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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件16.3.1一次函数第16章函数及其图象授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学16.3.1一次函数一、核心知识点梳理（一）一次函数的概念1.定义：一般地，形如$$y = kx + b$$（其中k、b是常数，且$$k \neq 0$$）的函数，叫做一次函数。2.核心要点：-自变量x的次数是1（最高次数，不含x的平方、倒数、根号等形式）；-比例系数$$k \neq 0$$（若k=0，则函数变为$$y = b$$，是常函数，不是一次函数）；- b是常数项，可以为0（当b=0时，函数变为$$y = kx$$，此时叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数）。3.辨析：判断一个函数是否为一次函数，需同时满足两个条件：①自变量x的次数为1；②比例系数k≠0，与常数项b无关。4.示例：①$$y = 2x + 3$$（k=2≠0，x次数为1，是一次函数）；②$$y = 3x$$（b=0，是正比例函数，也是一次函数）；③$$y = 2x^2 + 1$$（x次数为2，不是一次函数）；④$$y = \frac{1}{x} + 2$$（x次数为-1，不是一次函数）；⑤$$y = 5$$（k=0，是常函数，不是一次函数）。（二）一次函数与正比例函数的关系1.包含关系：正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。2.区别与联系：函数类型解析式核心条件联系一次函数$$y = kx + b$$$$k \neq 0$$，b为任意常数当一次函数中b=0时，即为正比例函数；正比例函数一定满足一次函数的定义正比例函数$$y = kx$$$$k \neq 0$$，b=03.关键提醒：判断正比例函数，需同时满足“x次数为1、k≠0、b=0”三个条件，缺一不可。（三）一次函数解析式的确定（求k、b的值）1.核心依据：一次函数$$y = kx + b$$（k≠0）中，有两个未知常数k和b，因此需要两个不重合的点的坐标，代入解析式列出二元一次方程组，求解即可得到k和b的值，进而确定一次函数解析式。2.步骤（三步法）：-设：设一次函数的解析式为$$y = kx + b$$（k≠0）；-代：将两个已知点的坐标（$$x_1,y_1$$）、（$$x_2,y_2$$）分别代入解析式，得到关于k、b的二元一次方程组；-解：解方程组，求出k、b的值；-写：将k、b的值代入解析式，写出完整的一次函数表达式。3.特殊情况：若为正比例函数（$$y = kx$$），只需一个已知点的坐标（非原点），代入即可求出k的值（原点（0，0）恒满足正比例函数，无法求k）。（四）一次函数的实际应用（列解析式）1.核心思路：根据实际问题中的数量关系，找到自变量x和因变量y，分析两者之间的线性关系（y随x的变化是均匀的），结合题意确定k和b的实际意义，列出一次函数解析式。2.常见场景：行程问题（路程、速度、时间）、计费问题（固定费用+变动费用）、购物问题（单价、数量、总价）等。3.关键提醒：列解析式时，需注意自变量x的实际取值范围（如时间≥0、数量为非负整数等）。（五）易错点补充（针对性突破）1.混淆一次函数与正比例函数：误将一次函数当作正比例函数（忽略b≠0的情况），或误将正比例函数与常函数混淆（忽略k≠0的条件）。2.判断一次函数时出错：忽略x的次数为1，误将$$y = 2x + x^2$$、$$y = \frac{1}{x} + 3$$当作一次函数。3.求解析式时，只代入一个点：一次函数有两个未知常数k和b，需两个点的坐标才能求解，只代入一个点无法确定解析式。4.忽略自变量的实际取值范围：列实际问题的一次函数解析式时，未结合题意限制x的取值（如人数不能为负数、时间不能为负数）。5.求正比例函数解析式时，代入原点坐标：原点（0，0）代入$$y = kx$$，等式恒成立，无法求出k的值，需代入非原点的点。二、典型题型解析（分层突破）题型1：判断一次函数、正比例函数例1：下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？请说明理由。（1）$$y = -3x + 1$$（2）$$y = 4x$$（3）$$y = \frac{1}{2}x - 5$$（4）$$y = 2x^2$$（5）$$y = 7$$（6）$$y = \frac{x}{3}$$解：一次函数有（1）、（2）、（3）、（6）；正比例函数有（2）、（6）；理由：（1）$$y = -3x + 1$$：k=-3≠0，x次数为1，是一次函数，b=1≠0，不是正比例函数；（2）$$y = 4x$$：k=4≠0，x次数为1，b=0，既是一次函数，也是正比例函数；（3）$$y = \frac{1}{2}x - 5$$：k=$$\frac{1}{2}$$≠0，x次数为1，是一次函数，b=-5≠0，不是正比例函数；（4）$$y = 2x^2$$：x次数为2，不是一次函数，也不是正比例函数；（5）$$y = 7$$：k=0，是常函数，不是一次函数，也不是正比例函数；（6）$$y = \frac{x}{3}$$：可化为$$y = \frac{1}{3}x$$，k=$$\frac{1}{3}$$≠0，x次数为1，b=0，既是一次函数，也是正比例函数。题型2：求一次函数（正比例函数）的解析式例2：（1）已知一次函数$$y = kx + b$$（k≠0）的图象经过点（2，5）和（-1，-1），求该一次函数的解析式；（2）已知正比例函数$$y = kx$$（k≠0）的图象经过点（-3，6），求该正比例函数的解析式。解：（1）①设一次函数解析式为$$y = kx + b$$（k≠0）；②将（2，5）、（-1，-1）代入解析式，得方程组：$$\begin{cases} 2k + b = 5 \\ -k + b = -1 \end{cases}$$；③解方程组：两式相减，得3k = 6，解得k=2，将k=2代入$$-k + b = -1$$，得b=1；④综上，一次函数解析式为$$y = 2x + 1$$。（2）①设正比例函数解析式为$$y = kx$$（k≠0）；②将（-3，6）代入解析式，得$$-3k = 6$$，解得k=-2；③综上，正比例函数解析式为$$y = -2x$$。题型3：根据一次函数的定义求字母取值例3：已知函数$$y = (m - 2)x^{|m| - 1} + 3$$是一次函数，求m的值。解：∵函数是一次函数，∴需同时满足两个条件：①自变量x的次数为1：$$|m| - 1 = 1$$，解得$$m = 2$$或$$m = -2$$；②比例系数k≠0：$$m - 2 \neq 0$$，解得$$m \neq 2$$；综上，m的值为-2。题型4：一次函数的实际应用（列解析式）例4：某出租车的收费标准为：起步价8元（行驶距离不超过3km），超过3km后，每增加1km加收2元（不足1km按1km计算），设行驶距离为x km（x≥0），车费为y元，求y与x之间的一次函数解析式，并写出自变量x的取值范围。解：分两种情况讨论：①当0≤x≤3时，车费为起步价8元，即$$y = 8$$；②当x>3时，超过3km的部分为（x - 3）km，加收费用为2(x - 3)元，故车费$$y = 8 + 2(x - 3) = 2x + 2$$；综上，一次函数解析式为：$$y = \begin{cases} 8 & (0 \leq x \leq 3) \\ 2x + 2 & (x > 3) \end{cases}$$；自变量x的取值范围是$$x \geq 0$$（x为非负实数，不足1km按1km计算，实际取值为非负实数）。三、课堂练习题一、选择题（每题3分，共15分）1.下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（）2.若函数$$y = (k - 1)x + 2$$是一次函数，则k的取值范围是（）3.已知正比例函数$$y = kx$$（k≠0）经过点（2，-4），则k的值为（）4.一次函数$$y = kx + b$$（k≠0）经过点（0，3）和（1，5），则该函数解析式为（）5.下列说法正确的是（）二、填空题（每题3分，共15分）1.一次函数的一般形式是______（其中k、b为常数，且______）。2.正比例函数的解析式是______，它是当一次函数中______时的特殊情况。3.已知一次函数$$y = 2x + b$$经过点（1，4），则b的值为______，该函数解析式为______。4.若函数$$y = (m + 3)x^{m^2 - 8} + 1$$是一次函数，则m的值为______。5.某商店售卖笔记本，每本单价为5元，购买x本的总价为y元，则y与x之间的一次函数解析式为______，自变量x的取值范围是______。三、解答题（共30分）1.（8分）判断下列函数是否为一次函数、正比例函数，说明理由：2.（8分）求下列函数的解析式：3.（14分）某文具店出售钢笔，每支钢笔的进价为10元，售价为15元，若卖出x支钢笔，获得的利润为y元（利润=售价-进价）。参考答案一、选择题二、填空题三、解答题1.解：（1）既是一次函数，也是正比例函数；理由：k=-5≠0，x次数为1，b=0；2.解：（1）设正比例函数解析式为$$y = kx$$（k≠0），代入（-2，6），得-2k=6，解得k=-3，解析式为$$y = -3x$$；3.解：（1）每支钢笔利润为15-10=5元，故$$y = 5x$$；一次函数与正比例函数
问题1 暑假里小明的爸爸带领全家去北京自驾游，汽车驶上 A 地的高速公路后，小明发现汽车匀速行驶的速度是 95 km / h，已知 A 地直达北京的高速公路全程为
285 km，小明想知道汽车从 A 地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己距北京的路程.
1
(2) 我们设汽车在高速公路上匀速行驶的时间为 t h，汽车距北京的路程为 S km，如何用函数关系式来描述汽车从地方驶出后距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间之间的关系
S = 285 - 95t.
(1) 问题1 中有哪些变量
距北京的路程
行驶的时间
根据题意回答下面的问题：
问题2 弹簧下端悬挂重物，弹簧会伸长，弹簧的长度 y (cm) 是所挂重物质量 x (kg)的函数，已知一根弹簧在不挂重物时长 6 cm，在一定的弹性限度内，每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm，求这个函数关系式.
这就是所求的函数关系式，( 其中自变量 x 的取值范围由问题的 “弹性限度” 确定 )
y = 0.3x + 6
解： 因为每挂 1 kg 重物弹簧伸长 0.3 cm，
所以挂 x kg 重物时弹簧伸长______ cm.
又因为不挂重物时弹簧的长度为 6 cm ，
所以挂 x kg 重物时弹簧的长度为___________cm，
即有， .
0.3x
(0.3x + 6)
思考 问题1、问题2 中得到的两个函数关系式有什么共同点
问题 1
问题 2
y = 0.3x + 6
S = 285 - 95t
① 都有两个变量；
② 都有用一次整式表示的数量关系；
③ 两个变量之间互相关联.
上述函数关系式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为 y = kx + b 的形式 ，其中 k、b 是常数，且 k ≠ 0.
特别地，当 b = 0 时，一次函数 y = kx ( 常数 k≠0 ) 也叫做正比例函数.
问题 1、问题 2 中得到的函数，都是一次函数.
知识要点
1.判定一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判定一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
归纳总结
例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：
y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
(1) 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h)之间的关系；
解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x，
y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得 y = πx2，
y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数.
(2) 圆的面积 y (cm2 ) 与它的半径 x (cm) 之间的关系.
典例精析
解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水，
因而 y = 15 + 5x.
y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数.
(3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3.
例2 已知函数
(1) 若它是一次函数，求 m 的值；
解：∵ 是一次函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0.
∴ m＝±5 且 m≠5.
∴ m＝－5.
∴ 当 m＝－5 时，函数
是一次函数．
典例精析
解：∵ 是正比例函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0.
∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1.
这样的 m 不存在，
∴ 不可能是正比例函数.
【方法总结】若 y = kxn + b 是一次函数，则 k ≠ 0，且 n = 1；当 k ≠ 0，且 b＝0 时，该函数为正比例函数．
例2 已知函数
(2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值．
例3 某地实行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于 3500 元的部分不收税；月收入超过 3500元但低于 5000 元的部分征收 3% 的所得税. 如某人月收入 3860 元，他应缴个人工资、薪金所得税为：(3860 - 3500)×3% = 10.8 元.
(1) 当月收入大于 3500 元而又小于 5000 元时，写出应缴所得税 y (元) 与收入 x (元) 之间的关系式.
解：y = 0.03×(x - 3500) (3500＜x＜5000).
典例精析
(2) 某人月收入为 4160 元，他应缴所得税多少元？
解：当 x = 4160 时，y = 0.03×(4160-3500) = 19.8 (元).
答：他应缴所得税 19.8 元.
解：设此人本月工资是 x 元，则
19.2 = 0.03×( x - 3500 )，
解得 x = 4140.
答：此人本月工资是 4140 元.
(3) 如果某人本月应缴所得税 19.2 元，那么此人本月工资是多少元？
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D
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C
3．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系．
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下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为(　　)
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
C
4．已知函数y＝(m－2)xm2－3＋4＋n．
(1)当m，n为何值时，y是x的一次函数？
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(2)当m，n 为何值时，y是x的正比例函数？
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5．李大爷要围成一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长恰好为24米．若要使围成的菜园是如图所示的长方形ABCD，设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是____________________．
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6．如图所示，下列每个图是由若干个点组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有n个点，每个图案的点的总数是S，按此推断，S与n的关系式为______________．
S＝3(n－1)
7．文具店出售书包和文具盒，书包每个定价为30元，文具盒每个定价为5元．该店制定了两种优惠方案：①买一个书包赠送一个文具盒；②按总价的九折付款．某班学生需购买8个书包和若干个文具盒(不少于8个)，设购买文具盒的个数为x(个)，付款总金额为y(元)．
(1)分别写出两种优惠方案中y与x之间的函数关系式．
【解】由题意可得，
方案①：y＝30×8＋5(x－8)＝5x＋200(x≥8)；
方案②：y＝(30×8＋5x)×90%＝4.5x＋216(x≥8)．
(2)请你通过计算，结合购买文具盒的个数说明哪种方案更省钱．
【解】当5x＋200＝4.5x＋216时，解得x＝32；
当5x＋200＞4.5x＋216时，解得x＞32；
当5x＋200＜4.5x＋216时，解得x＜32，即当购买文具盒的个数为32个时，两种方案付款相同；当购买文具盒的个数超过32个时，方案②更省钱；当购买文具盒的个数少于32个而不少于8个时，方案①更省钱．
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一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定

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