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河南南阳市西峡县2025-2026学年下学期九年级阶段性练习数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国自主研制的首台作业型全海深自主遥控潜水器“海斗一号”，最大下潜深度10907米，“极目一号”型浮空艇“大白鲸”，升空高度至海拔9050米，如果把海平面以上9050米记作“米”，那么海平面以下10907米记作（ ）
A. 9050米 B. 米 C. 10907米 D. 米
2.唐三彩最早、最多出土于洛阳，亦有“洛阳唐三彩”之称.下列唐三彩图形中，主视图和左视图相同的是（　　）
A. B. C. D.
3.小浪底水利枢纽是黄河干流三门峡水利枢纽以下唯一能够取得较大库容的控制性工程．总库容约为亿立方米，数据亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4.一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.如图,在菱形ABCD中,AB=10,AC=16,AC交BD于点O,DEBC于点E,连接OE,则OE的长为( )

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
7.计算的结果是（ ）
A. B. C. D.
8.现有四张正面印有神舟载人航天飞行任务标识的卡片，它们除内容标识之外其他完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片中恰有一张正面印有“神舟十九号载人飞行任务”的概率为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，在中，、分别是、的中点，将沿翻折，点的对应点为，且点恰好落在边上．若，则的值为（ ）
A. B. C. D. 1
10.如图，在正方形中，点以每秒的速度从点出发，沿的路径运动，到点停止．过点作，与边（或边）交于点，的长度为与点的运动时间（秒）的函数图象如图所示．当点的运动时间是秒时，的长度是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
11.请你写一个小于的整数： ．
12.不等式组的解集是 ．
13.博物馆拟招聘一名优秀讲解员，王帅的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、95分、90分．根据实际需要，综合成绩将笔试、试讲和面试三项得分按的比例确定最后的成绩，那么王帅最后的成绩为 分．
14.如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的周长为 ．（结果保留）
15.定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做准直角三角形．已知，如图，在直角中，，，如果点在边上，且是准直角三角形，那么 ．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.
(1) 计算：；
(2) 化简：．
四、解答题：本题共7小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛．
【数据整理】
小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析：
平均数 中位数 众数
甲组 8 8
乙组 7.5 9
【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1) 填空： ， ．
(2) 小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由；
(3) 小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可）
18.(本小题12分)
如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数（）的图象经过点D．
(1) 求反比例函数的表达式；
(2) 在图中画出一次函数的图象，并直接写出它与矩形的边的交点坐标；
(3) 将矩形向右平移，当点B落在反比例函数图象上时，平移的距离为 ．
19.(本小题10分)
如图，在中，是边上一点，是边上一点，连接．
(1) 过点作的平行线，与的延长线交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2) 连接，，若是的中点，求证：．
20.(本小题10分)
为了落实“五育并举”，全面发展素质教育，某中学准备开展丰富多彩的课后特色延时服务，计划购买排球及足球若干．某兴趣小组进行市场调查，发现购买2个足球和3个排球共需310元；购买7个足球所需的费用与购买5个排球所需的费用相同．
(1) 足球和排球的单价各是多少？
(2) 该校根据需求打算购买足球和排球共30个，且足球数量不超过排球数量的某商场店庆促销，足球打九折，排球打八折，请问学校如何购买所需费用最少？
21.(本小题12分)
停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面与车轮切于点为的直径，射线与射线交于点于点，连接．
(1) 求证：平分；
(2) 若，求点到地面的高度．（参考数据：）
22.(本小题12分)
如图，质量为的小球从某高处由静止开始下落到竖直放置的弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．经实验分析，从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间是二次函数关系，其部分对应数据如下表：
弹簧被压缩的长度 0 1.5 2 2.5 4 6
小球的速度 3 4 3 0
根据上述数据回答下列问题：
(1) 小球的速度最大时，弹簧的长度为 ，小球下落至最低点时，弹簧的长度为 ；
(2) 求小球的速度和弹簧被压缩的长度的函数表达式；
(3) 小航说：“当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为．”请判断他的说法是否正确，并说明理由．
23.(本小题12分)
综合与实践
【问题呈现】
(1) 和都是等腰直角三角形，，连接，，当共线时，如图，则，之间的数量关系是 ，的度数为 ．
(2) 【类比探究】
如图，在中，，，（不与点，重合）是直线上的一动点，将线段绕点顺时针方向旋转得到，连接，．
当点在线段上时，求证：．
(3) 【拓展提升】如图，，在点运动的过程中，当时，请直接写出的长．
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】0/（答案不唯一）
12.【答案】
13.【答案】93
14.【答案】 /
15.【答案】或
16.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
解：
．

17.【答案】【小题1】
7.5
8
【小题2】
解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生；
【小题3】
解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小华的观点比较片面．

18.【答案】【小题1】
解：反比例函数（）的图象经过点，
，
，
反比例函数的表达式为；
【小题2】
解：经过，画射线，即得图象如下：
一次函数的图象，与矩形的边的交点坐标是，；
【小题3】

19.【答案】【小题1】
解：如图所示：
【小题2】
证明：由（1）知，
∴，
∵点是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：设足球的单价是元，排球的单价是元．
根据题意，得，
解得．
∴足球的单价是元，排球的单价是元．
【小题2】
解：设购买足球个，则购买排球个，
根据题意，得，
解得，
设所需费用为元，则，
∵，
∵随的增大而减小，
∴当时，的值最小，
（个）．
∴购买足球10个，排球20个所需费用最少．

21.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
∵切于点D，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴平分；
【小题2】
解：在中，，
∴，
由（1）知平分，
∴．
在中，，
又∵，
∴．

22.【答案】【小题1】
10
6
【小题2】
解：由（1）得这个抛物线的对称轴为直线，所对应的，
即函数的顶点坐标为，
∴设函数的表达式为，
∴把代入，
得，
解得，
∴函数的表达式为．
【小题3】
解：小航的说法不正确，理由如下：
由（2）得，
由题意得：令，
则，
解得，，
∴当小球的速度为时，弹簧被压缩的长度为或．
小航的说法不正确

23.【答案】【小题1】


【小题2】
解：如图，过点作，垂足为，
在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由旋转可知：是等腰直角三角形，
同理（）可得：，，
设，，则，
∴，，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：当在内时，如图，过点作，垂足为，
同理可得：，，，
在中，，，
∴，
∴，
当时，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当在外部时，如图，过点作，垂足为，
同理可得：，，
∴；
∴的长为或．

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