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2026 届高三第一次模拟考试 数 学 试 题
注意事项:
1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2. 作答选择题时, 选出每小题答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的。
1、在复平面内,复数 对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合 ,则
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中,平面 经过点 ,且以 为法向量,则平面 内任意一点 满足
A. B.
C. D.
4. 已知 为等差数列 的前 项和, ,则
A. 190 B. 180 C. 130 D. 110
5. 设 是两条不同的直线, 是两个不同的平面. 已知 ,且 , 则“ 是异面直线”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 平面内三个向量 满足 ,且 ,则 的最大值为
A. B. C. D.
7. 抛物线 的焦点为 ，动点 在抛物线 的准线上。 为坐标原点，当 最大时， 的面积为
A. B. C. D.
8. 已知 ,若 恒成立,则 的最小值为
A. B. C. D.
二、选择题:本大题共3小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知函数 ,则
A. 最小正周期为
B. 当 时, 的值域为
C. 的图象关于直线 对称
D. 将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象
10. 圆 与圆 的公切线的交点坐标可以是
A. B. C. D.
11. 某芯片企业用甲、乙两款设备检测芯片是否为良品. 甲设备检测良品芯片为良品的概率为 0.9 , 检测次品芯片为良品的概率为 0.1 ; 乙设备检测良品芯片为良品的概率为 0.8 , 检测次品芯片为良品的概率为 0.2 . 甲、乙设备的检测结果相互独立. 已知某批芯片良品率为 ，现从该批芯片中任取一芯片，甲、乙设备各检测一次，则
A. 若该芯片为良品，则两设备检测结果相同的概率为 0.74
B. 若该芯片为次品，两个设备至少有一台设备检测为次品的概率是 0.9
C. 甲设备检测该芯片为良品的概率为
D. 甲设备检测为良品,该芯片实际为良品的概率为
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分。
12. 若 ,则
13. 已知函数 在区间 上单调递增,则 的取值范围为_____.
14. 在数列每相邻两项之间插入此两项中后一项的 3 倍与前一项之差,形成新的数列. 现将数列 2,1 进行这样操作,第一次得到数列2,1,1,第二次得到数列 2, ,将上述数列排成如图所示的数阵,则数阵中第 10 行共有_____项，第 行所有项的和为_____. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分)
已知 中,角 的对边分别为 ,函数 .
(1)求 的单调递增区间；
(2)若 ，且 ，求 的取值范围.
16. (15分)
某市体育局为调研市民体育锻炼情况与健康水平的关联性, 随机抽取了 120 名 18岁 ~60岁市民进行调查.将每周锻炼不少于3次的市民归为“高频锻炼组”，不足3次的归为“低频锻炼组”; 体质检测达到《国民体质测定标准》优秀和良好等级的定为“体质达标”,否则为“体质不达标”. 调查结果整理为如下不完整的 列联表.
体质达标 体质不达标 合计
高频锻炼组 15 60
低频锻炼组 25
合计 120
附: ，其中 .
0.050 0.010 0.005 0.001
3.841 6.635 7.879 10.828
(1)请根据列联表中的数据，写出 ； ； ， ， 的值；
(2)依据小概率值 的独立性检验，分析该市市民体育锻炼须次是否与体质达标有关联;
(3)该市计划从抽到的 120 人中体质不达标市民中抽取部分人员开展“科学健身指导” 活动, 现按高频锻炼组和低频锻炼组分层, 通过分层抽样抽取 10 人展开指导活动, 再从这 10 人中随机抽取 3 人进行专项访谈,求抽取的 3 人中至多有 1 人来自高频锻炼组的概率.
17. (15分)
已知函数 .
(1)当 时,求这个函数图象在 处的切线方程；
(2)证明:当 时， ，使得 成立. 18.(17分)
在平面直角坐标系中,定义 两点之间的“曼哈顿距离”为 ,我们把到两个定点 的 “曼哈顿距离” 之和为常数 的点的轨迹叫“曼哈顿椭圆”.
(1)请分析 “曼哈顿椭圆” 的对称性，并求出它的面积 (用 ， 表示)；
(2)当 ， 时，该“曼哈顿椭圆”的顶点都在椭圆 上，过点 作圆 M: 的两条切线与椭圆 分别交于 两点.
(i)求椭圆 的方程;
(ii)判断直线 与圆 的位置关系,并说明理由.
19.(17分)
某个圆锥容器的轴截面是边长为 8 的等边三角形(容器壁厚度忽略不计)，一个半径为 的小球在该容器内自由运动，小球能接触到的容器内壁侧面的区域可以形成一个圆台侧面，设该圆台上下底面圆心为 和 ，如图所示.
(1)求圆台 的体积 (用 表示)；
(2)设小球半径 ，圆台 的轴截面为等腰梯形 ， 为底面圆周上一点,且 ,平面 平面 ,求平面 与平面 夹角的余弦值的取值范围;
(3)在第(2)问条件下的圆台 内放置若干个小球,要求每个小球均和该圆台上、 下底面相切，则最多能放几个小球，并说明理由.
高三一模数学参考答案
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1. C. 2. D 3.A 4. B 5.A 6.D 7. B 8. B
二、选择题: 本大题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多项符合题目要 求。全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分。
9.AC 10. ABC 11.ACD
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共计 15 分。
12.32 13.
14.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15(13 分)
解: (1) 化简得 ,
令 ,则
因为 的单调递减区间是 即为 单调递增区间
由 ，解得
函数 单调递增区间为
(2) ，又
,即 ,
由已知条件 可知 是钝角三角形，且角 为钝角
的取值范围为 .
16.(15 分)
解: (1) 由列联表数据关系可知, ,
综上, .
(2)若假设: ；市民体育锻炼须次与体质达标率无关联.
根据列联表数据，计算
由于 ,
根据小概率值 的独立性检验,判断 不成立,
因此，认为该市市民体育锻炼频次与体质达标有关联。
(3)体质不达标者，高频锻炼组 15 人，低频锻炼组 35 人，按分层抽样抽取 10 人，
则高频锻炼组抽取人数为 3 人，低频锻炼组抽取人数为 7 人。
从这 10 人中随机抽取 3 人进行专项访谈,事件总数有 种,
设 “抽取的 3 人中至多有 1 人来自高频锻炼组” 为事件 A，则事件 A 包含 “0 人来自高频组” 和 “一人来自高频组” 两种情况.
则 .
所以抽取的 3 人中至多有 1 人来自高频锻炼组的概率为 .
17. (15 分)
解: (1) 当 时,
,
即切线方程为
(2)方法 1:当 ， 时，令 ，
,令 ,则 ,
令 ,即 在 单调递减,在 单调递增:
,使 ,即
在 单调递减，在 单调递增，
当 时, ,使得 成立。
方法 2: 当 时,令 ,
,令 ,则 ,
令 ,即 在 单调递减,在 单调递增:
,使 ,即
在 单调递减,在 单调递增,
当 时, ,使得 成立。
18.(17 分)
解: (1) 设"曼哈顿椭圆"上任意一点为 ,则 ,
即 ,即 ,
所以“曼哈顿椭圆”的方程为 ,
将方程中 替换为 ,方程不变,所以 “曼哈顿椭圆” 关于 轴对称
将方程中 替换为 ，方程不变，所以 “曼哈顿椭圆” 关于 轴对称
同时将方程中 替换为 替换为 方程仍不变，所以 “曼哈顿椭圆” 也关于原点对称。
只需分析出第一象限的图象即可,当 时,方程为
当 时,方程为 ,“曼哈顿椭圆” 图形如图所示。
其面积为 .
(2)(1) 椭圆 C 的左右顶点分别为 ，
设椭圆 C 的方程为 ,过点 则
试卷第3页即 ,所以椭圆 的方程为 。
(II) 方法 1: 直线 EF 与圆 相切,理由如下:
设过点 与圆 相切的直线方程为 . 则
,
,解得 或 .
设点 . 则 .
直线 EF 的斜率为 .
故直线 的方程为 ,又 ,化简得直线 EF 方程为 。
因此，圆心 到直线 的距离为 ，即直线 与圆 相切。
方法 2: 设 ,则直线 方程为 , 由题意知函 与直线 相切,则有 ①, 又 点 在椭圆上, ②,将②式代入①式得 ,
又 圆 与直线 也相切,同理可得 ,
即 两点均在直线 上,
则直线 的方程为 ,
因此,圆心 到直线 的距离为 ,即直线 与圆 相切。
19. (17 分)
解:(1)设圆台上下底面圆的半径分别为 ，在圆锥的轴截面中(如图所示)，
,
,即
设上下底面圆的面积为 ,则
圆台的高
(2)延长 交于点 平面 平面 ，
以 分别为 轴建立平面直角坐标系,则
设 ,则
设平面 的法向量为 ,
则
令 ,则 ,即
同理可求平面 的法向量为 ,则
令 ,对称轴为 ,
即平面 与平面 夹角的余弦值的取值范围为 。
(3)最多能放 3 个小球。
理由如下: 因为小球与上下底面均相切, 小球半径为 .
圆台上、下底面直径分别为 3 和 5,则至少能放入一个半径为 的小球.
为能放入更多小球我们先让放入的第一个小球 与圆台侧面也相切, 做出圆台轴截面如图 1,小球 与底面切与点 由题意可计算出 ，可得
,所以 ,如图右侧还能再放一个这样的小球,所以至少能放下 2 个这样的小球.
现在分析是否能放 3 个小球,
为了能放入更多小球, 尽可能先让已放入的两个球两两相切且与圆台侧面相切,
设先前放入的两个小球为球 和球 ,他们与底面切于点
做出两个小球的俯视图， ，
由上面结论可知
在 中,利用余弦定理可得 ,
由圆台和球的对称性可知, 恰好只再能放一个与这两个小球相切并和圆台侧面也相切的这类小球。 综上所述，圆台内最多能放 3 个这样的小球。

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