
4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．
（1）n=______，补全频数分布直方图；
（2）在扇形统计图中，“70-80”这组的扇形圆心角为______°；
（3）若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数．
22.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，BD=2，求OE的长.
23.(本小题8分)
在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的拟人形机器人H1和G1.它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的AI互动，成为“科技顶流”.为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学.A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同.
（1）求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
（2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠.问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
24.(本小题8分)
我们把抛物线上纵坐标是横坐标三倍的点叫做这条抛物线的“三倍点”（原点除外）.
（1）若抛物线y=x2+bx+4上只有唯一的“三倍点”，求b的值及“三倍点”的坐标；
（2）平移抛物线y=x2+bx+4，若所得新抛物线经过原点，且顶点是新抛物线的“三倍点”，求新抛物线的表达式.
25.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，连接DC，∠DCB=∠A，CE⊥AB于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若，，求DC的长；
（3）在（2）的条件下，若点P是⊙O上一点，连接CP交线段OA于点F，若，求BF的长．
26.(本小题8分)
问题情境：
为了提升交通安全，某市隧道入口进行道路设施规划，计划安装车道指示灯，现需要对隧道入口隔音屏顶部的装灯位置进行合理设计.
数学建模：
图1是隧道入口隔音屏，其顶部轮廓可近似地看成抛物线，其截面如图2所示.以地面为x轴，左侧墙面为y轴，建立平面直角坐标系，则抛物线符合函数解析式y=a（x-4）2+k.最高点A距离地面8m,点B的坐标为（15，5.58），照明灯安装在y轴右侧的点C处.
（1）请直接写出抛物线的函数解析式（不需要写出x的取值范围）.
问题解决：
（2）为测量点C到地面的距离CG的长度，小敏参考《海岛算经》中的测量方法，使用两根标杆进行测量，具体测量方法如图3所示.经测量，标杆HI=JK=1.5m（标杆垂直于地面），两杆相距15步，从HI退行10步到点M，从JK退行15步到点N.点C，H，M在同一条直线上，点C、J、N在同一条直线上，请计算出CG的长度.
（3）为提高通行效率，需在隔音屏顶部加装灯架，为每个车道增设指示灯.按要求，指示灯需距离地面4.5m.如图2，灯架D1E1，D2E2，D3E3，D4E4均平行于y轴，指示灯D1，D2，D3，D4在同一条直线上，该条直线平行x轴，D1D2=D2D3=D3D4=3.5m,点D1的坐标为（2，4.5）.求灯架D4E4的长.（结果保留两位小数）
27.(本小题8分)
综合与实践
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.
（1）操作猜想：
如图1，四边形ABCD是矩形，AD=2AB，点E是CD边上一点，连接AE，沿AE折叠△ADE，使点D的对应点D′落在BC上.填空：∠DAD′=______，=______；
（2）探索证明：
如图2，在图1的条件下，延长BC与AE的延长线相交于点F，连接DF.求∠DFC的度数和的值；
（3）拓展延伸：
如图3，四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH.点M是BC边上一点，连接AM，将△ABM沿AM折叠，使点B的对应点B′落在EG或HF上时，直接写出的值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】x＞-5
10.【答案】9（x+2）（x-2）
11.【答案】4
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】2或
15.【答案】
16.【答案】60
17.【答案】．
18.【答案】解：解不等式3（x-1）＜2x+1，得x＜4，
解不等式-1≥x,得x≥，
所以原不等式组的解集为≤x＜4．
19.【答案】解：原式= （-），
= （-），
=，
当x=2-时，原式==．
20.【答案】解：（1）．
（2）列表如下：
C1 C2 C3
B2 （B2，C1） （B2，C2） （B2，C3）
B3 （B3，C1） （B3，C2） （B3，C3）
B4 （B4，C1） （B4，C2） （B4，C3）
共有9种等可能的结果，其中小李和小王刚好坐在同一列的结果有：（B2，C2），（B3，C3），共2种，
∴小李和小王刚好坐在同一列的概率为．
21.【答案】（1）50；
（2）72；
（3）估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数为1200×=672（名）．
22.【答案】（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=2，
∴，
在Rt△AOB中，，OB=1，
∴，
∴OE=OA=2．
23.【答案】250，150；
A型机器人模型5台、B型机器人模型15台，2800元．
24.【答案】当b=7时，“三倍点”的坐标为（-2，-6）；当b=-1时，“三倍点”的坐标为（2，6） y=x2+6x
25.【答案】（1）证明：连接OC，则OC=OA，
∴∠A=∠OCA=∠BCD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴DC是⊙O的切线．
（2）解：由（1）可知∠A+∠ABC=90°，∠ECB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠ECB，
∴，
∴，，
∴BE=2，CE=4，
∴，
∴OE=OB-BE=5-2=3，
∵∠OEC=∠OCD=90°，∠COE=∠DOC，
∴△OCE∽△ODC，
∴，
∴，
∴；
（3）解：过点P作PQ⊥OA于点Q，连接OP，
∵CE⊥AB，PQ⊥OA，
∴PQ∥CE，
∴，
∵CE=4，
∴PQ=2，
在Rt△OPQ中，由勾股定理得，
，
∴，
∵EF=2FQ，
∴，
∴．
26.【答案】抛物线的函数解析式为 CG的长度为6m 灯架D4E4的长为2.06m
27.【答案】30°; （2）∠DFC=30°； （3）的值为或
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