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甘肃省 2026年高三年级第二次模拟考试数学试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟 2026.04
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量a=(1,2),b=(-1,3),则向量a+b=
A. (0,1) B.(0,5) C. (2,-1) D. (2,1)
2.椭圆 的离心率为 则a=
A. 2 B. C. 4 D. 2
3.集合 (i为虚数单位),则A∩R=
A. A B.2 C. D. {2}
4.数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为 则
A. 0 B.4 C. 6 D. 8
5.函数 的最小值为
A. -1 B. C. -3 D. -5
6.凸显地方特色、挖掘融入本土化元素的设计理念，让甘肃省博物馆的文创产品火爆出圈.这些文创产品中有以铜奔马为灵感创作的“牛肉面马师傅”“马梭梭”“马有才”等组成的“绿马”类毛绒产品；有从本地土特产汲取灵感的“定西土豆”“陇西黄芪”“天水樱桃”
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等组成的“不土特产”类毛绒产品；还有用“西兰花”“丸子”等组成的“麻辣烫”系列毛绒产品.做自媒体的小张购买了以上三类毛绒产品各两款，并打算从中选择4个向粉丝做重点推介，其中至少选择一个“绿马”类产品，则不同的选择方法数为
A. 14 B.20 C. 24 D. 120
7.正四面体ABCD 的棱长为2，点M，N分别在棱AB，CD上，则线段MN长度的最小值为
A. 1 B. C. D. 2
8.函数 若f(a)+f(b)=2(a＞0,b＞0),则( 的最小值为
A. B.2 C. 4 D. 16
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.数列{an}是各项为正数的等比数列，其前n项和为 则
A. B.数列 是公比为2的等比数列
C. D.
10.函数f(x)= sinx+3sin3x+…+(2n-1) sin(2n-1)x(n∈N ,且n＞1),则以下结论正确的是
A. 函数y=f(x)的最小正周期为π B.函数y=f(x)在区间( 上为增函数
C. 当n=2026时, D. 函数y=f(x)为奇函数
11.正方形ABCD的顶点坐标分别为A(2 ,0),B(0,2 ),C(-2 ,0),D(0,-2 ),曲线E:x|x|+y|y|+4=0分别与BC,DA交于点M,N,则以下结论正确的是
A. |CD|+|DN|=|MA|
B.坐标原点 O到曲线 E上任意一点距离的最小值为2
C. 曲线 E与直线AB有两个交点
D. 曲线E上存在点 P,使AP⊥BP
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某超市有两个人工收银区A，B和一个自助收银区C，通过统计，顾客在A，B，C区进行付款的概率分别为 , ，在A，B，C区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为 , ,m，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为 ，则实数 m= .
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13.函数f(x)是定义在( )上的偶函数，其导函数为f ′(x)，对于 都有
f ′(x)＞0,若 ，则实数a的取值范围是 .
14.圆锥 PO的母线长为2，底面半径为1，过圆锥顶点 P 和底面圆周上任意两点A，B作圆锥的截面，当底面圆心 O到截面 PAB 的距离为 时，△PAB 重心的轨迹所围成图形的面积是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosAsinB=(2c-a)sinAcosB.
(1)求B;
(2)若c=2,D为AC中点, 求 sin∠ADB.
16.(15分)
2026年7月1 日起，由工业和信息化部制定的《电动汽车用动力蓄电池安全要求》将开始实施，这标志着国家对新能源汽车的安全性提出了更高的要求.某新能源车企为提升产品安全性的同时提高生产效率，对旗下一款车型的核心零部件开展质量检测与生产数据分析，该企业统计了近5个月核心零部件的月生产量x(单位：千件)与月检测成本y(单位：万元)，得到如下数据：
x 2 3 4 5 6
y 3.2 4.2 5.1 5.8 6.7
(1)求y关于x的回归直线方程 并估计月产量达1万件时的月检测成本；
(2)该企业对核心零部件的检测采用以下方案：从一批次的该零部件中随机抽取3件进行初检，若初检中不合格零部件数量不超过1件，则判定此批次零部件合格，否则对剩余的产品进行全面复检.若该零部件的不合格率为a(0＜a＜1)，且每件零部件的检测结果相互独立，该零部件需要进行复检的概率为P(a)，若P(a)是关于a的函数，求证：函数P(a)的图象关于点( 对称.
参考公式：
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17.(15分)
如图,在多面体ABCD-EFG 中,ABCD 为矩形,AE,CF,DG分别与平面ABCD 垂直,AE=AD =2,AB=CF=3,M,N分别是BD,EF的中点.
(1)求证:MN∥平面DCFG;
(2)若G,E,B,F共面,求平面EGC 和平面DCFG所成角的余弦值.
18.(17分)
已知抛物线 (过点T(2,1).
(1)求抛物线C的方程；
(2)过T作抛物线C的切线l，连接OT，作OT的平行线交C于A，B两点，交l于点P，若 判断λ是否为定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由.
19.(17分)
已知 其中a∈R，e是自然对数的底.
(1)当a=1时,求函数y=f(x)的最小值;
(2)若函数y=f(x)在定义域内为增函数，求a的取值集合；
(3)求证:
(i)对于
(ii)对于 n∈N ,都有
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甘肃省2026年高三年级第二次模拟考试
数学答案及评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D C B A B C
7.解析:
如图，将正四面体ABCD放于正方体中，使AB，CD分别为相对两面的对角线，则当M，N分别为AB，CD的中点时，MN的长度最小，且等于正方体的棱长，由于正方体的棱长为 ,故选 B.
8.解析:
又 在(0,+∞)单调递增,
即 ab=1,
当且仅当a=b=1时,“=”成立，故选 C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 ACD CD AB
11.解析：可知曲线E的图象由双曲线 (A，C为其焦点)在第二象限及x轴负半轴上的点(-2，0)，圆 在第三象限内的点，双曲线 (B, D为其焦点)在第四象限及y轴负半轴上的点(0，-2)共同构成，其图象分布在双曲线的渐
数学答案第1页(共7页)
近线y=-x的左下区域，而直线AB与y=-x平行，且在其右上区域，所以曲线E与直线AB没有交点，因此，选项C错误；
易知曲线E关于直线y=x对称，
根据双曲线定义, |MA|-|MC|=4,根据对称性, |DN|=|MC|,而|CD|=4,
所以|MA|=4+|MC|=|CD|+|DN|,故选项A正确;
设曲线在第二象限上任意一点Q(x，y)，根据双曲线方程及范围，
曲线在第三象限上任意一点及(-2，0)和(0，-2)到原点的距离为2，根据对称性，曲线在第四象限上任意一点到原点的距离也都大于2，因此选项B正确；
要满足AP⊥BP，点P必须在以AB为直径的圆上，而此圆除过原点外，其余点均在直线y=-x的右上方区域，与曲线E无交点，故选项D错误.
故选 AB.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15分。
14.
14.解析:如图,设C为AB中点,连接PC,作OD⊥平面PAB,则垂足D必在PC上,由题意可知 则
由于△PAB为等腰三角形，
所以重心G在底边的中线PC靠近点C的三等分点处，
作GM⊥PO,垂足为M,则 可知点G的轨迹是以M 为圆心，半径为 的圆，其面积为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13分)
解: (1)∵acosAsinB=(2c-a) sin AcosB,
∴a(cosAsinB+sin AcosB)=2csin AcosB,
数学答案第2页(共7页)
∴asinC=2csinAcosB,
根据正弦定理可得: ac=2accosB,所以 由于B∈(0,π), 故
5分
(2)由于D为AC中点，所以
∴a=1或a=-3 (舍),
9分
13分
16.(15分)
(1)解：由条件可知：
列出下表
-2 -1 0 1 2
-1.8 -0.8 0.1 0.8 1.7
3.6 0.8 0 0.8 3.4
4 1 0 1 4
将以上数据代入公式，可得b=0.86, =1.56,
所以y =0.86x+1.56, 5分
当x=10时,y=10.16(万元),
故可估计月产量达1万件时的月检测成本为10.16万元.
…7分
(2)证明：设x表示3件产品中不合格产品的件数，则x~B(3，a)，
9分
故
P
∴=1,
13分
数学答案 第3页 (共7页)
又∵函数的定义域为(0，1)，∴函数P(a)的图象关于点 对称. 15分
17. (15分)
改编自湘教版高中数学选择性必修二106页第11题(长方体截角)
(1)证明:连接AC
∵ABCD是矩形, ∴M是AC的中点,
∵EA⊥平面ABCD, FC⊥平面ABCD,
∴EA∥FC, ∵N是EF的中点, ∴MN∥FC
∵MN 平面DCFG, FC 平面DCFG,
∴MN∥平面DCFG. 7分
(2)解:如图建立空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),B(2,3,0), C(0,3,0), E(2,0,2), F(0,3,3),
连接GB，
∵EA∥FC, FC 平面DCFG, EA 平面DCFG,
∴EA∥平面DCFG,
又∵AB∥CD, CD 平面DCFG,
AB 平面DCFG,
∴AB∥平面DCFG,
又∵EA 平面EAB, AB 平面EAB,
且EA∩AB=A,
∴平面EAB∥平面DCFG,
∵G, E, B, F共面,平面GEBF∩平面EAB=EB,
平面GEBF∩平面DCFG=GF,
∴GF∥EB, 同理GE∥BF,
∴GEBF为平行四边形, ∴BG∩EF=N,且N为GB中点,
可得G(0,0,5),则 11分
设平面 EGC的法向量为
则 取
数学答案第4页(共7页)
同理
16分
所以λ是定值 17分
19. (19分)
解: (1)当a=1时, 则 当x＜0时, f'(x)＜0, f(x)为减函数,当x＞0时,f'(x)＞0,f(x)为增函数，所以当x=0时，f(x)有极小值，也是最小值，因此， 5 (2)可知
令 则
当x＜a-2时, g'(x)＜0, g(x)为减函数,当x＞a-2时,g'(x)＞0,g(x)为增函数，
7分
令 则
当a＜2时, h'(a)＞0, h(a)为增函数,当a＞2时,h'(a)＜0,h(a)为减函数，
所以当a=2时, f'(x)≥0恒成立, f(x)在R上为增函数,
当a≠2时,存在x使f'(x)＜0,函数f(x)不满足在R上为增函数,
所以当a=2时，f(x)在定义域内为增函数，所以a的取值集合是{2} 10分
(3)(i)由(2)可知,当a=2时, 为增函数，
所以当x＞0时,
即当x＞0时,
所以当x＞1时, (lnx-2)x+ lnx＞-2,可得 13分
(ii)令 则
以上n个式子相加得：
17分

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