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哈三中 2025—2026 学年度下学期 高一学年 3 月月考数学试卷
考试说明: (1) 本试卷分第 I 卷 (选择题) 和第 II 卷 (非选择题) 两部分, 满分 150 分. 考试时间为 120 分钟;
(2)第 I 卷，第 II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第 I 卷 (选择题, 共 58 分)
一、单选题: 共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的.
1. 下列命题正确的是( )
A. 模相等的两个共线向量是相等向量
B. 若 ,则
C. 零向量没有方向
D. 若 ,则
2. 中,角 所对的边分别为 ,若 ,则 为( )
A. B. C. D.
3. 中,角 所对的边分别为 ,下列条件中能确定三角形有唯一解的有 ( )个
(1) (2)
(3) (4)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑, 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体, 极具对称之美. 某同学为了估算索菲亚教堂的高度,在教堂的正东方找到一座建筑物 , 高为 ,在它们之间的地面上的点 三点共线) 处测得楼顶 、教堂塔尖 的仰角分别是 和 ,在楼顶 处测得教堂塔尖 的仰角为 ,则该同学计算索菲亚教堂的高度 为( )
A. B. C. D.
5. 中, 分别为 的中点, 为 与 交点,且 , 则 ( )
A. 1 B. C. D.
6. 已知平面内两个不共线的向量 和 ,且 和 的夹角为 ,若 与 的夹角为钝角，则实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
7. 已知 和 是单位向量，且 ，若 满足 ，则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
8. 已知 中,角 所对的边分别为 ,且 ,若 为 的中点,边 上的中线 长为 ,则 面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符 合题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知向量 ，则()
A. 若 ，则
B. 若 ,则
C. 若 ，则 或 3
D. 若 ，则 与 的夹角为
10. 中，角 所对的边分别为 ，则能够判定 一定是等腰三角形的为( )
A. B.
C.
D.
11. 已知 为 的垂心，角 所对的边分别为 ，且 ， ，则一定有( )
A. B.
C. D. 若 ,则
第II卷 (非选择题, 共 92 分)
三、填空题: 本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 将答案填在答题卡相应的位置上.
12. 中, 为线段 上一点,且 ,则 _____.
13. 已知 ，则向量 在向量 上投影向量的坐标为_____.
14. 若正方形 边长为 分别为 的中点, 为线段 上动点 (含端点),则 的最小值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知 ，且 .
(1)求 ；
(2)求 .
16. (15 分)
中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)若 ，求 和 .
17. (15 分)
中,角 所对的边分别为 ,且 .
(1)求角 ；
(2)求 周长的最大值.
18. (17 分)
已知四边形 中， ， ， ， .
(1)求 ；
(2)求 的长；
(3) 为线段 上的动点，设 为 的面积，求 的最小值.
19. (17 分)
已知平面四边形 的两条对角线交于内部一点 ,且 , .
(1)若 ，且 ，求 的周长:
(2)判断 是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由；
(3)若 ， ，求四边形 的面积.
参考答案
1-8 DBCBCDAB
9. BCD 10. BD 11. ABD
12. 13. 14.
15. (1)4 (2)4√3
16. (2)
17. (1) (2)
18. (1) (2)
(3)过 B 作 垂线 ，则 ，过 M 作 垂线
则
即求 最小值
法一:
设
令 ,则
两边平方得 ,即
得 或 (舍),经检验 成立
法二:
过 作 垂线
,则
则当 三点共线且 时 最小,最小值为
19.
(1) ,①
中,由余弦定理可得:
,②
中由正弦定理可得: ,
则 ，
故 ,
将 ②③ 代 入 原 式 得
则 ，④
由①④解得 ，
中,由余弦定理可得: , 即 ,
故 的周长为 .
(2)
(3) ，
故 ,
向量 的夹角即为 ,
则 ,
则 ，
故 .

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