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第九章 图形的相似自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
1．下列线段a，b，c，d是成比例线段的是（　　）
A．a=1，b=2，c=2，d=4 B．a=1.1，b=2.2，c=3.3，d=4.4
C．a=1.3，b=1.5，c=3，d=5 D．a=2，b=3，c=4，d=5
2．若△ABC∽△DEF，其相似比为2∶3，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）
A．4∶9 B．2∶3 C．∶ D．16∶81
3．如图，l1∥l2∥l3，AB=2，BC=4，DB=3，则DE的长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．9
第3题图 第4题图
4．若图中的两个三角板是位似图形，则位似中心可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
5．若图中的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（　　）
A．∠α=100° B．∠β=50° C．x=7 D．y=
第5题图 第6题图 第7题图
6．如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长，交DC于点F，则DF︰FC=（　　）
A．1︰4 B．1︰3 C．2︰3 D．1︰2
7. 如图，把一根长4.5 m的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长1 m处离地面的高度为0.6 m，则石坝的高度为（　　）
A. 2.7 m B. 3.6 m C. 2.8 m D. 2.1 m
8．在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，下列阴影部分的三角形与△ABC不相似的是（　　）
A B C D
9．如图，已知A（0，3），B（1，0），将线段AB平移得到线段DC，若∠ABC=90°，BC=2AB，则点D的坐标为（　　）
A．（7，2） B．（7，5） C．（6，5） D．（5，6）
第9题图 第10题图
10．如图，小红作出了边长为1的第1个等边三角形A1B1C1，算出了等边三角形A1B1C1的面积，然后分别取△A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，作出了第2个等边三角形A2B2C2，算出了等边三角形A2B2C2的面积，用同样的方法，作出了第3个等边三角形A3B3C3，算出了等边三角形A3B3C3的面积……由此可得，第2023个等边三角形A2023B2023C2023的面积为（ ）
A．× B．× C．× D．×
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．上海与杭州的实际距离约200千米，在比例尺为1∶ 5 000 000的地图上，上海与杭州的图上距离约为____________厘米．
12．如图，在△ABC和△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，若只添加一个条件便能判定△ABC∽△DAE，则添加的条件是___________________．
第12题图 第13题图 第14题图
13．如图是小孔成像实验，火焰AC通过纸板EF上的一个小孔O照射到屏幕上，形成倒立的实像.若实像的长度BD=2 cm，OA=60 cm，OB=20 cm，则火焰AC的长为________cm.
14．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，作EF将矩形窗框ABCD分为上、下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2=AE AB．若AB的长为2米，则BE的长为___________米．
15．如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-2，2），B（-4，1），C（-1，-1）．以点C为位似中心，在x轴下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，并把△ABC的边长放大为原来的2倍，那么点A′的坐标为________________．
第15题图 第16题图
如图，已知矩形ABCD的边长AB=3 cm，BC=6 cm．某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1 cm/s的速度向点B匀速运动；同时动点N从点D出发沿DA方向以2 cm/s的速度向点A匀速运动．若以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，则运动的时间t为_____________s．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
17．（6分）已知线段a，b，c满足＝＝，且a+b+c=27，求a-b+c的值．
（6分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD︰DB=3︰5，求CF︰CB的值.
第18题图 第19题图
（8分）小明的妈妈为小明制了一个长为45 cm，宽为25 cm的矩形坐垫，并在坐垫的四周绣上一圈宽为5 cm的花边后形成一个新的矩形.妈妈说：“里外两个矩形相似.”小明说：“里外两个矩形不相似.”你认为谁说的对？并说明理由.
20．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2=DB CE．求证：△ADB∽△EAC．
第20题图
（8分）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点.
已知△OAB的顶点均在格点上，按要求完成下列图．（要求仅用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹）
（1）在图①中，以BO为边，作出△OBC，使△OBC∽△ABO，且C为格点；
（2）在图②中，以点O为位似中心，作出△ODE，使△ODE与△OAB位似，且位似比k＝＝2，D，E为格点；
（3）在图③中，在OA边上找一点F，且满足＝3．
① ② ③
第21题图
22.（8分）如图，强强同学为了测量学校一座高楼OE的高度，在操场上点A处放一面平面镜，从点A处后退
1 m到达点B处，恰好在平面镜中看到高楼的顶部点E的像．再将平面镜向后移动4 m（即AC=4 m）放在点C处，从点C处后退1.5 m到达点D处，恰好再次在平面镜中看到高楼的顶部点E的像.测得强强同学的眼睛距地面的高度BF，DG为1.5 m.已知点O，A，B，C，D在同一水平线上，且GD，FB，EO均与OD垂直．求高楼OE的高度．（平面镜的厚度忽略不计）
第22题图 第23题图
23．（10分）如图，在△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P′Q′M′N′是正方形，点Q′，M′在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′并延长，交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q．
（1）求证：四边形PQMN为正方形；
（2）若∠A=90°，AC=3 m，△ABC的面积为6 m2，求PN的长．
24．（12分）一次数学综合实践活动课上，小亮发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图①，已知AD是△ABC的角平分线，可得＝，小亮的证明过程（部分）如下：
证明：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E.
因为CE∥AB，所以∠BAE=∠E，∠B=∠BCE．
所以△ABD∽△ECD．所以＝．
……
（1）请按照上面小亮的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）如图②，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，已知＝，则的值为__________；
（3）如图③，在矩形ABCD中，E是CD边上一点，已知AB=3，AD=4，DE=1，连接BE.∠BAD的平分线AF与BE交于点F，求BF的长．
① ② ③
第24题图
图形的相似自我评估 参考答案
一、1．A 2．B 3．D 4．A 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．D
二、11．4 12．答案不唯一，如∠BAC=∠D 13．6 14．（-1） 15．（1，-7） 16．或
三、17．解：设＝＝=k，则a=2k，b=3k，c=4k.
因为a+b+c=27，所以2k+3k+4k=9k=27，解得k=3．
所以a=6，b=9，c=12．
所以a-b+c=6-9+12=9．
18．解：因为DE∥BC，AD︰DB=3︰5，所以AE︰EC=AD︰DB=3︰5.
所以CE︰CA=5︰8.
因为EF∥AB，所以CF︰CB=CE︰CA=5︰8.
19. 解：小明说的对.理由如下：
由题意可知，里面矩形的长为45 cm，宽为25 cm，外面矩形的长为45+5×2=55（cm），宽为25+5×2=35（cm），
里外两个矩形的长之比为=，宽之比为=.
因为≠，所以里外两个矩形的对应边不成比例.
所以里外两个矩形不相似.所以小明说的对.
证明：因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB.所以∠ABD=∠ACE.
因为AB2=DB CE，所以.所以.所以△ADB∽△EAC．
21．解：（1）如图①所示，△OBC即为所求作；
① ② ③
第21题图
（2）如图②所示，△ODE即为所求作；
（3）如图③所示，点F即为所求作．
解：由题意可知AB=1 m，CD=1.5 m，AC=4 m，BF=DG=1.5 m，∠AOE=∠ABF=∠CDG=90°，∠BAF=∠OAE，
∠DCG=∠OCE，所以△OAE∽△BAF，△EOC∽△GDC．
所以=，=.因为BF=DG，所以=，即=，解得AO=8.
将AO=8代入=，得=，解得OE=12．
答：高楼OE的高度为12 m.
23．（1）证明：因为NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，所以∠NMQ=∠PNM=∠PQM=90°.
所以四边形PQMN为矩形．所以PN∥BC．
因为四边形P′Q′M′N′是正方形，所以P′N′=M′N′，P′N′∥BC，N′M⊥BC.
所以PN∥P′N′，NM∥N′M.
所以∠BN′P′=∠BNP，∠BP′N′=∠BPN，∠BN′M′=∠BNM，∠BM′N′=∠BMN.
所以△BP′N′∽△BPN，△BM′N′∽△BMN．
所以=，=．所以=.
因为P′N′=M′N′，所以PN=MN．所以矩形PQMN为正方形.
（2）解：过点A作AD⊥BC于点D，交PN于点E.
因为△ABC的面积为6，所以AB AC=AB 3=6，解得AB=4．
由勾股定理，得BC===5．
因为BC AD=6，所以AD==．
设PN=x,则PQ=DE=x,AE=-x．
因为PN∥BC，所以∠APN=∠ABC，∠ANP=∠ACB.所以△APN∽△ABC．
所以=，即=，解得x=．所以PN的长为m.
解：（1）因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD．
所以∠E=∠CAD.所以EC=AC.
所以＝.
（2）
（3）延长BE交AD的延长线于点G.
因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD．所以∠GDE=∠GAB，∠DEG=∠ABG．所以△GDE∽△GAB.
所以=，即=，解得DG=2．所以AG=AD+DG=4+2=6．
在Rt△ABG中，由勾股定理，得BG===3．
因为AF平分∠BAG，所以==．所以=．所以BF=BG=．
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