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高三数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生母、考场号、座位母填写在答题卡上。
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷主要考试内容:高考全部内容。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 若复数 的实部与虚部相等,则
A. 0 B. 6 C. -6 D. 36
2. 设集合 ，则
A. B.
C. D.
3. 已知向量 ,则 的最小值为
A. 0 B. 1 C. 2 D.
4. 在等比数列 中, ,则
A. B. 2 C. D. 4
5. 已知圆 与直线 恰有 2 个交点,则 的取值范围是
A. B. C. D.
6. 一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度 (单位: )关于时间 (单位: ) 的函数解析式为 ( 为参数). 已知刚开始退潮时水面高度为 ，若从 到 ,水面高度下降了 ,则
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7. 已知函数 在 上有且仅有 3 个零点,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
8. 已知函数 的图象关于直线 对称,且 在 上单调递减,若 ,则 的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 2020-2024 年我国粮食产量(单位:万吨)如图所示，下列结论正确的是
A. 2020-2024 年我国粮食产量逐年增加
B. 2020-2024 年我国粮食产量的中位数为 68653 万吨
C. 2020-2024 年我国粮食产量的极差为 3699 万吨
D. 2020-2024 年我国粮食产量与年份负相关
10. 已知 是双曲线 的一个焦点,过点 作双曲线 的一条渐近线的垂线,垂足为 ,且与另一条渐近线交于点 ,若 ,则双曲线 的离心率可能为
A. 2 B. 3 C.
D.
11. 已知四边形 外接圆的圆心为 ,且 ,则
A.
B. 面积的最大值为
C. 当 时，四边形 面积的最大值为
D. 四边形 面积的最大值为 2
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知点 在抛物线 上,若点 到点 的距离与点 到 的准线的距离相等，则 _____▲_____.
13. 若曲线 与曲线 在它们的公共点处有相同的切线，则 _____▲_____.
14. 已知平面 分别过正四面体的四个顶点,且平面 相互平行,相邻两个平面之间的距离均为 ，若该正四面体的棱长为 4，则 _____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13分)
已知 是公差为 2 的等差数列， 是公比为 2 的等比数列，且 . (1)求 ， 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，用 表示不超过 的最大整数，例如 ， ， 求 的取值集合.
16.(15分)
如图，在五面体 中，平面 平面 ，四边形 为矩形， 是等腰直角三角形, .
(1)证明: 平面 .
(2)求五面体 的体积.
(3)求平面 与平面 所成角的大小.
17. (15 分)
现有甲、乙两个盒子,每个盒内均有 10 个小球,小球分红、白、黑三种颜色,小球除颜色外其他特征完全相同. 已知两个盒子内均有 3 个黑球,甲盒内有 个红球,乙盒内有 个红球. 先从甲盒内随机取 1 个小球放入乙盒内,再从乙盒内随机取 1 个小球.
(1)若 ，求在 盒内随机取出的小球的颜色是黑色的概率；
(2)若在乙盒内取出小球的颜色是红色的概率为 ，求 ， 的值；
(3)若在乙盒内取出红球积 分，取出白球积 分，取出黑球积 分，试探究当 ， ， 满足什么关系时,积分的期望值与 无关.
18.(17分)
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,右顶点为 为直线 上一点,且椭圆 的离心率为 .
(1)求椭圆 的方程.
(2)过点 作椭圆 的切线，切点为 (异于点 ).
①证明: .
②若 ，求 .
附:在椭圆 上一点 处的切线方程为 .
19.(17分)
已知函数 .
(1)求 ， 的单调区间；
(2)已知 ，函数 ，讨论 的极值点的个数；
(3)若 ，求 的取值范围.
高三数学参考答案
题序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
答案 C C B B C A D D AB AD BCD 10 1 或
15.
解: (1) 由题意可得 解得 . 2 分 3 分 4 分
(2) 5 分
6 分
两式相减得 8 分
, 10 分
所以 . 11 分
因为 ,所以 . 12 分
又 ,所以 的取值集合为 . 13 分
16.(1)证明:在矩形 中， .
因为 ,所以 平面 .
因为 平面 ,所以 ,即 . 2 分
过点 作 ,垂足为 .
,所以 ,即 . 4 分
又 ,所以 平面 . 5 分
(2)解:连接 . 该五面体可由四棱锥 和三棱锥 组成.
四棱锥 的体积 , 7 分
三棱锥 的体积 , 9 分
五面体 的体积 . 10 分
(3)解:以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 . 11 分
由(1)可得平面 的一个法向量为 . 12 分
易知平面 的一个法向量为 , 13 分
则 , 14 分所以平面 与平面 所成角的大小为 . 15 分
17.
解: 记 在甲盒内取出的小球颜色为红色 在甲盒内取出的小球颜色为白色 , 在甲盒内取出的小球颜色为黑色 在乙盒内取出的小球颜色为红色 {在乙盒内取出的小球颜色为白色}, 在乙盒内取出的小球颜色为黑色 .
(1) . 4 分
(2) 5 分 ,
即 . 7 分
因为 ,所以 . 9 分
(3)
. 10 分
11 分
. 12 分
设积分为 ,则 ,
14 分由此可得,当 时,积分的期望值与 无关,此时期望值为 . 15 分
18.(1)解:由题意可得 解得 2 分所以椭圆 的方程为 . 4 分
(2)①证明:根据对称性，不妨令点 在第一象限，设 ，则直线 的方程为 ,且 . 5 分
令 ,解得 ,则 . 6 分
又 , 8 分
9 分
, 11 分
所以 ,即 ,所以 . 12 分
② 解:因为 ，所以 . 13 分
因为 ,所以 ,所以 . 15 分
在 Rt 中, . 17 分
19.解: (1) .
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 2 分
当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 4 分
(2) . 5 分
令 ,得 或 0 或 .
① 当 ，即 时.
当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 的极值点个数为 1 . 6 分
② 当 ,即 时.
当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 的极值点个数为 3 . 7 分
③ 当 ,即 时.
当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减, 的极值点个数为 1 . 8 分
④ 当 ，即 时.
当 时， ，当 时， ,所以 在 上单调递增,在 ) 上单调递减, 的极值点个数为 3 . 9 分
综上,当 或 时, 的极值点个数为 1,当 或 时, 的极值点个数为 3 . 10 分
(3)结合(1)及(2)中 的情况,分析如下:
① 当 ,即 时， ， 都在 上单调递增， 在 上单调递减.
取 ,
即 ,
所以 ,则 ,不符合题意. 11 分
② 当 时， ， ， 都在 上单调递减.
不妨取 ,
即 ,
所以 ,则 ,符合题意. 12 分
③ 当 时， 都在 上单调递增.
不妨取 ,
即 ,
所以 ,则 ,符合题意. 13 分
④ 当 时,取 都在 上单调递增, 在 , -2]上单调递减, ,
即 ,
所以 ,则 ,不符合题意. 14 分
结合(1)及(2)中 的情况，分析如下:
⑤ 当 时,取 ,使得 .
因为 在 上单调递增,所以 ,
即 ,
则 ,所以 ,不符合题意. 16 分
综上, 的取值范围为 或 . 17 分

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