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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第五章 圆
5.3 与圆有关的计算
1．会计算圆的弧长、扇形的面积．
2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
1．圆的弧长公式
（为圆的半径，是弧所对的圆心角度数）．
2．扇形的面积公式
（为圆的半径，为弧所对的圆心角度数，为弧长）．
3．圆锥的侧面与全面积
（1）圆锥的侧面展开图是以圆锥的母线为半径，圆锥底面圆的周长为弧长的扇形．
（2）设母线长为、底面半径为，则
，．
4．正多边形的有关计算
已知正多边形的边数，外接圆半径为，则
边长，周长，边心距．
■考点一 弧长、扇形面积的计算
◇典例1：（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·浙江衢州·一模）半径为，圆心角的扇形面积为________．
2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在Rt中、，点在边上，以点为圆心作圆，交于点，交于点，与相切于点，．连接．
(1)求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
■考点二 圆柱、圆锥的相关计算
◇典例2：（2026·云南·一模）一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为，则该圆锥的底面圆半径为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________．
2．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践
【主题】制作圆锥
【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶．
【实践操作】
步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）．
步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处．
【实践探索】
(1)求剪下的扇形的半径．
(2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径．
■考点三 不规则图形的面积的计算
◇典例3：（2025·湖北武汉·模拟预测）如图在中，，，与相切，且点O到直线的距离等于中边上的高，与边，分别相交于点P，Q，连接，若，当在边上滚动时，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________．
2．（2026·山东聊城·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，求的长；
(3)若，的半径为5，求图中阴影部分的面积．
■考点四 与正多边形的有关计算
◇典例4：（2026·河北秦皇岛·一模）如图，正八边形的边长为，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2026·陕西汉中·一模）苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为_____________．
2．（2025·四川广安·一模）如图，正六边形内接于，连接、．
(1)若P是上的动点，连接、，求的度数；
(2)若的面积为，求的面积．（结果保留）
A 基础达标练
1．（2025·山东东营·中考）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏盐城·中考）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·山西阳泉·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2026·山西吕梁·一模）在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026·甘肃武威·一模）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
6．（2026·浙江舟山·一模）某圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为_________．
7．（2026·江苏徐州·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留）
8．（2026·湖北黄石·一模）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____．
9．（2025·四川绵阳·中考）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
B 强化提升练
10．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设．
(1)当点为中点时，求的值；
(2)如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长；
(3)当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取）
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2026年中考一轮复习
5.3 与圆有关的计算
圆
第5章
“—”
1．会计算圆的弧长、扇形的面积．
2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
1．圆的弧长公式
（为圆的半径，是弧所对的圆心角度数）．
2．扇形的面积公式
（为圆的半径，为弧所对的圆心角度数，为弧长）．
3．圆锥的侧面与全面积
（1）圆锥的侧面展开图是以圆锥的母线为半径，圆锥底面圆的周长为弧长的扇形．
（2）设母线长为、底面半径为，则
，．
4．正多边形的有关计算
已知正多边形的边数，外接圆半径为，则
边长，周长，边心距.
C
375π
B
A
D
A 基础达标练
B
D
A
D
B
B 强化提升练
40
Thanks!
2
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2
二一载自
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第五章 圆
5.3 与圆有关的计算
1．会计算圆的弧长、扇形的面积．
2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系．
1．圆的弧长公式
（为圆的半径，是弧所对的圆心角度数）．
2．扇形的面积公式
（为圆的半径，为弧所对的圆心角度数，为弧长）．
3．圆锥的侧面与全面积
（1）圆锥的侧面展开图是以圆锥的母线为半径，圆锥底面圆的周长为弧长的扇形．
（2）设母线长为、底面半径为，则
，．
4．正多边形的有关计算
已知正多边形的边数，外接圆半径为，则
边长，周长，边心距．
■考点一 弧长、扇形面积的计算
◇典例1：（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由垂直平分线的性质易证是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
的长度为．
◆变式训练
1．（2026·浙江衢州·一模）半径为，圆心角的扇形面积为________．
【答案】375π
【分析】根据扇形的面积公式解答，即．
【详解】解：，
所以扇形的面积是．
2．（2026·云南昭通·模拟预测）如图，在Rt中、，点在边上，以点为圆心作圆，交于点，交于点，与相切于点，．连接．
(1)求证：；
(2)若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）因为是的切线，则，进而用判定证明和全等，则．
（2）设的半径为r，在中，可根据勾股定理列方程求出半径r；接着可通过三角函数求出的度数，再得到的度数；最后利用扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵与相切于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：设的半径为，
在中，，解得，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
■考点二 圆柱、圆锥的相关计算
◇典例2：（2026·云南·一模）一个圆锥的侧面展开图的圆心角为，母线长为，则该圆锥的底面圆半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开图扇形弧长的关系，列等式即可求解底面半径.
【详解】圆锥侧面展开图中，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，对应公式为，其中为底面圆半径，为侧面展开图圆心角度数，为母线长，
已知，，代入公式得：
化简得，
两边同除以，得.
◆变式训练
1．（2026·河南驻马店·一模）如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的面积是________．
【答案】
【分析】根据勾股定理可知母线的长度，再根据弧长公式可知圆心角，进而可知扇形的面积．
【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角，
则，
∵圆锥的底面周长等于扇形的弧长，
则，
∴，
解得：，
则．
2．（2025·湖南长沙·三模）综合与实践
【主题】制作圆锥
【素材】直径为的圆形卡纸、剪刀、透明胶．
【实践操作】
步骤1：如图1，把直径为的圆形卡纸剪出一个圆心角为的最大扇形（图2）．
步骤2：如图3，将剪下的扇形卡纸无缝隙、不重叠地围成一个圆锥．并用透明胶粘住接合处．
【实践探索】
(1)求剪下的扇形的半径．
(2)如图3，求此圆锥形卡纸的底面圆的半径．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）连接，过点O作于H，可证明是等边三角形，得到，由圆周角定理可得，则由三线合一定理可得，，解直角三角形求出的长即可得到答案；
（2）根据圆锥的底面圆周长等于其侧面展开图得到的扇形弧长计算求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，过点O作于H，
∵扇形的圆心角为，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴剪下的扇形的半径为；
（2）解：，
∴此圆锥形卡纸的底面圆的半径为．
■考点三 不规则图形的面积的计算
◇典例3：（2025·湖北武汉·模拟预测）如图在中，，，与相切，且点O到直线的距离等于中边上的高，与边，分别相交于点P，Q，连接，若，当在边上滚动时，阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设与边的切点为G，过点C作与点M，连接，，则，证明．，得到，
根据，解答即可．
【详解】解：设与边的切点为G，过点C作与点M，连接，，则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，特殊角的三角函数应用，扇形的面积，熟练掌握判定和性质，扇形面积公式，切线性质是解题的关键．
◆变式训练
1．（2026·广西柳州·一模）如图，在扇形中，，点为的三等分点，连接，过点作交于点．连接．则阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】根据点为的三等分点得，，，根据得，，进而根据直角三角形三角函数值计算，进而得出，根据勾股定理计算，在中，结合三角函数值解直角三角形得，再由，计算即可．
【详解】解：如图所示，、交于点，
在扇形中，，点为的三等分点，
，，
，
，
，
，
，，
在中，，
，
，
故答案为：．
2．（2026·山东聊城·一模）如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作于点，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为5，求的长；
(3)若，的半径为5，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，易得，三线合一，得到，进而得到是的中位线，得到，进而得到，即可得证；
（2）先证明为等边三角形，进而得到，，平行线的性质，得到，解，即可；
（3）根据，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵为直径，
∴，即，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
又∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
由（2）可知：为等边三角形，，
∴，，
作于点，则，
∴，
∴
．
■考点四 与正多边形的有关计算
◇典例4：（2026·河北秦皇岛·一模）如图，正八边形的边长为，与正八边形的边和分别相切于点和点，则劣弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接，，，延长交或其延长线于一点，可求得，结合六边形的内角和为，可求得，根据同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，可求得点与点重合，得到，最后利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，，，延长交或其延长线于一点．
∵与正八边形的边和分别相切于点和点，
∴，．
∴．
∵八边形为正八边形，
∴．
∵六边形的内角和，
∴．
∴．
∵八边形为正八边形，
∴．
又∵，同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，
∴直线与直线为同一条直线，
∴点与点重合．
∴．
∴．
∴劣弧的长．
◆变式训练
1．（2026·陕西汉中·一模）苯（分子式为）环状结构的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（图1）．如图2，已知点O为正六边形的中心，则其中心角的度数为_____________．
【答案】
【分析】根据正多边形各边所对中心角相等且等于除以边数即可解答．
【详解】解：∵点O为正六边形的中心，
∴六边形各边所对中心角相等，
∴其中心角的度数为．
2．（2025·四川广安·一模）如图，正六边形内接于，连接、．
(1)若P是上的动点，连接、，求的度数；
(2)若的面积为，求的面积．（结果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了圆内接正六边形问题，解题的关键是掌握圆内接正六边形的性质及弦和圆周角之间的关系．
（）连接，利用弦和圆周角的关系即可求出的值；
（）证明是等边三角形，利用三角函数求出，，再根据的面积为求出圆的半径，即可求出面积．
【详解】（1）如图所示，连接 ，
∵六边形是正六边形，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴是等边三角形，
∴；
∴，，
∴，
∴，
即的半径为．
面积为：
A 基础达标练
1．（2025·山东东营·中考）小华用铁皮制作一个烟囱帽，烟囱帽的三视图如图所示，已知主视图和左视图均为边长是的等边三角形，则所需铁皮面积（接缝面积忽略不计）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】这道题考查的是圆锥侧面积的计算，首先明确圆锥侧面积公式为 (r为底面半径，l为母线长)，由三视图可知，圆锥的母线长，底面圆的直径等于等边三角形的边长，即底面半径，代入圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：则所需铁皮面积
故选B
2．（2025·江苏盐城·中考）如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴是等边三角形．
∴．
∴的长为．
故选：D．
3．（2026·山西阳泉·一模）如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以A为圆心，为半径画，最后以的中点E为圆心，为半径画弧与交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据圆面积，扇形面积的计算方法以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可．
【详解】解：如图，
空白①的面积为，
空白部分②的面积为，
所以阴影部分的面积为
．
4．（2026·山西吕梁·一模）在边长为6的正方形中，E，F，G，H为各边的中点，连接相交于点O，分别以点A，C为圆心，以6为半径画弧，再以点O为圆心，以3为半径画弧，获得如图所示的图形，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据阴影部分的面积进行计算即可．
【详解】解：根据题意得，，
∴③的面积，
又①的面积=②的面积，
∴阴影部分的面积
．
5．（2026·甘肃武威·一模）如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6 B．9 C．10 D．12
【答案】B
【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数．
【详解】解：如图：连接，
∵点为正多边形的中心，，
∴，
∴，
∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意．
6．（2026·浙江舟山·一模）某圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为_________．
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面积公式，其中是底面半径，是母线长，计算即可得出结果．
【详解】解：圆锥的侧面积为．
7．（2026·江苏徐州·一模）如图，正八边形和正六边形的边长均为3，以顶点H为圆心，的长为半径画圆，则阴影部分的面积为____．（结果保留）
【答案】
【分析】先求出正八边形和正六边形的内角度数，分别为．，然后求得，利用扇形面积公式即可求解．
【详解】解：∵八边形是正八边形，六边形是正六边形，
∴，，
∴，
∴．
8．（2026·湖北黄石·一模）小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____．
【答案】
【分析】利用圆的底面周长即是扇形的弧长，求解即可．
【详解】解：设扇形纸板的圆心角为，
∵圆的底面周长即是扇形的弧长，
∴，
解得：
则扇形纸板的圆心角是．
9．（2025·四川绵阳·中考）如图，在中心为的正六边形中，点G，H分别在边，上，且不同于正六边形的顶点，．
(1)证明：四边形为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点为圆心，为半径的扇形与正六边形形成阴影部分，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明过程见解析
(2)
【分析】本题考查正多边形的概念，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，扇形面积的计算，根据正六边形的概念确定相等的角和线段，以及角的大小是解题关键．
（1）根据正六边形的概念，得到正六边形的每个内角相等，每条边相等，从而证明三角形全等，再利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据正六边形的概念，确定的度数，进而确定的度数和的长，再通过作差法计算阴影部分的面积即可．
【详解】（1）证明：∵六边形是正六边形，
∴，，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：如图，连接，，，
∵是正六边形的中心，
∴，，
∴，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积为．
B 强化提升练
10．（2026·河北石家庄·一模）如图，在中，，，，点在射线上（点不与点重合）；过点作，垂足为，以点为圆心，为半径在上方画半圆，交射线于点，两点（点在的左侧），设．
(1)当点为中点时，求的值；
(2)如图2，当点与点重合时，连接，求弧及弦的长；
(3)当半圆与边无交点时，直接写出的取值范围．（参考数据：取，取，取）
【答案】(1)
(2)弧的长度为：，弦的长度为
(3)或
【分析】（1）证明，即可求解；
（2）先对运用等面积法求解，然后求解的度数，即可求解，再由弧长公式求解弧；过点作于，证明，求出，，则，再对运用勾股定理求解即可；
（3）找到两个临界位置，即①当点O在点C左侧，且与相切时；②当点O在点C右侧，且与相切时，然后通过求解即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
．
点为中点，
．
，
．
．
，
．
，即，
．
（2）解：当点与点重合时，为边的高，
，即：，
．
，，
，
，
．
弧的长度为：．
过点作于（如图），
．
，
．
．
，即．
，．
．
在中，．
（3）解：①当点O在点C左侧，且与相切时，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当半圆O在的左侧，且与无交点时，x的取值范围为：；
②当点O在点C右侧，且与相切时，如图，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴当半圆O在的右侧，且与无交点时，x的取值范围为：；
综上，当半圆与无交点时，x的取值范围是或．
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