资源简介

数学试题
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，只有一个选项符合题目要求。
1. 复数 2-3i 的虚部是( )
A. B. -3i C. 3 D. -3
2. 如图，在 中， ，则 )
A. B. C. D.
3. 已知向量 、 满足 ，且 ，则向量 在向量 上的投影向量为__( )
A. B. C. D.
4. 记 ,则( )
A. B. C. D.
5. 已知 ，有 的对边分别是 ，若 ，则 是( )
A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形
6. 在 中, ,若满足条件的 有 2 个,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7. 已知函数 的部分图像如图所示, , 则 ( )
A. 0 B. -1 C. D.
8. 已知函数 若函数 有 6 个不同的零点, 则实数 的范围是 、)
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。有多个选项符合题目要求。全对得 6 分, 部分选对得部分分，有选错的得零分。
9. 设 为复数( 为虚数单位)，下列命题正确的有( )
A. 若 ,则 B. 若 ，则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知 是定义在 上的奇函数,且 为偶函数,当 时, ,则
A. 4 为函数 的一个周期
B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上单调递增
D.
11. 已知 三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ， 则下列选项正确的是( )
A.
B. 若点 在边 上， 为角平分线且长度为 1，则
C. 若 是 边上的一点，且 ，则 的面积的最大值为
D. 若 是 的外心， ，则
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 函数 的图象恒过定点_____
13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为 和 ，第一排 点和最后一排 点的距离为 米 (如图所示)，则旗杆的高度为_____米。
第 13 题图
第 14 题图
14. 在以 为圆心,半径为 的 中,有一个内接锐角三角形 ,其中 的角平分线交 于点 ，则 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分, 其中第 15 题 13 分, 第 16、17 题 15 分, 第 18、19 题 17 分。 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (1)已知平面向量 ，若 与 平行，求实数 的值；
(2)已知平面向量 的夹角为 ，且 ，若 与 垂直，求实数 的值.
16. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 周长的范围.
17. 已知 为坐标原点，点 ， ， ，记函数 ，函数 的对称中心到相邻对称轴的距离为 .
(1)求 的解析式及函数的单调递增区间；
(2)将函数 图像上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单位，就可得到 的图像,当 ,求函数 的值域.
18. 如图，设 是平面内相交成 的两条射线， 分别为 同向的单位向量，若向量 ,则把有序数对 叫做向量在斜坐标系 中的坐标，记为 . (1)在斜坐标系 中， ，求 ；
(2)在斜坐标系 中， ， ，且 与 的夹角 .
① 求 ；
② 分别在射线 上， 为线段 上两点，且 ，求 的最小值.
19. 记锐角 的内角 的对边分别为 .
(1)若 ，证明: .
(2)当 , 时,求 面积的最大值.
(3)当角 满足 ,其中符号 表示不大于 的最大整数,若 ,试探讨 是否为定值 请说明理由.
数学试题参考答案
1. 【答案】D因为复数 的虚部为-3.
2. 【答案】D由 ,可得 ,所以
3. 【答案】A因为 ，且 ，由投影向量的定义，向量 在 上的投影向量为: .
4. 【答案】D因为 在 上单调递增,又 ,所以 ,因为 在 上单调递增,又 ,所以 ,因为 在 上单调递增, ,所以 ,所以 .
5. 【答案】 由 ,结合正弦定理可得 ,所以 ,又因为 是 的内角，故 ，所以 是等边三角形.
6.【答案】 在 中， ， ， ，又满足条件的 有 2 个，则 ， 即 ,解得 ,所以 的取值范围是 .
7. 【答案】 由图像可知, ,由 可得 ,且 , 所以 ,解得 ,所以 ,由 可得, ，所以 ，即 ，即 ,且 ,当 时, ,所以 ,则
8. 【答案】A画出函数 的图像如图所示,函数 有 6 个零点,等价于 有 6 个解,即 或 共有 6 个解,等价于 的图像与直线 和直线 ,共有 6 个交点,由图得 的图像与直线 有 4 个交点, 所以 的图像与直线 有 2 个交点,所以 或 ,解得 或 , 即实数 的取值范围是 .
9.【答案】 对于 选项，若 ，则 对；对于 选项，不妨取 ，则 ， 但 不是实数， 错；对于 选项，若 ，则 ，可得 或 ， 对；对于 选项,若 ,则 , D 对.
10.【答案】 对于 ,因为函数 为偶函数,所以 ,即 的图像关于直线 对称,因为 为奇函数,所以 ,则 ,所以 ,所以 是周期为 4 的周期函数,故 正确; 因为 关于直线 对称,根据 可知 是周期为 4 的周期函数,所以关于直线 对称,故 正确; 又因为 是定义在 上的奇函数,所以 , 因为当 时, ,所以函数 在 上单调递增,所以函数 在 上单调递增,又 是定义在 上的奇函数,所以 在 上单调递增,所以 在 上单调递增,又 关于直线 对称,所以函数 在 上单调递减,又因为 是周期为 4 的周期函数，所以 在 上的单调性相当于在 上的单调性，故此时递减，故 C 错误； 当 时, ,所以 , ,所以 , ,所以 ,所以 ,故 D 正确.
11. 【答案】BCD对于 A 选项，因为 ,
由正弦定理可得 ,整理可得
,由与余弦定理可得
,所以 ,因为 , 故 , A错; 对于 选项,因为点 在边 上, 为角平分线且长度为 1,所以 , 由 ,即 ,因为 ,所以 ,故 对; 对于 选项,因为 ,则 ,即 ，所以 ，即 ,即 ,当且仅当 ,即当 时，等号成立，所以， ，故 面积的最大值为 ，C 对; 对于 选项,因为 ,所以 ,可知点 在优弧 上(端点除外),由题意得 ,则 ,又因为 , 且 ,所以可得 ,即 ,又因为 ,所以 ,解得 ,当且仅当 时,等号成立,所以可得 ,故 正确.
12. 【答案】 令 ,解得 ,则 ,所以函数 的图象恒过定点 .
13. 【答案】 27 由图可得 ，在 中，由正弦定理可得 ,即 ,在 Rt 中, , 可得 米.
14.【答案】 . ,设 ,则 , 则 ，再由角平分线定理， ，则由定比分点性质， ，又 为三角形 的外心,所以:
; 且三角形 为锐角三角形,则三角形的面积 ，其中 为三角形 的 边上的高，由题意， 的取值范围为 ，则 .
15.(1) 与 平行， ， 解得: . 6 分
(2) ，
与 垂直， ，
,得 ,解得 . 13 分
16. ( 1 )因为 ,由正弦定理可得 , 所以 , 得到 ,即 ,又 ,所以 , 又因为 ,可得 . 6 分
(2)设 外接圆半径为 ,则 ,
周长 ,
因为 是锐角三角形,且 ,所以 ,则 ,
则 ,所以周长的取值范围为 . 15 分
17. ( 1 )由题意得:
因为函数 的对称中心到相邻对称轴的距离为 ，所以函数 的周期为 ，
即 ,所以 , 当 时,解得 ,
即 的单调递增区间是 ; 9 分
(2)若将函数 图像上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，则 ， 再向右平移 个单位,就可得到 的图像,即 , 当 时, ,所以 ,即 , 故函数 的值域为 . 15 分
18. 【答案】(1) ； ② 最小值为
(1)因为 ,
则 ,所以 ; . 4 分
(2)①因为 ，
,
则 ,化简并整理得 ,
解得 或 (舍去,因为 ),则 10 分 ②依题意设 ，
因为 为 中点，则 ，
同理 ,
则 ,
在 中， ，依据余弦定理得 ，
所以
在 中, ,由正弦定理 ,
设 ,则 ,
所以,当 时, 取最小值 ,
此时 取最小值 . 17 分
19. ( 1 )由题意可知 ， ，则 ，
因为 在 上单调递增,所以 ,
所以 . 4 分
(2)在锐角 中，由 ,
得 .
因为 ,可得 ,
得 ，又 ，所以 ；由余弦定理有 ， 当且仅当 时取等，而 ，所以 ，
所以 .
即该三角形的面积的最大值为 . 10 分
(3)由(2)知 .
记 ,由条件得 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,所以 必为整数.
由 ,得 ,所以 ,又 ,所以 ,
所以 ,又 ,所以 ,
解得 ,代入 得 ,
即 ,所以 . 17 分

展开更多......

收起↑