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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件16.2第2课时函数的图象第16章函数及其图象授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学16.2第2课时函数的图象一、核心知识点梳理（一）函数图象的概念1.定义：在平面直角坐标系中，以函数的自变量x的值为横坐标，对应的函数值y的值为纵坐标，描出所有对应的点，这些点组成的图形叫做函数的图象。2.核心关联：函数的图象与函数解析式是一一对应的，图象上的每一个点的坐标（x，y）都满足函数解析式；反过来，满足函数解析式的每一对（x，y），对应的点都在函数的图象上。3.注意：函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线、折线或孤立的点（由自变量的取值范围和函数解析式决定）。（二）画函数图象的步骤（核心重点）画函数图象的核心是“描点法”，步骤可总结为“列表→描点→连线”，具体如下：1.列表：根据自变量的取值范围，选取若干个自变量x的值（取值要均匀、有代表性，涵盖取值范围的起点、中点、终点，若为全体实数，选取便于计算的整数），计算出对应的函数值y，整理成表格。2.描点：在平面直角坐标系中，根据表格中的每一对（x，y），找到对应的位置，用实心圆点描出各点（注意：若自变量取值范围是线段、射线，端点要区分实心点（包含该点）和空心点（不包含该点））。3.连线：用平滑的曲线（或直线、折线）将描出的点依次连接起来，连线时要注意贴合点的分布趋势，不能出现断裂、偏离点的情况（若为孤立点，无需连线）。关键提醒：画图象前，务必先确定自变量的取值范围，避免描出超出范围的点，连线时也要贴合取值范围。（三）函数图象的读法（从图象中获取信息）从函数图象中可获取自变量、函数值、变化趋势等关键信息，核心方法如下：1.求函数值：已知自变量x=a，在x轴上找到对应a的点，作x轴的垂线，交函数图象于一点，该点的纵坐标即为x=a时的函数值。2.求自变量的值：已知函数值y=b，在y轴上找到对应b的点，作y轴的垂线，交函数图象于一点（或多点），该点的横坐标即为对应的自变量x的值（注意：若有多个交点，说明一个函数值对应多个自变量值）。3.判断函数变化趋势：观察图象的上升、下降或水平状态：-图象从左到右上升：y随x的增大而增大；-图象从左到右下降：y随x的增大而减小；-图象为水平线段：y随x的增大而不变（y为定值）。4.确定自变量取值范围：图象在x轴上的投影范围，即为自变量x的取值范围；图象在y轴上的投影范围，即为函数值y的取值范围。（四）常见函数的图象特征（基础铺垫）1.一次函数（如y=kx+b，k≠0）：图象是一条直线，k>0时，直线从左到右上升；k<0时，直线从左到右下降。2.常函数（如y=2）：图象是一条平行于x轴的水平线段（或直线），y的值恒为2，与x无关。3.简单分式函数（如y=1/x，x≠0）：图象是两条关于原点对称的曲线（双曲线），分布在第一、三象限（或第二、四象限）。（五）易错点补充（针对性突破）1.画图象时忽略自变量取值范围：未先确定x的取值，盲目描点、连线，导致图象超出实际范围（如实际问题中x≥0，却画出x为负数的部分）。2.描点时坐标颠倒：将（x，y）误描为（y，x），导致点的位置错误，进而连线偏离正确图象。3.连线错误：将离散的点用直线连接（如自变量为正整数时），或用折线连接平滑曲线类函数（如y=1/x）。4.读图象时出错：误将x轴、y轴对应的量混淆，或无法根据图象判断函数变化趋势。5.忽略端点虚实：自变量取值范围的端点，包含时用实心点，不包含时用空心点，容易混淆导致图象错误。二、典型题型解析（分层突破）题型1：用描点法画函数图象例1：画出函数y=2x-1（x为全体实数）的图象。解：步骤如下：1.列表：选取x的若干个值，计算对应的y值，整理如下：x-2-1012y-5-3-1132.描点：在平面直角坐标系中，描出点（-2，-5）、（-1，-3）、（0，-1）、（1，1）、（2，3），均为实心点（x为全体实数，无端点限制）。3.连线：用平滑的直线将上述点依次连接起来，即为函数y=2x-1的图象。题型2：从函数图象中获取信息例2：如图，是函数y=kx+b（k≠0）的图象，根据图象回答下列问题：（1）当x=2时，求函数值y；（2）当y=3时，求自变量x的值；（3）判断y随x的变化趋势；（4）求自变量x的取值范围和函数值y的取值范围。解：（1）过x轴上2的点作x轴垂线，交图象于点（2，1），故当x=2时，y=1；（2）过y轴上3的点作y轴垂线，交图象于点（-1，3），故当y=3时，x=-1；（3）图象从左到右呈下降趋势，故y随x的增大而减小；（4）图象在x轴上的投影为全体实数，故x的取值范围是全体实数；图象在y轴上的投影为全体实数，故y的取值范围是全体实数。题型3：结合实际问题分析函数图象例3：小明从家出发，步行到超市购物，停留一段时间后，步行回家，设小明离家的距离y（m）与出发时间x（min）的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）小明家到超市的距离是多少米？（2）小明在超市停留了多长时间？（3）小明步行回家的速度是多少？解：（1）图象中，y的最大值为800m，即小明家到超市的距离是800m；（2）图象中水平线段对应的时间的是从10min到25min，停留时间为25-10=15min；（3）回家时，x从25min到45min，用时45-25=20min，路程为800m，速度=路程÷时间=800÷20=40m/min，故步行回家的速度是40m/min。题型4：判断点是否在函数图象上例4：判断点（3，5）、（-1，-3）是否在函数y=2x-1的图象上。解：判断方法：将点的坐标代入函数解析式，若满足解析式，则点在图象上；否则不在。①把（3，5）代入y=2x-1：右边=2×3-1=5，左边=5，左边=右边，故点（3，5）在函数图象上；②把（-1，-3）代入y=2x-1：右边=2×(-1)-1=-3，左边=-3，左边=右边，故点（-1，-3）在函数图象上。三、课堂练习题一、选择题（每题3分，共15分）1.下列关于函数图象的说法，正确的是（）2.画函数图象的正确步骤是（）3.已知点（2，m）在函数y=3x-1的图象上，则m的值为（）4.若函数y=kx+b（k≠0）的图象从左到右上升，则下列说法正确的是（）5.小明匀速步行上学，途中停留一段时间买文具，然后继续匀速步行到学校，下列图象中，能反映小明离家距离y与出发时间x的关系的是（）二、填空题（每题3分，共15分）1.函数图象上的每一个点的坐标（x，y），都______函数解析式。2.用描点法画函数图象时，选取的自变量x的值要______、______，便于计算和描点。3.已知函数y=2x+3，当x=-1时，y=______；该点______（填“在”或“不在”）函数的图象上。4.若函数图象是一条平行于x轴的直线，且过点（0，5），则该函数的解析式为______。5.从函数图象中判断y随x的变化趋势：图象上升，y随x的增大而______；图象下降，y随x的增大而______。三、解答题（共30分）1.（8分）用描点法画出函数y=x+2（x≥-2）的图象。2.（8分）已知函数y=3x-2的图象，回答下列问题：3.（14分）如图，是某汽车从甲地开往乙地的路程y（km）与行驶时间x（h）的函数图象，根据图象回答下列问题：参考答案一、选择题二、填空题三、解答题1.解：1.列表：x-2-1012y012342.解：（1）当x=3时，y=3×3-2=7；（2）令y=7，得3x-2=7，解得x=3；（3）①把（1，1）代入，右边=3×1-2=1，左边=1，在图象上；②把（-2，-8）代入，右边=3×(-2)-2=-8，左边=-8，在图象上。3.解：（1）甲地到乙地的路程是300km；（2）停留时间为2-1.5=0.5h；（3）行驶时间为4-0.5=3.5h，平均速度=300÷3.5≈85.7km/h；（4）当x=1.5h时，汽车距离甲地150km（结合图象合理即可）。问题：1.正方形的面积 S 与边长 x 的函数表达式为 ，其中 x 的取值范围是 .
我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示 S 与 x 的关系.
S = x2
x＞0
函数的图象
1
(2) 怎样获得组成图形的点？
先确定点的坐标　　　　
(4) 自变量 x 的一个确定的值与它所对应的唯一
的函数值 S，是否唯一确定了一个点（x，S）呢？
取一些自变量的值，计算出相应的函数值．
(3) 怎样确定满足函数关系的点的坐标？
(1) 在平面直角坐标系中，平面内的点可以用一对
来表示.即坐标平面内 与有序数对是一一 的.
有序数对
点
对应
想一想：
2. 填写下表：
x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
S
0.25
1
2.25
4
6.25
9
12.25
　　一般地，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的.图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标 x 表示自变量的某一个值，纵坐标 y 表示与该自变量对应的函数值.
用空心圈表示不在曲线的点
用平滑曲线去连接画出的点
一般来说，函数的图象是由平面直角坐标系中一系列的点组成的.
图象上每一点的坐标 ( x，y ) 表示函数的一对对应值 ，它的横坐标 x 表示自变量的某一个值纵坐标 y 表示与该自变量对应的函数值.
知识要点
例1 画出函数 的图象.
分析： 要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此 ，首先在自变量的取值范围内 ，适当取一些自变量的值 ，并求出对应的函数值.
解 取自变量 x 的一些值，例如 x = ···，-3，-2，-1，0 ，1 ，2 ，···，计算出对应的函数值 ，列表如下：
典例精析
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对 ··· ( -3 ，4.5 ) ，( -2 ，2) ，(-1 ，0.5 ) ，(0 ，0)，
(1 ，0.5 ) ，(2 ，2 ) ，(3 ，4.5) ···
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y … …
4.5
2
0.5
0.5
2
4.5
0
在平面直角坐标系中，描出这些有序实数对 ( 坐标 ) 的对应点.
( -3 ，4.5 ) ，
( -2 ， 2 ) ，
( -1 ，0.5 ) ，
( 0 ， 0) ，
( 1 ，0.5) ，
( 2 ， 2) ，
( 3 ，4.5) .
在平面直角坐标系中，描出这些有序实数对 ( 坐标 ) 的对应点.
通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，
便可得到这个函数的图象，如图所示.
这里面函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法.
第一步，列表——表中给出一些自变量的值及
其 ；
第二步，描点——在平面直角坐标系中，以自
变量的值为 ，相应的函数值为 ，描出表格中各数对对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标 的顺序，
把描出的点用 连接起来.
对应的函数值
横坐标
纵坐标
平滑曲线
由小到大
描点法画函数图象的一般步骤：
归纳总结
例 2 画出下列函数的图象：
(1) y = 2x， (2)
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
解：(2) 函数 y = 2x 中自变量 x 可为任意实数.
① 列表如下：
典例精析
y = 2x
②描点；
③连线.
同样可以画出函数
的图象.
实际问题中的函数图象
例3 爷爷和小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山. 有一天，小强让爷爷先上山，然后追赶爷爷，两人都爬上了山顶，下图中的两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离 y (m) 与爬山所用时间 x (min) 之间的函数关系 ( 从小强开始爬山时计时 ).
2
看图回答下列问题:
(1) 小强让爷爷先上山多少米
(2) 山顶离山脚的距离有多少米 谁先爬上山顶
(2) 山顶离山脚的距离是 300 米，小强先爬上山；
(1) 由图象可知：小强出发 0 分钟时，爷爷已经爬山 60 米，因此小强让爷爷先上 60 米；
(3) 小强何时赶上爷爷 这时距山脚的距离是多少
(3) 因为小强和爷爷路程相等时是 8 分钟，所以小强用了 8 分钟追上爷爷；这时距山脚的距离是 240 m .
例4 某天 7 时，小明从家骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校. 下图反映了他骑车的整个过程，结合
图象，回答下列问题：
（1）自行车发生故障是在什么时间？此时离家有多远？
从横坐标看出，自行车发生故障的时间是 7 : 05； 从纵坐标看出，此时离家 1000 m.
从横坐标看出，小明修车花了 15 min；
小明修好车后又花了 10 min 到达学校.
（2）修车花了多长时间？修好车后又花了多长时间到达学校？
从纵坐标看出，小明家离学校 2100 m；
从横坐标看出， 他在路上共花了 30 min，
因此， 他从家到学校的平均速度是
2100÷30 = 70 (m/min).
（3）小明从家到学校的平均速度是多少？
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1．下列各点在函数y＝2x－1的图象上的是(　　)
A．(－1，3) B．(0，1)
C．(1，－1) D．(2，3)
D
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D
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
y … 6 3 2 1 …
3．[成都中考]小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．
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下列说法正确的是(　　)
A．小明家到体育馆的距离为2 km
B．小明在体育馆锻炼的时间为45 min
C．小明家到书店的距离为1 km
D．小明从书店到家步行的时间为40 min
C
4．某机动车出发前油箱内有油48 L．行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升．油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的关系如图所示，根据图象解答下列各题.
(1)在这个变化过程中，____________是自变量，____________是因变量；
(2)机动车行驶________ h后加油，中途加油________L；
(3)如果加油站距目的地还有360 km，车速为60 km/h，要到达目的地，请判断油箱中的油是否够用，并说明理由.
行驶时间t
剩余油量Q
4
24
【解】不够用．理由如下：∵机动车每小时的耗油量为(48－16)÷4＝8(L)，行驶时间为360÷60＝6(h)，
∴需要油量为6×8＝48(L)．∵40 L＜48 L，∴不够用．
返回
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5．如图，先用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并继续上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块被提起的时间x(单位：s)之间的函数关系的大致图象是(　　)
A
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6．如果规定[x]表示不大于x的最大整数，例如[2．3]＝2，那么函数y＝x－[x]的部分图象为(　　)
A
7．[北京海淀区月考]某日，甲、乙两人相约在一条笔直的健身道路上锻炼，两人都从A地匀速出发，甲健步走向B地途中偶遇一位朋友，驻足交流10 min后，继续以原速步行前进；乙因故比甲晚出发30 min，跑步到达 B地后立刻以原速返回，在返回途中
与甲第二次相遇．甲、乙两人之
间的距离y(m)与甲出发的时间
x(min)之间的函数关系如图．
那么以下结论：
①甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20 min；
②甲出发86 min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m；
③甲、乙两人第二次相遇的时间是在甲出发后100 min；
④A，B两地之间的距离是11 200 m．
其中正确的结论有(　　)
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【点拨】①∵乙比甲晚出发30 min，且当x＝50时，y＝0，∴乙出发50－30＝20(min)时，两人第一次相遇，即甲、乙两人第一次相遇时，乙的锻炼用时为20 min，结论①正确；②观察函数图象，可知当x＝86时，y取得最大值，最大值为3 600，∴甲出发86 min时，甲、乙两人之间的距离达到最大值3 600 m，结论②正确；
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④∵200×(86－30)＝11 200(m)，∴A，B两地之间的距离是11 200 m，结论④正确. 综上所述，正确的结论有①②④.故选B.
【答案】B
函数的图象
从图象获取信息
函数图象的画法

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