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高三 4 月测试卷 数 学
全卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4. 考试结束后, 请将试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的.
1. 若 ,则 的虚部为
A. B. C. D.
2. 已知集合 ，全集 ，则
A. B.
C. D.
3. 在平面直角坐标系中,过点 的直线 与圆 有两个交点,则直线 斜率的取值范围为
A. B. C. D.
4. 已知具有线性相关的两个变量 之间的一组数据如表:
0 1 2 3 4
2.5 4.0 4.3 4.2
且回归直线方程是 ,则
A. 6.2 B. 6.3 C. 6.4 D. 6.5
5. 一个底面直径为 ，高为 的圆柱形水槽中装有高度为 的水，现向其中放入一个直径为 的铁球和一个底面直径和高均为 的圆锥形铁块,当铁球和圆锥形铁块都完全浸没入水中时,水槽中的水面高度达到
A. B. C. D.
6. 若函数 的图象在点 处的切线也是函数 的图象的切线,则实数
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
7. 双曲线 的左右焦点分别为 ,过点 的直线与双曲线的右支分别交于 两点,且 成等差数列,则 等于
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
8. 已知函数 的一个零点为 ,一条对称轴为 , 则 的最小值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要 求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某单位有职工 450 人，其中男职工 150 人，现为了解职工健康情况，该单位采取分层随机抽样 的方法抽取了一个容量为 90 的样本，得出体重情况:男职工的平均体重为 63kg，女职工的平 均体重为 . 则下列说法正确的是
A. 抽查的样本中女职工人数为 30 B. 该单位男职工的体重普遍比女职工重
C. 估计该单位职工平均体重为 D. 男、女职工被抽中的可能性均为
10. 下列结论中,正确的是
A. 函数 的图象恒过定点
B. 幂函数 是奇函数
C. 不等式 的解集为
D. 若函数 在 上单调递增,则
11. 已知抛物线 ,直线 过抛物线 的焦点 ，且与抛物线 分别交于 ， 两点，则下列说法中正确的是
A. 若直线 的斜率为 ，则
B. 的最小值为
C. 若以线段 为直径的圆与 轴的公共点为 ，则点 的横坐标为
D. 若点 ，则 周长的最小值为
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分.
12. 已知平面向量 ,若 ,则 _____
13. 计算:
14. 若函数 在 处取得极大值,则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)
在 中,角 的对边分别为 ,且 .
(1)求角 的大小；
(2)若角 为锐角,且 ,求 的面积.
16.(本小题满分 15 分)
已知数列 的前 项和为 ，且长为 ，宽为 的长方形的面积为 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 ；
(3)若数列 的前 项和为 ，证明: .
17. (本小题满分 15 分)
如图所示,四边形 与 均为菱形, ,且 .
(1)求证:平面 平面 ；:
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)试问直线 上是否存在点 ，使直线 平面 ，若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由.
18. (本小题满分 17 分)
为促进消费,某电商平台和生产商在本周联合推出“有奖闯关”活动. 活动规则如下:消费者成功闯过第一关获得基础券 (获得 10 元基础券的概率为 0.6 , 获得 20 元基础券的概率为 0.4). 闯过第一关后，可进行第二关闯关，成功闯过第二关后可获得进阶势 20 元，且这两种优惠券可叠加使用抵扣支付商品. 已知消费者闯过第一关的概率为 ，闯过第二关的概率为 . 某生产商将商品定价 100 元，成本 41 元；优惠券成本由生产商承担基础券面额的 30%，进阶券面额的 50%.
(1)若 ， ，记消费者购买一件该商品的实际支付金额为 (单位:元)，求 的分布列和数学期望 ;
(2)设所有消费者均闯过第一关获得了基础券,推出活动后商品购买概率为 ，记生产商销售一件该商品的期望利润为 (单位:元).(期望利润 购买概率 (支付金额的期望一商品成本) 一优惠券成本的期望)
(i) 求 关于 的函数表达式;
(ii) 证明: 在 内存在唯一极大值点,并求当 为何值时,商家期望利润 最大？最大期望利润是多少？(结果保留 1 位小数)
19. (本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,有点 ,且动点 满足 ,记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)过点 且斜率不为 0 的直线 与 相交于两点 、 ( 在 的左侧). 设直线 ， 的斜率分别为 .
(i) 求证: 为定值;
(ii) 设直线 与直线 相交于点 ,求证: 为定值.
高三 4 月测试卷 数学 参考答案、提示及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C C D A C
题号 7 8 9 10 11
答案 B B BD AD AB
1. A 因为 ,所以 ,其虚部为 . 故选 A.
2. C 由题意得 ,即 ,故集合 或 . 故选 C.
3. C 圆 可化为 ,则圆心 ,半径 ,由题意可知,过点 的直线 与圆 相交,当直线 的斜率不存在时, 与圆相切,不符合题意,故直线 的斜率存在. 设 ,即 ,则 ,即 ,解得 ,故直线 斜率的取值范围为 . 故选 C.
4. 由数据表,得 ,依题意,回归直线 过点 ,则 ,所以 . 故选 D.
5. A 根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积, 利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度,即 ,故水槽中水面的高度达到 . 故选 A.
6. C 由题意得 ,则 ,所以 的图象在点 处的切线方程为 , 即 . 设直线 与 的图象相切于点 ,又 ,则 ,解得 ,所以 ,即 ,则 . 故选 C.
7. 由题知 ,因为 成等差数列,所以 , 由双曲线的定义得: ①, ②, ③得 ,又因为 ,所以 . 故选 B.
8. 由题意可知, ,所以 ,即 . 又 ,所以 ,所以 . 因为 ,所以当 时, 取得最小值: . 故选 B.
9. BD 对于 ,抽查的样本中女职工人数为 ,故 错误;
对于 B，男职工的平均体重 ，女职工的平均体重为 ，根据样本估计可知:该单位男职工的体重普遍比女职工重，故 B 正确；
对于 ,估计该单位职工平均体重为 ,故 错误;
对于 ,男、女职工被抽中的可能性均为 ,故 正确. 故选 BD.
10. AD 对于 ,令 ,则 ,此时 ,所以图象恒过定点 ,故 正确;
对于 ,因为 是幂函数,所以 ,所以 ,所以幂函数 ,该函数为偶函数，故 B 错误；
对于 ,因为 ,所以 ,故 错误;
对于 ,因为函数 在 上单调递增,所以函数 在 上单调递增,且 ,所以 ,解得 ,故 D 正确. 故选 AD.
11. 对于 ,抛物线的焦点为 ,直线 斜率为 ,则直线 的方程为 ,与抛物线方程联立, ,消去 得 ,设 ,由韦达定理得 ，根据抛物线焦点弦长公式得 ，故 A 正确；
对于 ,设直线 的倾斜角为 ,由抛物线焦点弦性质 ,则 ,根据基本不等式 ,当且仅当 时取等号,所以 ,故 B 正确;
对于 ,设 ,则线段 的中点为 ,以线段 为直径的圆的方程为 ,因为圆与 轴的公共点为 ,代入有 ,所以 ,又 ,联立解得 ,故 错误; 对于 的周长为 等于 到准线 的距离 ,所以 的周长为 ,当 为点 到准线的垂足) 三点共线时, 最小为 ,则 的周长最小值为 ,故 D 错误. 故选 AB.
12. 因为 ,则 ,则 ,解得 ,则 .
13.2 ,又 ,故上式可化为 . 又由 ,可得 .
14. 由 ,求导可得 . 令 ,可得: 或 . 当 时,即 恒成立, 在定义域上单调递减,不符合题意; 当 时,因为 ,所以 ,由 ,得 ,由 ,得 或 ,即 在 和 单调递减,在 单调递增,即函数 在 处取得极小值,不符合题意; 当 时,因为 ,所以 ,由 ,得 ,由 ,得 或 ,即 在 和 单调递减,在 单调递增,即函数 在 处取得极大值,符合题意. 综上,实数 的取值范围为 .
15. 解: (1) 由 以及正弦定理得, , (2 分) 所以 . (5 分) 因为 ,所以 ,所以 ,可得 或 . (6 分)
(2)因为角 为锐角,所以 , (7 分)
由余弦定理可得 ,
则 , (9 分)
因为 ,所以 ,得 , (11 分)
故 的面积为 . (13 分)
16. 解: (1) 由题意得 . (1 分)
当 时, . (3 分)
当 时, ,满足 .
故对任意的 . (5 分)
(2)由(1)得 ， (6 分)
则 ,
两式相减得 , (8 分)
有 ,
所以 . (10 分)
(3)因为 ， (12 分)
所以 ,
故对任意的 . (15 分)
17. 解: (1) 设 与 的交点为 ,连接 ,
因为四边形 与 均为菱形,且 ,
所以 , (2 分)
又因为 ,且点 为线段 中点,所以 ,
又因为 ,所以 平面 ,
因为 平面 ,所以平面 平面 . (4 分)
(2)因为 ， ，且 ，所以 平面 ，
设 ,因为四边形 与 均为菱形,
且 ,所以 , (5 分)
又因为 ,所以在 中, ,所以 ,
因为 ,
所以 平面 , (6 分)
以点 为坐标原点,分别以 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系,
所以 ,
由 ,得到 ,
所以 . (8 分)
设平面 的一个法向量为 ,则 ,取 ,所以 ,
因为平面 的一个法向量为 , (9 分) 设平面 与平面 的夹角为 ，所以 . (10 分)
(3)设 ，所以 ，
, (11 分)
设平面 的一个法向量为 ,则 ,取 ,所以 , (13 分)
因为 平面 ,所以 ,所以 ,
所以点 在线段 延长线上,且满足 . (15 分)
18. 解: (1) 由题可知, 的可能取值为100,90,80,70,60,
(2 分)
. (4 分)
分布列为:
100 90 80 70 60
0.2 0.24 0.16 0.24 0.16
数学期望为: . (5 分)
(2)(i):期望利润=购买概率 (支付金额的期望一商品成本)一优惠券成本的期望，
则支付金额的期望为:
; (7 分) 优惠券成本的期望为:
. (9 分)
. (11 分)
(ii) .
令 . 解得 , (13 分)
当 时 在 上单调递增;
当 时 在 上单调递减.
在 内存在唯一极大值点 , (15 分)
又 ,
当 时,商家期望利润最大,最大期望利润约为 6.7 元. (17 分)
19. 解: (1) 由 ,
所以点 在以 为焦点,长轴长为 4 的椭圆上, (1 分)
设椭圆方程为 ,
焦距为 ,则 , (2 分)
所以 ,
所以 的方程为 . (3 分)
(2)(i)由 ，直线 的斜率存在且不为 0，
设直线 的方程为 ，
联立 ,得 ,
则 , (5 分)
所以 ,
又因为 ,所以 , (6 分)
所以
(9 分)
(ii) 由 (i) 可知, ,所以 ,
作点 关于 轴的对称点 ,则 三点共线, (10 分)
又 ,设 ,
则直线 方程即为直线 方程 , (11 分)
又直线 方程为 ,
作差可得 , (12 分)
所以 ,
所以 , (14 分)
又 ，得出 ，又因为 ，所以 ，即 ，即 ， 所以点 在以 为焦点,实轴长为 1 的双曲线的左支上运动,
所以 . (17 分)

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