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2025~2026 学年高三核心模拟卷(中) 数学(六)
注意事项:
1. 本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 设全集 ,集合 ,则
A. B.
C. D.
2. 设 是虚数单位,则 “ ” 是 “复数 为纯虚数” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知向量 的夹角为 ,则
A. B. C. 48 D. 75
4. 已知等差数列 的前 项和为 ,则
A. 18 13.20 C. 22 D. 24
5. 已知底面半径为 1,体积为 的圆锥的顶点和底面圆周都在球 的球面上,则球 的表面积为
A. B.
C. D.
6. 已知 是关于 的方程 的两个不同的根,且 ,则
A. B. C. 4 D. -4
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,若 上存在一点 ,使得 ,则 的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
8. 已知 ,且 ,则
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 设 ,则下列说法正确的是
A. B.
C. D.
10. 已知数列 满足 设 ,记数列 的前 项和为 , 则下列说法正确的是
A. B. 是等比数列
C. D.
11. 已知函数 ,则下列说法正确的是
A. 为 的一个周期
B. 在 上恰有 2 个零点
C. 在 处取得极小值
D. ,都有
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12. 已知函数 是奇函数，则 _____.
13. 已知数据 的平均数为 ,数据 的平均数为 ,其中正数 满足 , 则样本数据 的平均数的最小值为_____.
14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过 的直线 与该双曲线的左、右支分别交于 两点,记 与 的内切圆的半径分别为 ,若 ,则 的值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
在 中,内角 的对边分别为 ,且 .
(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的面积.
16.(本小题满分 15 分)
已知甲盒中有 2 个红球, 4 个白球, 乙盒中有 3 个红球, 5 个白球, 这些球除了颜色外完全相同.
(1)从甲盒中有放回地取球，每次取 1 个，共取 3 次，记这 3 次中取出红球的次数为随机变量 ，求 的数学期望和方差；
(2)从甲、乙两盒中各任取 2 个球,记取出的 4 个球中红球的个数为随机变量 ,求 的分布列.
17. (本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， ，点 是棱 上的一点 (不同于端点),且 .
(1)求证: ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
在平面直角坐标系 中,过点 的圆 与直线 相切,设圆心 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 是 上的一点，过点 的直线 与 有两个不同的交点 .
(1)当点 到直线 的距离取得最大值时,求 ；
(ii)记直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 ，若 ， ，试判断 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)求 在区间 上的值域；
(3)若 对任意的 恒成立，求 的取值范围.
学年高三核心模拟卷(中)
数学(六)参考答案
1.B 依题意全集 ,又 ,所以 , 所以 . 故选 B.
2. 若 满足 ,此时 ,不为纯虚数,故 ” 不是“复数 为纯虚数”的充分条件；因为 ，若复数 为纯虚数，则 ，所以 ，所以 “ ” 是 “复数 为纯虚数” 的必要条件. 故 “ ” 是 “复数 为纯虚数” 的必要不充分条件. 故选 B.
3.A 因为 ,所以 ,即 ,所以 ,解得 ,所以 . 故选 A.
4.B 因为等差数列 的前 项和为 ,所以 成等差数列,又 ,所以 ,所以 . 故选 B.
5. A 设该圆锥的高为 ,所以 ,解得 ,设球 的半径为 ,由题意知 ,解得 ,所以球 的表面积为 . 故选 A.
6. C 因为 是关于 的方程 的两个不同的根，所以 , ,所以 ,又 ,所以 ,解得 . 故选 C.
7. 记 的焦距为 ,设 ,则 ,所以 ,由 ,所以 ,化简为 ,所以 ,整理得 , 又 ,所以 ,解得 ,即 的离心率的取值范围是 . 故选 D.
8. 因为 ,且 ,所以 ,同理,由 ,可得 ,由 ,可得 . 令 ,得 ,所以 在 上单调递减,满足 的 即为函数 与 交点的横坐标; 满足 的 即为函数 与 交点的横坐标; 满足 的 即为函数 与 交点的横坐标; 在同一平面直角坐标系中画出 的图象,如图所示: 从图象中可以直观地看出,三个交点的横坐标关系为 . 故选 A.
9. ABD 令 ,得 ,故 A 正确; 因为 的展开式中, ,所以 , ,所以 ,故 正确; 令 ,得 ,令 ,得 , 所以 ,又 ,所以 ,故 C 错误, D 正确. 故选 ABD.
10. 依题意 ,故 错误; 因为 ,所以 是以 6 为首项,2 为公比的等比数列,故 B 正确; 所以 ,所以 , 所以 ,故 正确; ,故 D 错误. 故选 BC.
11. ,故 错误; 令 ,即 ,得 或 ,当 时,解得 或 ,所以 在 上恰有 2 个零点,故 B 正确; ,所以 是 的一个周期,因为 的定义域为 ,关于原点对称,且 ,所以 为奇函数,又 ,当 时,则 ,可得 ; 当 时,则 ,可得 ,所以 在 上单调递减,在 上单调递增,所以 在 处取得极小值,故 正确; 且 ,所以 在 上的最小值为 ,结合奇函数对称性可知: 在 上的最大值为 ,所以 在 内的最小值为 ,最大值为 ,结合周期性可知: 在 上的最小值为 ,最大值为 ,所以 ,都有 ,故 D 正确. 故选 BCD.
12.1 因为 是奇函数，所以 ，即 ，整理得 ，解得 .
13.5 因为数据 的平均数为 ,数据 的平均数为 ,所以 ,所以样本数据 的平均数 ,当且仅当 ,即 时等号成立,故样本数据 的平均数的最小值为 5 .
14. 设 ,所以 ,所以 . 在 与 中, ,即 ,整理得 ,所以 ,解得 ,所以 .
15. 解:(1)因为 ，由余弦定理得 ，整理得 ， 2 分由正弦定理得 ，即 ，
所以 ,所以 , 4 分
因为 ,所以 . 6 分
(2)因为 ,
由 (1) 知, ,解得 ,所以 ,所以 , 9 分
由 (1) 知 , 11 分
所以 的面积为 . 13 分
16. 解: (1) 由题意知 , 3 分
所以 , 5 分
7 分
(2)由题意知 的所有可能取值为0,1,2,3,4， 8 分
所以 的分布列为:
Y 0 1 2 3 4
37 13
15 分
17. ( 1 )证明:因为 平面 ， 平面 ，所以 . 1 分
因为底面 是矩形,所以 ,又 平面 平面 ,
所以 平面 . 3 分
因为 平面 ,所以 . 4 分
又 平面 平面 ,所以 平面 . 5 分
又 平面 ,所以 . 6 分
又因为 ,所以 为 的中点,所以 . 7 分
(2)解:不妨设 ，则 ， ，以 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴, 轴, 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则 , ,所以 , . 设平面 的一个法向量 ,所以 ,解得 ,所以 . 9 分设平面 的一个法向量 ,所以 令 ,解得 ,所以 . 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ,
所以 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值是 . 15 分
18. 解:(1)设点 为 上任意一点，因为圆 过点 且与直线 相切，
所以 与点 到直线 的距离相等,故 ,整理得 ,
即 的方程为 . 4 分
(2)(1)因为点 是 上的一点，所以 ，解得 ，即 ，
当点 到直线 的距离取得最大值时, ,又 ,所以直线 的斜率为 -1,直线 的方程为 , 6 分
设 ,由 得 ,所以 ,
所以 . 9 分
(ii) 由题意可知直线 的斜率存在且不为 0,设直线 的方程为 ,
由 得 ,所以 , 11 分
直线 的方程为 ,令 ,得点 的纵坐标为 . 12 分
同理得点 的纵坐标为 . 13 分
由 ,得 .
所以 .
即 为定值 2 . 17 分
19. 解:(1)由题意知 ， 1 分
当 时， ，所以 在 上单调递减； 2 分
当 时,令 ,解得 ,令 ,解得 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减. 4 分
(2)因为 ，所以 是奇函数， 5 分
又 ,当 时, ,所以 ,令 ,所以 ,当 时, ,所以 即 在 上单调递减, 6 分
又 ,所以 ,使得 , 7 分
所以当 时, ,当 时, ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减，又 ，所以当 时， ， 9 分又 是奇函数，所以当 时， .
综上, 在区间 上的值域为 . 10 分
(3)若 对任意的 恒成立，即 对任意的 恒成立,记 ,即 对任意的 恒成立,且 ,
当 时,当 ,令 ,则 ,所以 在 上单调递增, 令 ,则 ,故 在 上单调递增,则 ,所以当 时, ,又 ,故存在唯一的 ,使得 ,当 时, 在 上单调递减,所以 ,此时 ,不符合题意. 12 分
当 时，( i )若 ，令 ， ，则 ，故 在 上单调递增，则 ,所以 ,则 在 上单调递增,所以 恒成立,即 成立,符合题意; 14 分
(ii) 当 时,若 ,则 在 上单调递增,又 ,所以存在唯一的 ,使得 ,
当 时, 在 上单调递减,当 时, 在 上单调递增,又 ,故存在唯一的 ,使 ,
故当 时, 在 上单调递增,当 时, 在 上单调递减,又 ,
所以 时, ,则 在 上单调递增,故 ,即 恒成立. 16 分
综上, 的取值范围是 . 17 分

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