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特殊平行四边形自我评估
（本试卷满分120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是（　　）
A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线.若CD＝2.5，则AB的长为（　　）
A．2.5 B．4 C．5 D．6
第2题图 第4题图 第6题图
既是轴对称图形，又是中心对称图形，且有四条对称轴的四边形是（　 ）
A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四边形
4．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）
5．陈师傅应客户要求加工4个长4 cm、宽3 cm的矩形零件，在交付客户之前，陈师傅需要对4个零件进行检测，根据检测结果，有可能不合格的零件是（　　）
A B C D
如图，在菱形ABCD中，若AB=5，AC=6，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．20 B．24 C．26 D．32
7．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AO=CO=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状为（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
8．在学习菱形时，几名同学对同一问题，给出了如下几种解题思路：
已知：如图，四边形ABCD是菱形，E，F是直线AC上两点，且AF=CE．求证：四边形FBED是菱形．
甲：利用全等，证明四边形FBED四条边相等，进而说明该四边形是菱形.乙：连接BD，利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定四边形FBED是菱形.丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
其中正确的是（　　）
A．甲、乙对，丙错 B．乙、丙对，甲错
C．三个人都对 D．甲、丙对，乙错
9．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为（　　）
A． B． C． D．
第9题图 第10题图
10．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①△FPD是等腰直角三角形；②AP=EF；③AD=PD；④∠PFE=∠BAP．则所有正确的结论是（　　）
A．①② B．①④ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．如图，在菱形ABCD中，若∠D=160°，则∠1的度数为______________．
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，E，F分别是OC，BC的中点．若EF=5 cm,则AC= cm.
13．如图，已知AC⊥BD，OB=OD，请你添加一个适当的条件_________，使四边形ABCD为菱形．
14．小颖将能够活动的菱形学具活动成图①所示形状，并测得AC=5，∠B=60°，接着她又将这个学具活动成图②所示的正方形，此时A′C′的长为_________．
① ②
第14题图 第15题图 第16题图
15．如图，四边形ABCD是矩形，E是BA延长线上一点，F是CE上一点，∠ACF=∠AFC，∠FAE=∠FEA．若∠ACB=21°，则∠ECD的度数为__________．
16．如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，则PE+PD的最小值为_____________．
三、解答题（本大题8小题，共66分）
（6分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE，DG．求证：BE=DG．
第17题图 第18题图 第19题图
18．（6分）如图，BF，BE分别是∠ABC与∠ABG的平分线，AE⊥BE于点E，AF⊥BF于点F，四边形AEBF是矩形吗？请证明你的结论.
19.（8分）如图，O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连接OE.若AC=12，BD=16，求OE的长．
20．（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F不与点C，D重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF=45°．求证：四边形ABCD是正方形．
第20题图 第21题图 第22题图
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=45°，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若DE+EF=10，求菱形ABCD的周长．
22.（8分）如图，已知 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2．
（1）求证： ABCD是菱形；
（2）F为AD上一点，连接BF交AC于点E，且AE=AF.若AF=3，AB=5，求BD的长．
23．（10分）小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”．
通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：
已知：如图①，在△ABC中，D是AB的中点，连接CD，且CD=AB．
求证：△ABC为直角三角形．
证明：由已知条件可知AD=BD=CD，则∠A=∠DCA，∠B=∠DCB．
因为∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°，所以∠DCA+∠DCB=∠ACB=90°.
所以△ABC为直角三角形．
爱动脑筋的小明发现用其他方法也能证明这个结论，并想出了图②，图③两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整：
证法一：如图②，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE．
证法二：如图③，分别取AC，BC边的中点E，F，连接DE，DF，EF，则DE，DF，EF为△ABC的中位线．
① ② ③
第23题图
24.（12分）如图①，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点O又是正方形OEFG的一个顶点（正方形OEFG的边长足够长），将正方形OEFG绕点O旋转，OE与BC交于点M，OG与DC交于点N．李老师让同学们根据以上问题，写出两个数学结论.“兴趣小组”写出的两个数学结论是：①S△OMC+S△ONC=S正方形ABCD；②BM2+CM2=2OM2．
（1）请你证明“兴趣小组”所写的两个结论的正确性；
（2）李老师让同学们继续探究，再提出新的问题；“智慧小组“提出的问题是：如图②，将正方形OEFG在图①的基础上旋转一定的角度，当OE与CB的延长线交于点M，OG与DC的延长线交于点N时，“兴趣小组”所写的两个结论是否仍然成立？请说明理由．
① ②
第24题图
特殊平行四边形自我评估 参考答案
一、1．C 2．C 3．A 4．C 5．C 6．B 7．D 8．A 9．D 10．C
二、11．10° 12．20 13．OA=OC（答案不唯一 ） 14．5 15．23° 16．3
三、17．证明：因为四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，所以BC=DC，∠BCE=∠DCG=90°，CE=CG,所以△BCE≌△DCG（SAS）.所以BE=DG．
解：四边形AEBF是矩形.
证明：因为BF，BE分别是∠ABC与∠ABG的平分线，所以∠ABF=∠ABC，∠ABE=∠ABG.
所以∠EBF=∠ABF+∠ABE=∠ABC+∠ABG=×180°=90°.
因为AE⊥BE，AF⊥BF，所以∠E=∠F=90°.所以四边形AEBF是矩形.
19.解：因为DE∥AC，CE∥BD，所以四边形OCED为平行四边形.
因为四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，所以AC⊥BD，OC=AC=6，OD=BD=8.所以∠DOC=90°.所以平行四边形OCED为矩形.所以OE=CD．
在Rt△COD中，由勾股定理，得CD＝=＝10.所以OE=CD=10．
20．证明：过点E作EM⊥BC于点M.
因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥BC.所以EM∥AB．所以∠ABE=∠BEM，∠BAC=∠CEM．
因为∠ABE+∠CEF=45°，所以∠BEM+∠CEF=45°．
因为BE⊥EF，所以∠BAC=∠CEM=45°．
所以∠BAC=∠ACB=45°．所以AB=BC．所以矩形ABCD是正方形．
21．（1）证明：因为DE⊥AB，所以∠AED=∠DEB=90°．
因为∠BAD=45°，所以∠ADE=∠BAD=45°．所以AE=DE．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．所以∠AEF=∠DOF=90°.
因为∠AFE=∠DFO，所以∠EAF=∠ODF．
在△AEF和△DEB中，∠EAF＝∠EDB，AE＝DE，∠AEF＝∠DEB，所以△AEF≌△DEB（ASA）.
（2）解：由（1），知△AEF≌△DEB，所以EF=EB．所以AB=AE+EB=DE+EF=10．
因为四边形ABCD是菱形，所以菱形ABCD的周长为4×10=40．
22.（1）证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.所以∠2=∠ACB.
因为∠1=∠2，所以∠1=∠ACB.所以AB=CB.
所以 ABCD是菱形．
（2）解：因为 ABCD是菱形，
所以AD∥BC，BC=AB=5，AO=CO，BO=DO，AC⊥BD.所以∠AFE=∠CBE.
因为AE=AF，所以∠AFE=∠AEF.
因为∠AEF=∠CEB，所以∠CBE=∠CEB.所以CE=BC=5.
又因为AE=AF=3，所以AC=AE+CE=3+5=8.所以AO=AC=4.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得BO===3.
所以BD=2BO=6.
23．解：证法一：因为D是AB的中点，所以AD=DB.所以四边形ACBE是平行四边形．
因为CD＝AB，CD＝CE，所以AB=CE．所以四边形ACBE是矩形．
所以∠ACB=90°．所以△ABC为直角三角形．
证法二：因为DE，DF，EF为△ABC的中位线，所以DE∥BC，DF∥AC，EF=AB．所以四边形CFDE是平行四边形．
因为CD＝AB，所以EF=CD．所以四边形CFDE是矩形．
所以∠ECF=90°，即∠ACB=90°．所以△ABC为直角三角形．
解：（1）①因为正方形ABCD的对角线相交于点O，所以∠BCD=90°，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD.
所以∠BOC=90°，S△OBC=S正方形ABCD，∠OBM=∠OCN=45°.
因为四边形OEFG是正方形，所以∠MON=90°．所以∠BOC-∠MOC=∠MON-∠MOC，即∠BOM=∠CON．
所以△OMB≌△ONC．所以S△OMB=S△ONC．
所以S△OMC+S△ONC=S△OMC+S△OMB=S△OBC=S正方形ABCD.
②由①，知△OMB≌△ONC，所以OM=ON，BM=CN．
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=CM2+CN2=CM2+BM2.
在Rt△MON中，由勾股定理，得MN2=OM2+ON2=2OM2.
所以BM2+CM2=2OM2.
（2）结论①不成立.理由：同（1）可得OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°，∠BOM=∠CON，S△OBC=S正方形ABCD，所以∠OBM=∠OCN=90°+45°=135°.所以△OMB≌△ONC．所以S△OMB=S△ONC．所以S△OMC-S△OMB=S△OMC-S△ONC=S△BOC=S正方形ABCD．
所以结论①不成立.
结论②成立.理由：连接MN.因为△OMB≌△ONC，所以OM=ON，BM=CN．
在Rt△MCN中，由勾股定理，得MN2=CM2+CN2=CM2+BM2.
在Rt△MON中，由勾股定理，得MN2=OM2+ON2=2OM2.
所以BM2+CM2=2OM2．
所以结论②成立．
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