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石家庄市第四十二中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷
一、选择题（1～7题每小题3分，8～12题每小题2分，共31分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．下列图形中，属于轴对称图形的是
A． B． C． D．
2．要使二次根式有意义，则的值可以是
A．6 B．4 C．2 D．0
3．已知，△与△关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是
A．4的算术平方根是
B．3的平方根是
C．27的立方根是
D．平方根和立方根都等于本身的数是0和1
5．【易容之术】一门派秘传“分式易容术”，形可变而神不可散．下列法术中，何者能保其本元不变？
A． B．
C． D．
6．如图，在△中，分别以顶点，为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点，，连接，分别与边，相交于点，，若，的长为10，则△的周长为
A．7 B．10 C．17 D．24
7．已知，则下列数中比大的是　　
A． B．4 C． D．
8．（2分）以下是嘉琪所做的4道填空题，每道25分，则嘉琪实际得分为
1、27289（精确到千位）． 2、的算术平方根是（4）． 3、已知，求． 4、，则的值是（4）．
A．25 B．50 C．75 D．100
9．（2分）如图，在△中，，，△与△关于直线对称，，则的度数是
A． B． C． D．
10．（2分）如图，正方形，顶点在数轴上表示的数为1，若点在数轴上（点在点的右侧），且，则点所表示的数为，则正方形的面积为
A． B．7 C． D．10
11．（2分）小亮与小红周末去十里明珠堤的环湖绿道上骑行，小亮的速度是小红速度的1.2倍，两人各自骑行了，小亮骑行时间比小红少用了．设小红的骑行速度为 ，则可列方程为　　
A． B． C． D．
12．（2分）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
13．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 　　．
14．在下列各数：，，，（两个1之间依次多一个，，，中，无理数有　　 个．
15．如图，△中，，边的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为点、，若△的周长为18，则边的长度是　　 ．
16．一个正数的两个平方根分别是和，则的值为　　 ．
17．如图，，与相交于点，，，点从点出发，沿方向以的速度运动，同时点从点出发，沿方向以的速度运动，当点回到点时，、两点同时停止运动．连接，当线段经过点时，点的运动时间为　　．
三、解答题
18．（16分）计算题：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
19．（6分）如图，在边长为单位1的正方形网格中有△，点，，均在格点上．
（1）△的面积为　　 ；
（2）在图中作出△关于直线对称的△和对应，和对应，和对应）；
（3）在直线上作点，使的值最小．
20．（6分）化简求值：，其中．
21．（6分）如图，，点在边上，和相交于点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，求证：．
22．（6分）观察下列等式：
；；；
按照上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第6个等式：　　 ；
（2）请写出第个等式：　　 ；
（3）求的值．
23．（7分）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．
（1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？
（2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且乙的数量不超过25个，甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？
24．（7分）在如图1、图2，图3中，点、分别是四边形边、上的点：下面请你根据相应的条件解决问题．
特例探索：
（1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则　　 ．
在图2中，，，，，，；则　　 ．
归纳证明：在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
2025-2026学年上学期八年级期中数学
参考答案
一．选择题（共12小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D B B D C D B C B A
题号 12
答案 C
二、填空题（每题3分，共15分）
13．6．
15．18．
16．5．
17．2或4．
三、解答题
18．解：（1）
去分母得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
；
（2）
去分母得：，
解得，
经检验，是原方程的增根，
原方程无解；
（3）
；
（4）
．
19．解：（1）△的面积．
故答案为：3；
（2）如图，△即为所求；
（3）如图，点即为所求．
20．解：原式
，
当时，原式．
21．解：（1），，，
；
（2）证明：由（1）可知：，
，
，
，
又，，
，
在△和△中，
，
△△，
．
22．解：（1）观察，如的下标2，与中被开方数：5和3，得出，，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1；
因此第6个等式，，得，
故答案为：；
（2）由（1）知，第个等式的下标是，被开方数分别为，，所以第个等式
，
故答案为：；
（3）
．
23．解：（1）设每个乙种商品的进价是元，则每个甲种商品的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每个甲种商品的进价是8元，每个乙种商品件的进价是10元；
（2）设购进乙种商品个，则购进甲种商品个，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
，25，
该商场购进甲、乙两种商品有2种方案：
①购进甲种商品67个，乙种商品24个；
②购进甲种商品70个，乙种商品25个．
24．解：（1）如图1所示：
四边形为正方形，
，，
点是延长线上的点，且，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，，
，
，
即，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，，，
故答案为：7；
延长到，使，连接，如图2所示：
，
，
在△和△中，
△△，
，，
，，
，
，
即，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
，，，
故答案为：5；
（2）图3中线段，，之间的数量关系是：，证明如下：
延长到，使，连接，如图3所示：
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
即，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
．

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