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金华十校 2026 年 4 月高三模拟考试 数学试题卷
满分 150 分, 考试时间 120 分钟.
考生注意:
1. 考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卷上.
2. 选择题的答案须用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.
3. 非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卷上相应区域内,答案写在本试题卷上无效.
选择题部分 (共 58 分)
一、单选题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题 目要求的.
1. 已知集合 ,则
A. B. C. D.
2. 复数 在复平面内对应的点所在的象限为
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 一组样本数据依次为-2,-1,0,2,4,5. 关于这组数据的数字特征,下列选项正确的是( A )
A. 极差为 -7 B. 平均数小于 0 C. 方差小于 1 D. 中位数为 1
4. 如图，汽车内胎(不考虑物体的内部结构)可以由下面某个图形绕轴旋转而成，这个图形是( ▲ )
A.
B.
C.
D.
5. 某物种繁殖能力极强，在没有外部因素干扰的前提下，其种群数量每经过一年就会增长为原来的 5 倍，则该物种种群数量变成原来的 1000 万倍大约需要经过(▲)(参考数据: )
A. 10 年 B. 11 年 C. 23 年 D. 24 年
6. 在 中,内角 所对的边分别为 ,若 的面积为 ,则
A. B. C. D.
7. 抛物线 的焦点为 ,斜率为 2 的直线 与抛物线 相交于 , 两点,且 ,则
A. B. C. D.
8. 若某个函数的图象可以夹在两条平行直线之间,且对于定义域内的任意 ,当 时,都有 ,则称该函数为 “阶梯形函数”. 下列选项中,不是 “阶梯形函数” 的是
A. (不超过 的最大整数) B.
C. D.
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
9. 已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,且 ,则
A. B. C. D.
10. 在棱长为 3 的正方体 中,点 在棱 上且 ,点 在正方形 内运动(含边界)，若 平面 ，则(A)
A. 点 的运动轨迹为线段
B. 的最小值为
C. 存在点 ,使得
D. 过 四点的球的表面积最小值为
11. 第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合. 会徽轮廓如下图 1 ，现将其简化为图 2: 半径均为 1 的圆 互相过圆心, 为圆 上两点,且 ,点 在圆 与圆 上运动. 若 ,则下列选项可能成立的是
A.
(图 1)
(图 2)
B.
C.
D.
非选择题部分(共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 双曲线 的离心率为_____▲_____.
13. 数列 中， ， ，记数列 的前 项和为_____。 _____▲_____.
14. 已知实数 满足 ,若对任意实数 ,记 的最小值为 ,则 的最大值为_____▲_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知函数 .
(1)求 ；
(2) 中，若 构成等差数列，且 ，求 .
16. (15 分) 三棱锥 中， 平面 .
(1)证明:直线 平面 ;
(2)求直线 和平面 所成角的正弦值.
(第 16 题图)
17. (15 分) 设椭圆 的右焦点为 ，左顶点为 ，上顶点为 ， . 点 是椭圆 上的一点， 轴，且 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若过点 且斜率不为零的动直线 与椭圆 相交于两个不同的点 ，过线段 的中点 作直线 的垂线与 轴分别交于 ,求 的取值范围.
18. (17分)已知函数 .
(1)求函数 的极小值；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若存在实数 ，使得 在 恒成立，求实数 的取值范围.
19. (17 分) 某信息源仅发射信息 ,且第 次发射的概率分别为 ,首次发射概率由二项分布 生成, ,第一次信息发射后遵循下表规则:
射 第 次 A B C
发射信息的概率 A 的概率
B 的概率
C 的概率
当发射信息的次数足够多后,若该信息源发射信息 的概率分别趋近于定值 , 则称该信息源存在发射稳定期.
(1)写出 的值(用 表示).
(2)当 时，证明: .
(3)当 时，该信息源是否存在发射稳定期？若存在，求 ， ， 的值；若不存在，请说明理由.
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分。在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
D B D C A C A D
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.
9 10 11
AD ABD ACD
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 13. 14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. 解析: (1) 或 ,
又
(2) ，结合 ，可得 ，
,
.
16. 解析: (1) 平面 平面 ,
又 平面
(2) 平面 平面 ，
,
平面 平面 平面 平面 ,
过 点作 为垂足,
平面 平面 平面 , 由题意可得: ，
如图，以 点为原点，以 为 轴， 为 轴，
过 点且与 同向的方向为 轴建立空间直角坐标系,
则 ,
由 可得 ,
另外,设平面 的一个法向量为 ,直线 和平面 所成角为 ,
结合 ,
则有 ,取 ,可得 ,
,
综上,直线 和平面 所成角的正弦值为 .
17. 解析: (1)
由 得: ,
解得 ,
所以椭圆标准方程为 .
(2)设直线 的方程为 ，点 ， .
联立 得 ，所以
.
,从而 ,
解得 ,
所以 ,令 ,
则 ,
综上, 的取值范围为 .
18. 解析: (1) ,当 时, ,当 时, , 在 上单调递增,在 单调递减,
的极小值为 .
(2) ,
时, 在 上单调递减
时,由 可得 ,由 可得 或
在 上单调递增,在 和 上单调递减 时,由 可得 ,由 可得 或
在 上单调递增,在 和 上单调递减
(3) 记
① 当 时，若 ，取 ，不合题意
若 ,方程 满足 ,
由于 ,该方程有一正一负两个实根,
取其正根为 ,则 ,不合题意
时,不存在实数 ,使得 恒成立.
② 当 时，不妨取 ( 的取值范围与 有关，此处说明存在性即可)，
则 ,
记 ,则 ,
当 时, 单调递减,
当 时, 单调递增,
在 单调递减, ,
也即对 ,都存在 ,使得 在 恒成立,
综上,实数 的取值范围为 .
19. 解析: (1) 由二项分布可得 .
(2)若 ，则 ， .
由题知
又 ,
所以 ,又 ,所以 ,所以 .
(3)由题知， ，则 ，
又因为 ,则 恒成立,
又有 ,则 ,
所以 ,
则 ,所以
则 ,则 .
另解: ,
则可得方程组 ,解得 . (此法没说明收敛性,适当扣分)

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