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台州市 2026 届高三第二次教学质量评估试题 数 学
2026.04
本试题卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分, 考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分(共 58 分)
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。
1. 已知 为等比数列， ， ，则
A. 8 B. 12 C. 16 D. 17
2. 已知 为第二象限角,且 ,则
A. B. c. D.
3. 设一个随机事件的样本空间为 ,事件 ,则下列结论中不一定成立的是
A. B.
C. 若 ,则 D. 若 ,则
4. 已知实数 ,若 ,则
A. B. c. D. 1
5. 已知一个圆锥的底面半径为 ，高为1，则下列对该圆锥的表述正确的是
A. 体积为 B. 表面积为
C. 两条母线的夹角的最大值为 D. 过顶点的截面面积的最大值为 2
6. 已知点 ,点 是抛物线 上的动点 (异于 两点),记直线 的斜率为 ,直线 的斜率为 ,则下列结论正确的是
A. 为定值 B. 为定值 c. 为定值 D. 为定值
7. 设复数 是关于 的方程 的两个根, 在复平面内所对应的点分别为 为坐标原点,若 ,则下列结论正确的是
A. B. C. D. 为纯虚数
8. 已知数列 共有 5 项,各项均为正整数,且对 ,满足 ,若 为数列 中的项,记满足题意的数列 的个数为 ,则
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则
A. 的最小正周期为
B.
C. 的值域为 D. 是 图象的一个对称中心
10. 设 为常数,则
A. B.
C. D.
11. 已知正四面体 的棱长为 4,顶点 在平面 的同侧,点 ,顶点 到平面 的距离分别为 1,2,直线 与平面 交于点 ,则
A. 直线 与平面 所成角为 B. 平面 与平面 所成角为
C. D. 点 到平面 的距离为
非选择题部分(共 92 分)
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知平面向量 ,若 ,则 的最小值为_____
13. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 在双曲线 上， 为坐标原点， ， ，则双曲线 的离心率为_____▲_____.
14. 已知一个不透明的袋子里装有除颜色外没有其他差异的 2 个白球和 4 个黑球, 现操作如下:从袋子中随机取出一个球，若取出的是白球，则放进一个黑球，白球不放回；若取出的是黑球, 则放进一个白球, 黑球不放回 (其中放进去的白球或黑球与原来袋子里的相应颜色的球没有差异). 依此规则操作 2 次，记袋中的白球个数为 ，则 的数学期望为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)在 中，角 所对的边分别为 ，满足
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的周长.
(第 16 题)
16.(15分)如图，在四棱台 中，上、下底面均为正方形， 底面 ， ,点 为棱 的中点.
(1)求证: 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值.
17.(15 分)2016-2024 年我国的国内生产总值(GDP)的数据(摘自《中国统计年鉴一2025》) 如下:
年份( x ) 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024
GDP/万亿元( y ) 74.64 83.20 91.93 98.65 101.36 114.92 120.47 129.43 134.91
由以上数据,得到 与 的 9 对样本数据为 ,有关计
算结果如下: .
(1)证明: ;
(2)请根据最小二乘法，求出一元线性回归方程，并计算出 2025 年的 GDP 预测值与实际值的误差. (注: 从《中国统计年鉴一2025》中查得 2025 年的 GDP 为 140.19 万亿元.)
附:一元线性回归方程 ，其中 .
18.(17 分)已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 ，点 是椭圆 上位于第四象限内的任意一点.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作椭圆 的两条切线 ，过点 作椭圆 的切线 与 的交点分别为 ，
(i) 求切线 的方程;
(ii) 问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
19.(17分)已知 ，函数 .
(1)当 时，求函数 的极小值；
(2)证明:当 时，对任意 ，都有 ；
(3)若存在 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围.
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D C D C B C
二、选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9 10 11
BC ABD ACD
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)解:(1)已知 ，由正弦定理得， ,化简得 , 4 分即 ,因为 ,所以 . 7 分
(2)由余弦定理 ，得 ， 11 分解得 ,所以 ,
故 的周长为 . 13 分
16. (15分)(1)证明:连接 交 于 点，由 是正方形得 为 的中点，因为 为 的中点，所以 为 的中位线，于是 ， 4 分又因为 平面 平面 ,所以 平面 . 6 分
(2)由已知， 平面 ， ，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系,如图所示,
(第 16 题)
则 ,
设平面 的法向量为 ,则
即 取 ,
设平面 的法向量为 ,则
即 取 , 12 分
记平面 与平面 的夹角的大小为 ,则 ,
故 . 15 分
17. (15 分) (1) 证明: 因为
-2 分
又因为 ,
所以 .
故 . 5 分
(2)设一元线性回归方程为 ，则 ，
将 代入回归方程得 105.5 ，解得 ，
所以一元线性回归方程为 , 12 分
当 时,求得 ,即 2025 年的 GDP 预测值为 143.26 万亿元,
而实际 2025 年的 GDP 为 140.19 万亿元，故误差值为 143.26-140.19=3.07(万亿元). ...15 分 18.(17分)解:(1)由题意得 ，解得 ， ，
所以椭圆 的标准方程为 . 3 分
(2)(i)由题意，设过点 的直线方程为 ，联立方程组
消去 并整理得 ,
由 ,即 ,解得 . 所以切线方程分别为 . 8 分
(ii) 设 ,则 ,由 (2) 知 ,
得 , 12 分
因为 分
所以 ,即 ,
故 为定值,且定值为 . 17 分
19. (17 分) (1) 由 ,得 .
令 ,解得 ,
当 时, ; 当 时, ; 当 时, ,
因此, 的极小值为 . 4 分
(2)证明:当 时， ，
所以 为增函数,即对任意的 ,不妨设 ,则 ,
又因为 ,所以 为增函数,
得 ,即 ,故 分
(3)解:由题意不妨设 ，
因为 ,所以有 ,
整理得 ,
令 .
① 当 时， ，
此时 .
② 当 时，令 ，解得 ，
因此, 在 上单调递减,在 上单调递增,故 ,
因为 ,
又因为 ,得 ,即 ,
所以 ,
记 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
即 ,
因此,当 时, ,
又 ,
综上, ,即 的取值范围是 分注: 求 最小值的第二种解法.
令 ，因为 ， ，所以 ，
下证: ,
因为
,
只需证: ,
只需证: ,
令 ,则 ,
因为 ,
所以 ,即 恒成立,
因此, ,
令 ,则 ,对于 ,
所以 ,当且仅当 时, .

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