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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件16.3.2第1课时一次函数图象的画法及其平移第16章函数及其图象授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学16.3.2第1课时一次函数图象的画法及其平移一、核心知识点梳理（一）一次函数图象的基本性质1.图象形状：一次函数$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）的图象是一条直线，因此一次函数的图象也叫做直线$$y = kx + b$$。2.核心结论：因为“两点确定一条直线”，所以画一次函数的图象时，无需描出大量点，只需找到直线上的两个特殊点，描点后连接即可，这种方法叫做“两点法”，是画一次函数图象最简便的方法。3.特殊点的选取（优先选易计算、易描点的点）：-与y轴的交点：令$$x = 0$$，代入解析式得$$y = b$$，即交点坐标为$$(0, b)$$（b是一次函数的截距）；-与x轴的交点：令$$y = 0$$，代入解析式得$$kx + b = 0$$，解得$$x = -\frac{b}{k}$$，即交点坐标为$$\left(-\frac{b}{k}, 0\right)$$；-特殊情况（正比例函数）：正比例函数$$y = kx$$（$$k \neq 0$$）是特殊的一次函数（$$b = 0$$），其图象必过$$(0, 0)$$原点，因此画正比例函数图象时，只需再找一个点（如$$(1, k)$$），两点连线即可。（二）一次函数图象的画法（重点：两点法）1.核心方法：两点法（优先选取与x轴、y轴的交点），步骤简洁，准确率高，具体步骤如下：-找：根据一次函数解析式$$y = kx + b$$，找出直线上的两个特殊点（通常为与x轴、y轴的交点）；-描：在平面直角坐标系中，准确描出这两个点，注意描点时标记清楚坐标，正比例函数需注意原点的位置；-连：用直尺画一条平滑的直线，连接两个点，直线两端可适当延长（注意结合自变量取值范围，若有范围限制，需标注端点虚实）；-验：可额外找一个点代入解析式，验证该点是否在直线上，确保图象绘制正确。2.补充方法：描点法（通用方法），步骤为“列表→描点→连线”，适用于所有函数图象绘制，具体如下：-列表：根据自变量x的取值范围，选取3-5个均匀分布的x值（优先选整数），计算出对应的y值，整理成表格；-描点：根据表格中的坐标$$(x, y)$$，在坐标系中描出所有点；-连线：用直线连接所有描出的点，即为一次函数的图象（一次函数图象必为直线，若描点后无法连成直线，说明计算或描点有误）。3.关键提醒：画图象时，务必标注坐标轴名称、单位长度，以及描出的特殊点坐标，避免因无标注导致错误。（三）一次函数图象的平移规律（核心难点）1.平移前提：一次函数图象平移时，比例系数k不变（k决定直线的倾斜程度，k不变则直线的倾斜方向和倾斜程度不变，平移后两条直线平行），只改变常数项b（b决定直线与y轴的交点位置）。2.核心平移规律（以基础直线$$y = kx$$为基准）：-上下平移（沿y轴方向）：-向上平移n个单位（$$n > 0$$）：解析式变为$$y = kx + n$$（常数项b增加n）；-向下平移n个单位（$$n > 0$$）：解析式变为$$y = kx - n$$（常数项b减少n）；-口诀：上加下减，只变b。-左右平移（沿x轴方向）：-向左平移n个单位（$$n > 0$$）：解析式变为$$y = k(x + n)$$（整理后为$$y = kx + kn$$，常数项b变为$$kn$$）；-向右平移n个单位（$$n > 0$$）：解析式变为$$y = k(x - n)$$（整理后为$$y = kx - kn$$，常数项b变为$$-kn$$）；-口诀：左加右减，变x括弧（注意：左右平移是在x的基础上加减n，不是在整个解析式后加减n）。3.拓展延伸（以任意一次函数$$y = kx + b$$为基准）：-向上平移n个单位：$$y = kx + b + n$$；-向下平移n个单位：$$y = kx + b - n$$；-向左平移n个单位：$$y = k(x + n) + b = kx + kn + b$$；-向右平移n个单位：$$y = k(x - n) + b = kx - kn + b$$。4.记忆技巧：平移规律可结合图象理解，上下平移直接改变与y轴的交点位置（b的变化），左右平移间接改变与y轴的交点位置（通过x的变化影响b的等效值），且k始终不变，平移后直线与原直线平行。（四）易错点补充（针对性突破）1.画图象时出错：①未用两点法，描点过多且不准确；②正比例函数忘记过原点，误选两个非原点的点，增加计算难度；③连线时不用直尺，导致直线不平整。2.平移规律混淆：①左右平移时，误在解析式后加减n（正确是在x的括弧内加减）；②上下平移时，误改变k的值（k不变，只变b）；③混淆“左加右减”，向左平移误减n，向右平移误加n。3.忽略自变量取值范围：平移后未结合原函数的自变量取值范围，导致图象绘制超出实际范围，或未标注端点虚实。4.验证图象错误：绘制完成后，未找额外点验证，导致因计算错误（如求交点坐标时出错），画出错误图象。5.混淆平移方向与解析式变化：误将“向上平移”当作“减n”，“向下平移”当作“加n”，与口诀相反。二、典型题型解析（分层突破）题型1：用两点法画一次函数图象例1：用两点法画出一次函数$$y = 2x - 4$$的图象，并标注关键点坐标。解：步骤如下：1.找特殊点（与x轴、y轴的交点）：①令$$x = 0$$，则$$y = 2 \times 0 - 4 = -4$$，得到与y轴的交点$$A(0, -4)$$；②令$$y = 0$$，则$$2x - 4 = 0$$，解得$$x = 2$$，得到与x轴的交点$$B(2, 0)$$；2.描点：在平面直角坐标系中，准确描出点$$A(0, -4)$$和$$B(2, 0)$$，标注坐标；3.连线：用直尺连接A、B两点，并向两端适当延长，得到直线$$y = 2x - 4$$，即为该一次函数的图象；4.验证：取$$x = 1$$，则$$y = 2 \times 1 - 4 = -2$$，点$$(1, -2)$$在直线上，验证图象正确。题型2：画正比例函数图象例2：画出正比例函数$$y = -3x$$的图象，用两点法完成。解：步骤如下：1.找特殊点（正比例函数必过原点）：①原点$$O(0, 0)$$（必过点）；②令$$x = 1$$，则$$y = -3 \times 1 = -3$$，得到另一个点$$C(1, -3)$$；2.描点：描出$$O(0, 0)$$和$$C(1, -3)$$，标注坐标；3.连线：用直尺连接两点，向两端延长，得到直线$$y = -3x$$，即为该正比例函数的图象；4.验证：取$$x = -1$$，则$$y = 3$$，点$$(-1, 3)$$在直线上，验证正确。题型3：一次函数图象的平移（由解析式求平移后解析式）例3：已知一次函数$$y = 2x + 3$$，根据平移要求，求平移后的函数解析式：（1）向上平移2个单位；（2）向下平移5个单位；（3）向左平移3个单位；（4）向右平移4个单位。解：根据平移规律（k不变，只变相关系数）：（1）向上平移2个单位，“上加下减”，解析式为$$y = 2x + 3 + 2 = 2x + 5$$；（2）向下平移5个单位，“上加下减”，解析式为$$y = 2x + 3 - 5 = 2x - 2$$；（3）向左平移3个单位，“左加右减（变x括弧）”，解析式为$$y = 2(x + 3) + 3 = 2x + 6 + 3 = 2x + 9$$；（4）向右平移4个单位，“左加右减（变x括弧）”，解析式为$$y = 2(x - 4) + 3 = 2x - 8 + 3 = 2x - 5$$。题型4：由平移后的解析式求原解析式（逆向应用）例4：已知一次函数$$y = kx + b$$的图象，向右平移2个单位后得到解析式$$y = 3x - 1$$，求原一次函数的解析式。解：逆向应用平移规律（向右平移2个单位→原图象向左平移2个单位可得到平移后的图象）：平移后的解析式为$$y = 3x - 1$$，原解析式是其向左平移2个单位得到的；根据“左加右减”，向左平移2个单位，解析式变为$$y = 3(x + 2) - 1$$；整理得：$$y = 3x + 6 - 1 = 3x + 5$$；综上，原一次函数的解析式为$$y = 3x + 5$$。题型5：结合平移判断图象位置例5：已知直线$$y = 2x + 1$$，将其向下平移3个单位，判断平移后的直线经过哪些象限，并说明理由。解：1.求平移后的解析式：向下平移3个单位，解析式为$$y = 2x + 1 - 3 = 2x - 2$$；2.判断象限：由解析式$$y = 2x - 2$$可知，$$k = 2 > 0$$，$$b = -2 < 0$$；∵ $$k > 0$$，∴直线从左到右上升，必经过第一、三象限；∵ $$b = -2 < 0$$，∴直线与y轴交于负半轴，必经过第四象限；综上，平移后的直线经过第一、三、四象限。三、课堂练习题一、选择题（每题3分，共15分）1.一次函数$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）的图象是（）2.画一次函数图象最简便的方法是（）3.将直线$$y = 3x - 2$$向上平移3个单位，平移后的解析式为（）4.正比例函数$$y = kx$$（$$k \neq 0$$）的图象必经过的点是（）5.将直线$$y = -2x + 4$$向右平移2个单位，平移后的解析式为（）二、填空题（每题3分，共15分）1.画一次函数$$y = kx + b$$的图象时，优先选取的两个特殊点是______和______。2.正比例函数$$y = -4x$$的图象，可选取______和______两个点，用两点法画出。3.一次函数图象平移时，______不变（填“k”或“b”），只改变______（填“k”或“b”）。4.将直线$$y = 5x + 1$$向左平移3个单位，平移后的解析式为______。5.已知直线$$y = kx + b$$向下平移4个单位后得到$$y = 2x - 3$$，则原直线的解析式为______。三、解答题（共30分） 在上一课的学习中，我们学会了函数图象的画法，分为三个步骤．
①列表
②描点
③连线
那么你能用同样的方法画出一次函数的图象吗？
一次函数的图象的画法
1
观察所画出的这些一次函数的图象，你能发现什么
在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.
做一做
(1) (2)
(3) (4)
1
-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
O
观察:这些函数的图象有什么特点
x
y
一次函数 y = kx + b (k≠0) 的图象是一条直线. 通常也称为直线 y = kx + b.
特别地，正比例函数 y = kx (k≠0) 的图象是经过原点 O(0，0) 的一条直线.
思考：几个点可以确定一条直线 画一次函数的图象时，只需要取几个点
知识要点
(0，b)
( ，0)
一次函数 y = kx＋b (k≠0)的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了.
一般过 (0，b) 和 ( ，0)
O
y = -2x-1
y = 0.5x+1
例1 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
(1) y = - 2x - 1； (2) y = 0.5x + 1.
x 0 1
y = -2x -1
y = 0.5x +1
-1
-3
1
1.5
典例精析
一次函数图象的平移
【探究】观察 “做一做” 中画出的四个一次函数的图象，比较下列各组一次函数的图象有什么共同点和不同点:
① 与
② 与
③ 与
你能否从中发现一些规律 对于直线 y = kx + b
( k、b 是常数，k≠0 ) ，常数 k 和 b 的取值对于直线的位置各有什么影响
2
可以发现，两个一次函数，当系数 k 相同、b 不相同时，如图
1
-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
O
共同点：
y
x
不同点：
y＝3x＋2
y＝3x
两个一次函数互相平行，倾斜程度一致
两个一次函数与 y 轴的交点不一样
共同点：
不同点：
1
-1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
O
y
x
两个一次函数都经过点 (0，2)；
两函数的倾斜程度不一样.
而当 b 相同，系数 k 不相同时，有
观察函数的关系式及其图象，填写下表.
y=3x
y=3x+2
关系式 图象
y=3x y=3x+2 相同点：_______ 不同点： _______ 相同点：__________________
不同点:
__________________
y=3x+2 相同点：_______ 不同点： _______ 相同点：_____________________
不同点：
k 相同
b 不同
倾斜度一样（平行）
与 y 轴的交点不同
b 相同
k 不同
都与 y 轴相交于点(0，2)
倾斜度不一样(不平行)
O
如果 k1＝ k2，那么这两条直线会______.
如果 b1＝b2，那么这两条直线会与 y 轴 ______________.
根据以上分析，可以得出：
对于两个一次函数 y = k1x + b1 和 y = k2x + b2
(k1、k2 均不为 0 )
平行
相交于同一个点
特例 如果 b = 0，那么 ( 正比例 ) 函数 y = kx 的图象一定经过点(__，__)，即______.
0
0
原点
归纳总结
例1 分别在同一个平面直角坐标系中画出下列函数的图象：
（1）y = 2x 与 y = 2x + 3；
典例精析
x
y
y = 2x
y = 2x + 3
O
x
y
y = 2x + 1
y = x + 1
1
2
（2）y = 2x + 1
与 y = x + 1.
1
2
O
y = x
y = x + 2
y = x - 2
y
2
O
x
2
●
●
【探究归纳】观察三个函数图象的平移情况：
把一次函数 y=x+2，
y=x-2 的图象与 y=x 比较，发现：
(1) 这三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度______．
直线
相同
y = x
y = x + 2
y = x - 2
y
2
O
x
2
●
●
(2) 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y = x 向___
平移 个单位长度而得到.
函数 y = x - 2 的图象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y = x 向____平移____个单位长度而得到.
(0，2)
上
2
(0，-2)
下
2
(3) 比较三个函数的表达式， 相同，它们的图象的位置关系是 .
系数 k
平行
一次函数 y = kx + b（k≠0）的图象经过点(0，b)，可以由正比例函数 y = kx 的图象平移 个单位长度得到 (当 b＞0时，向 平移；当 b＜0 时，向 平移).
下
上
| b |
y = x
y = x + 2
y = x - 2
y
2
O
x
2
●
●
归纳总结
例3 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系：
(1) y= -2x
(2) y = -2x-4
x
y = -2x
x
y= -2x-4
0
0
1
-2
0
-4
-2
0
y = -2x
y = -2x- 4
典例精析
O
y=－2x
y= － 2x － 4
观察直线 y=－2x与
y = －2x－4，可以知道，它们____________，并且第二条直线可以看作由第一条直线向____平移____个单位得到.
互相平行
下
4
返回
1．关于函数y＝－kx(k＜0)，下列结论不成立的是(　　)
A．它是正比例函数
B．函数图象经过点(1，－k)
C．图象经过第二、四象限
D．图象经过原点
C
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2．将一次函数y＝2x－2的图象向上平移3个单位长度，若平移后的一次函数的图象经过点(－6，a)，则a的值为(　　)
A．13 B．7 C．－8 D．－11
D
返回
3．一次函数y＝kx－2k＋4(k≠0)的图象一定经过的点是(　　)
A．(0，4) B．(3，4) C．(1，4) D．(2，4)
D
返回
4．将直线y＝3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、二、一象限，则m的值可以是________ (写出一个即可)．
2
(答案不唯一)
【点拨】由题意可知平移后的表达式为y＝3x－1＋m.
∵平移后的直线经过第三、二、一象限，∴m－1>0. ∴m>1. ∴m的值可以是2.
5．如图，在所给平面直角坐标系中画出函数y＝2x－1的 图象．
(1)列表：
(2)描点并连线；
x … －1 0 1 …
y … －1 …
1
－3
【解】如图所示．
(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数 y＝2x－1的图象上；
【解】当x＝－3时，y＝2×(－3)－1＝－7，当x＝2时，
y＝2×2－1＝3，当x＝3时，y＝2×3－1＝5，
∴A(－3，－5)，B(2，－3)不在函数y＝2x－1的图象上，C(3，5)在函数y＝2x－1的图象上．
返回
(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求出m的值．
【解】∵点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，
∴9＝2m－1，解得m＝5.
6．[扬州中考]已知m2 025＋2 025m＝2 025，则一次函数y＝(1－m)x＋m的图象不经过(　　)
A．第一象限　　 B．第二象限
C．第三象限　　 D．第四象限
返回
【点拨】由题可知m>0，2 025m<2 025，∴00，∴一次函数y＝(1－m)x＋m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选D.
【答案】D
返回
7．一次函数y＝(3－a)x＋b－2在平面直角坐标系中的图象如图所示，化简：|a－3|－|2－b|＝____________．
a＋b－5
一次函数
一次函数的图象的画法
一次函数的平移

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