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高一数学阶段性检测（2026年 4月）
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1． （ ）
A． B．0 C． D．
2．在平面内，某质点在三个力 的作用下恰好处于平衡状态，其中 ，
，则 在 上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． 或 C． 或 D．
4．已知向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5. 已知 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ，
， 若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．2
6．已知角 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点 为 所在平面内一点，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
8．若函数 的图象关于点 对称，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9．在 中，已知 ，则角 C的可能值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图， 是半径为 1的圆 的两条不同的直径， ，则（ ）
A．
B．
C．满足 的实数 与 的和为定值 4
D．
11．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ， 在区间 上单调
B．若 关于直线 轴对称，则
C．若 ，且 为 的一个对称中心，则
D．若 ， 在区间 上的最大值与最小值的差的取值范围是
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．已知钝角三角形 的三边 ， ， ，则 k的取值范围为____________
．
13．赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的
一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼
成一个大正六边形，其中 G，H，J，K，L，M分别是 AM，BG，CH，DJ，EK，FL的中点，
O是正六边形 ABCDEF的中心．若 ，则 ．
14．已知向量 ， ， ， .若 （其
中 表示不超过 的最大整数，如： ， ，则 的取值范围为______.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15．（13分）设 ，已知 是平面内两个不共线的向量， ， ，
，且 ， ， 三点共线．
（1）求 的值：
（2）若 ，
①求向量 与 的夹角的余弦值；
②已知点 的坐标为 ，若四边形 为平行四边形．求点 的坐标．
16．（15分）已知 ，且 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，求 的值．
17. （15分）在 中，角 的对边分别为 ．已知 ，
， ．
（1）求 A的值；
（2）求 c的值；
（3）求 的值．
18．（17分）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）令 ．
（ⅰ）证明： 是周期函数；
（ⅱ）若 ，对 ，有 ，求实数 的取值
范围.
19．（17分）已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数.
（1）求 的解析式；
（2）已知函数 .
（i）证明：函数 有且只有一个零点；
（ii）记函数 的零点为 ，证明： .高一数学阶段性检测（2026年 4月）
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分.每小题给出的四个
选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1． （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】D
2．在平面内，某质点在三个力 的作用下恰好处于平衡状态，其中 ，
，则 在 上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3．在 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】C
4．已知向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
5. 已知 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ，
， 若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
6．已知角 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
7．已知点 为 所在平面内一点，若 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
8．若函数 的图象关于点 对称，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ，所以 .
令 ，得 ，所以函数 的对称中心为 .
因为函数 的图象关于点 对称，
所以 ，解得 ，取最大的整数 .
此时 ，所以 的最大值为 .
二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0
分.
9．在 中，已知 ，则角 C的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
10．如图， 是半径为 1的圆 的两条不同的直径， ，则（ ）
A．
B．
C．满足 的实数 与 的和为定值 4
D．
【答案】BCD
【详解】 ，
，故 A错误；
以 为原点，以 为 轴，以 的中垂线为 轴建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，则 ，
则 ，
，故 B正确；
，
三点共线， ，即 ，故 C正确.
，
，
，
，
，
，故 D正确.
11．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A．若 ， 在区间 上单调
B．若 关于直线 轴对称，则
C．若 ，且 为 的一个对称中心，则
D．若 ， 在区间 上的最大值与最小值的差的取值范围是
【答案】BCD
【详解】对 A：当 时， ，因为 ，所以
，
因为函数 在 上不单调，所以函数 在区间 上不单调.故 A错误；
对 B：若 关于直线 轴对称，则 或 ，
由 ；方程 无解.所以 .故 B正
确；
对 C： 时， 为 的一个对称中心，所以 ，
所以 .故 C正确；
对 D：当 时， ，
当 与 关于某条对称轴对称时， 在区间 上的最大值与最小值的差取得最小
值 ；
当 与 都在 的某一个单调区间内时，
，
其中 ，且 .
当 ， 时， .故 D正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分.
12．已知钝角三角形 的三边 ， ， ，则 k的取值范围为____________
．
【答案】
13．赵爽弦图是中国古代数学的图腾，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的
一个大正方形．如图，某人仿照赵爽弦图，用六个全等的直角三角形和一个小的正六边形拼
成一个大正六边形，其中 G，H，J，K，L，M分别是 AM，BG，CH，DJ，EK，FL的中点，
O是正六边形 ABCDEF的中心．若 ，则 ．
【答案】
14．已知向量 ， ， ， .若 （其
中 表示不超过 的最大整数，如： ， ，则 的取值范围为______.
【答案】
【详解】因为 ，所以
，
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然成立，
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
当 时， ，显然不成立；
所以 ， ， ，
，
，
因为 ，
所以 .
所以 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
15．（13分）设 ，已知 是平面内两个不共线的向量， ， ，
，且 ， ， 三点共线．
（1）求 的值：
（2）若 ，
①求向量 与 的夹角的余弦值；
②已知点 的坐标为 ，若四边形 为平行四边形．求点 的坐标．
【答案】(1) ；(2)① ；①
【详解】（1）由已知得 ，
因为 三点共线，所以 ，即 .
（2）由已知得 ，
；
②由平行四边形得 ，又 ，
所以 ，解得 ，即
16．（15分）已知 ，且 ，
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）若 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】（1） ，两边同时平方得 ，
解得 .
（2） ,
则有 ，
联立 ，且 ，解得 ，
所以 ，
则 .
（3）由题意 ， ，
分式上下同时除以 得 ，
由（2）得 ，
将 ， 代入 得 ，
即 ,
17. （15分）在 中，角 的对边分别为 ．已知 ，
， ．
（1）求 A的值；
（2）求 c的值；
（3）求 的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【详解】（1）已知 ，由正弦定理 ，
得 ，显然 ，
得 ，由 ，
故 ；
（2）由（1）知 ，且 ， ，
由余弦定理 ，
则 ，
解得 （ 舍去），
故 ；
（3）由正弦定理 ，且 ，
得 ，且 ，则 为锐角，
故 ，故 ，
且 ；
故 .
18．（17分）已知函数 ．
（1）求不等式 的解集；
（2）令 ．
（ⅰ）证明： 是周期函数；
（ⅱ）若 ，对 ，有 ，求实数 的取值
范围.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析；
【详解】（1） .
不等式 可化为 ，所以 ，
即 ，
所以 或 ， ，
即 或 ， ，
所以不等式 的解集为
（2）（ⅰ）
.
因为 的周期为 ， 的周期为 ，
故 的周期也为 .
所以
，
所以 是以 为周期的周期函数.
（ⅱ） .
当 时， ，
因为 在 单调递增，所以 ，
又 在定义域内单调递减，故函数 在 单调递减，
又 ， 在 单调递减，
因此函数 在 单调递减，
所以当 时， .
当 时，
.
，因为 在 上单调递减，所以 ，
，
又 在定义域内单调递减，故 在 单调递减，
在 上单调递增，而 ，故 在
单调递减，故
在 单调递减
所以当 时， .
，对 ，有 成立，
等价于 ，即
当 时， ，故即 ，解得 .
当 时， ，显然不符合题意，舍去，
当 时， ，不符合题意，舍去，
综上可得 ，
故实数 的取值范围为 .
19．（17分）已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， 是奇函数.
（1）求 的解析式；
（2）已知函数 .
（i）证明：函数 有且只有一个零点；
（ii）记函数 的零点为 ，证明： .
【详解】（1）因为 是偶函数，所以 ，
所以 ，
又 是奇函数，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 .
（2）（i）由题意知
，
当 ，则 ，
此时 在 上单调递增，
又 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
又 ，
所以 在 上有唯一零点；
当 ，所以 ，
所以 在 上没有零点；
当 时， ，所以 ，所以 ，
所以 在 上没有零点.
综上， 有且只有一个零点.
（ii）由题意知 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
因为 ，所以 ，又 ，
则 ，
所以
，
即 .

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