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2026 年普通高考四月适应性检测 数 学
(卷面分值:150 分 考试时间:120 分钟)
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上.
2. 作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. 一组数据 的中位数为 5，则
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2. 已知全集 ，集合 ，则
A. B.
C. D.
3. 若复数 ,则
A. B. C. D.
4. 设 是非零向量,则 “ 共线” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 若将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象,则
A. B. C. D.
6. 记 为等差数列 的前 项和. 若 ,则
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
7. 已知 为坐标原点,抛物线 的焦点为 为 上一点, 与 轴垂直, 为 轴上一点,且 . 若 ,则 的准线方程为
A. B. C. D.
8. 如图，点 为正方形 的中心， 为正三角形，平面 平面 ， 是线段 的中点，则
A. ,且直线 是相交直线
B. ,且直线 是相交直线
C. ，且直线 ， 是异面直线
D. ，且直线 ， 是异面直线
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知双曲线 ,则
A. 的虚轴长为
B. 的离心率为 2
C. 的焦点到渐近线的距离为
D. 过焦点与 相交所得弦长为 5 的直线有 4 条
10. 已知 是递减的等比数列,其前 项和为 ,若 ,则
A.
B.
C. 为等比数列
D. 设 为数列 的前 项积,当且仅当 时, 取得最大值
11. 设 是定义在 上的偶函数,且当 时, ,则
A.
B. 当 时,
C. D. 恰有 2 个零点
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 不等式 的解集为_____.
13. 若曲线 在点 处的切线与圆 相切,则 _____.
14. 设 表示正整数 的所有正因数的个数,例如 4 有 3 个正因数:1,2,4,则 . 设 ,其中 表示 取遍 的所有正因数求和. 例如 . 则 _____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 在 中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求 ；
(2)若 的平分线交 于点 ，求 的面积.
16. (15分)已知椭圆 的中心在原点，离心率为 ，右焦点为 .
(1)求 的标准方程；
(2)若直线 与 交于 两点， 是 上位于直线 两侧的两点，直线 的斜率为 ,且 关于原点对称,求四边形 面积的最大值.
17. (15 分) 如图, 是边长为 2 的正方形,以 为圆心的半圆面 垂直于平面 , 是半圆弧 上的动点.
(1)证明:平面 平面 ；
(2)若平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 ，求四棱锥 的体积.
18. (17分)图像识别技术是人工智能的一个重要领域，是计算机视觉领域的技术分支，某大学的人工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序. 在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了 200 张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表 (单位:张):
识别结果 真实性别 男 女 无法识别
男 90 20 10
女 10 60 10
假设用频率估计概率,且该程序对每张人脸照片的识别都是独立的.
(1)从这 200 张人脸照片中随机抽取一张，已知这张人脸照片的识别结果为男性，求识别正确的概率;
(2)在新一轮测试中，小组同学对 4 张不同的女性人脸照片依次测试，全部测试完毕后，设 表示测试结果正确的人脸照片数，求 的分布列和数学期望；
(3)为处理无法识别的人脸照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案:
方案一:将无法识别的人脸照片全部判定为女性；
方案二:将无法识别的人脸照片全部判定为男性；
方案三:将无法识别的人脸照片随机判定为男性或女性(即判定为男性的概率为 50%， 判定为女性的概率为 ).
现从若干张不同的人脸照片(其中男性、女性人脸照片的数量之比与此轮测试中男性、 女性人脸照片数量比例一致)中随机抽取一张，分别用方案一、方案二、方案三进行识别,其识别正确的概率估计值分别记为 . 试比较 的大小.
19. (17 分) 已知 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若对任意 ，有 恒成立.
(i) 求 的取值范围;
(ii) 证明: 对任意的正整数 .
2026 年普通高考四月适应性检测 数学参考答案
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符 合题目要求的.
1. C 2. D 3. B 4. B
5. C 6. A 7. C 8. B
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. ABD 10. AC 11. ACD
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 或 13.5 或 -3 14.18
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 解:(1)方法一:原式 ，
,
,
.
方法二: 原式 ,
即 ,
,
. 6 分
(2)由余弦定理得 ,
代入 可得: ,
在 中,由等面积法有 ,
即 ,
代入 可得 ，
,解得 ,
. 13 分
16. 解:(1)设椭圆 的标准方程为 ，由题意得:
故 的标准方程为 . 4 分
(2) 两点关于原点对称，且直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ,
联立 ,解得 ,
, 9 分
设 ,则 ,且 ,
点 到直线 的距离为 ,
点 到直线 的距离为 ,
四边形 的面积 ,
,
当 时,四边形 的面积有最大值 24 . 15 分
17. (1)证明:由已知得平面 平面 ,交线为 ,
是正方形, 平面 ,
又 是圆 的直径, 平面 ,
平面 平面 平面 . 7 分
(2)解:以 为坐标原点，平行于 方向为 轴， 方向为 轴，垂直于平面 方向为 轴建立如图所示坐标系.
设 ,则 ,
,
设平面 的法向量 ,
则
令 ,可得 ,
由 (1) 知平面 的一个法向量为 ,
点 的坐标为 ,
设平面 和平面 所成锐二面角为 ,
则 ,
整理得 ,解得 ,
故 . 15 分
18. 解:(1)根据题中数据，被识别为男性的人脸照片共有 90 +10 =100 张，其中真实性别为男性的人脸照片有 90 张，所以识别正确的概率为 . 3 分
(2)设事件 :输入女性人脸照片且识别正确，
根据题中数据,真实性别为女性的人脸照片有 张,输入女性人脸照片且识别正确的有 60 张,所以 可估计为 ,
由题意知 ,
,其中
所以 的分布列为
0 1 2 3 4
256 3 64 27 128 27 64 81 256
所以 . 10 分
(3)由题可知，此轮测试的 200 张人脸照片中，其中女性人脸照片共有 80 张，男性人脸照片共有 120 张,
程序将男性人脸照片识别正确的频率为 ,识别为女性的频率为 ,无法识别的频率为 ,
程序将女性人脸照片识别正确的频率为 ,识别为男性的频率为 ,无法识别的频率为 ,
由频率估计概率得
所以 . 17 分
19. ( 1 )解:因为 ，所以函数 ，
求导得 ,
则 ,又 ,
故曲线 在 处的切线方程为 . 5 分
(2)(i)解:对任意 ，由 ，
设函数 ,
求导得
当 时, ,不符合题意;
当 时, ,函数 在 上单调递增, ,因此
当 时,令 ,求导得 ,
则 ,使得 ,当 时, ,函数 在
上递增, ,即 ,因此 ,
此时 ,不符合题意;
综上, 的取值范围是 . 11 分
(ii) 证明: 由 (i) 得当 时, ,
令函数 ,求导得 ,
因为 ,
所以函数 在 上单调递增, ,
函数 在 上单调递增, ,
函数 在 上单调递增, ,
因此,当 时, ,所以 ,
当 时, ,所以结论成立;
当 时, ,
于是, ,
故对任意的正整数 成立. 17 分
以上解法仅供参考, 如有其他方法, 酌情给分.

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