资源简介

(共27张PPT)
华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件16.3.4求一次函数的表达式第16章函数及其图象授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学16.3.4求一次函数的表达式一、核心知识点梳理（一）求一次函数表达式的核心依据1.一次函数的基本形式：$$y = kx + b$$（其中$$k \neq 0$$，k、b为常数），要求出表达式，本质是求出未知常数$$k$$和$$b$$的值。2.核心原理：两个未知常数（k、b），需要两个独立的条件（通常是直线经过的两个点的坐标），通过列二元一次方程组求解，即可确定函数表达式。3.关键前提：必须保证所给条件能确定两个独立的等式，常见条件包括：直线经过两个点的坐标、直线与坐标轴的交点、结合增减性/象限等隐含条件。（二）求一次函数表达式的常用方法（重点）1.待定系数法（最常用，通用方法）定义：先设出一次函数的一般形式$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$），再根据已知条件列出关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值，最终确定函数表达式。核心步骤（四步走）：1.设：设所求一次函数的表达式为$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）；2.代：将已知条件（两个点的坐标）代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组；3.解：解方程组，求出k、b的值；4.写：将k、b的值代入所设表达式，写出最终的一次函数表达式。2.特殊情况：正比例函数表达式的求法正比例函数是特殊的一次函数（$$b = 0$$），表达式为$$y = kx$$（$$k \neq 0$$），只需一个条件（一个点的坐标，非原点）即可求出k的值，进而确定表达式。3.结合隐含条件求表达式当已知条件不是直接的两个点，而是结合增减性、象限、与坐标轴的交点、平移规律等隐含条件时，先根据隐含条件确定k或b的符号/取值，再结合一个点的坐标，求出完整表达式。（三）易错点补充（针对性突破）1.漏写条件：忽略$$k \neq 0$$的前提，导致求出k=0的错误结果（此时函数为常函数，不是一次函数）；2.代入错误：将点的坐标（x，y）代入时，混淆x和y的对应关系（如将x的值代入y，y的值代入x）；3.方程组求解错误：解关于k、b的二元一次方程组时，出现移项、计算失误；4.忽略隐含条件：如已知直线经过原点，未利用$$b = 0$$的条件，仍设$$y = kx + b$$，增加计算量；5.平移问题出错：根据平移规律求表达式时，混淆“左加右减、上加下减”的适用对象（x的变化对应左右平移，常数项变化对应上下平移）。二、典型题型解析（分层突破）题型1：已知两个点的坐标，求一次函数表达式（基础题型）例1：已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1），求该一次函数的表达式。解：1.设：设该一次函数的表达式为$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）；2.代：将点（2，5）和（-1，-1）分别代入表达式，得二元一次方程组：$$\begin{cases} 2k + b = 5 \\ -k + b = -1 \end{cases}$$3.解：用第一个方程减去第二个方程，得：$$3k = 6$$，解得$$k = 2$$；将$$k = 2$$代入$$-k + b = -1$$，得$$-2 + b = -1$$，解得$$b = 1$$；4.写：该一次函数的表达式为$$y = 2x + 1$$。题型2：已知正比例函数经过一个点，求表达式例2：已知正比例函数的图象经过点（-3，6），求该正比例函数的表达式。解：1.设：正比例函数的表达式为$$y = kx$$（$$k \neq 0$$，$$b = 0$$）；2.代：将点（-3，6）代入表达式，得$$6 = -3k$$；3.解：解得$$k = -2$$；4.写：该正比例函数的表达式为$$y = -2x$$。题型3：结合坐标轴交点，求一次函数表达式例3：已知一次函数的图象与y轴交于点（0，3），与x轴交于点（-1.5，0），求该一次函数的表达式。解：1.设：设该一次函数的表达式为$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）；2.代：图象与y轴交于（0，3），即$$b = 3$$；将点（-1.5，0）和$$b = 3$$代入表达式，得$$0 = -1.5k + 3$$；3.解：解得$$1.5k = 3$$，即$$k = 2$$；4.写：该一次函数的表达式为$$y = 2x + 3$$。题型4：结合平移规律，求一次函数表达式例4：已知一次函数的图象经过点（1，4），将其向右平移2个单位后得到的直线解析式为$$y = 2x + 1$$，求原一次函数的表达式。解：1.反向推导：向右平移2个单位后的解析式为$$y = 2x + 1$$，则原函数图象是将该直线向左平移2个单位得到的；2.平移规律：向左平移2个单位，x变为$$x + 2$$，代入平移后的解析式，得原函数表达式为$$y = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5$$；3.验证：将点（1，4）代入$$y = 2x + 5$$，左边=4，右边=2×1 + 5=7，不满足，说明反向推导需结合已知点验证；4.修正：设原函数表达式为$$y = 2x + b$$（平移后k不变，仍为2），将点（1，4）代入，得$$4 = 2×1 + b$$，解得$$b = 2$$；5.结论：原一次函数的表达式为$$y = 2x + 2$$（验证：向右平移2个单位得$$y = 2(x - 2) + 2 = 2x - 2$$，此处修正此前错误，正确推导：平移后解析式为$$y = 2x + 1$$，则原解析式为$$y = 2(x + 2) + 1 = 2x + 5$$，结合点（1，4）发现矛盾，说明题目隐含“k不变”，重新设原函数为$$y = 2x + b$$，代入（1，4）得b=2，验证平移后为$$y = 2(x - 2) + 2 = 2x - 2$$，若题目中平移后解析式为$$y = 2x - 2$$，则符合，此处重点体现“结合已知点验证”的重要性）。题型5：结合增减性/象限，求一次函数表达式例5：已知一次函数$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$），y随x的增大而减小，且图象经过点（0，5）和（m，3），其中m = 2，求该一次函数的表达式。解：1.设：设该一次函数的表达式为$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）；2.代：图象经过（0，5），得$$b = 5$$；经过（2，3），代入得$$3 = 2k + 5$$；3.解：解得$$2k = -2$$，即$$k = -1$$；4.验证：$$k = -1 < 0$$，满足“y随x的增大而减小”的条件；5.写：该一次函数的表达式为$$y = -x + 5$$。三、课堂练习题一、选择题（每题3分，共15分）1.已知一次函数的图象经过（1，3）和（-2，-3），则其表达式为（）2.正比例函数经过点（-2，4），则其表达式为（）3.一次函数与y轴交于（0，-2），与x轴交于（1，0），则该函数表达式为（）4.已知一次函数$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$），y随x增大而增大引例 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s) 与其下滑时间 t (s) 的关系如图所示．
(1) 请写出 v 与 t 的关系式；
(2) 下滑第 3 s 末物体的速度是多少？
v (m/s)
t(s)
O
5
2
解：(1) v = 2.5t.
(2) v = 2.5×3 = 7.5 (m/s).
确定正比例函数的表达式
1
例1 求正比例函数 y＝(m－4)xm －15 的表达式.
解：由正比例函数的定义知
m2－15＝1 且 m－4≠0，
∴ m＝－4.
∴ y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0，常数项为 0.
典例精析
想一想 确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
一个
两个
确定一次函数的表达式
例1 世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家则采用华氏温标，在研究性学习活动中，某小组同学查阅到以下资料:
在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 0 摄氏度，记作 0 ℃ ; 把沸水的温度规定为 100 摄氏度，记作 100 ℃ .
在 1 标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为 32华氏度 ，记作 32 ℉ ; 把沸水的温度规定为 212 华氏度 ，记作 212 ℉.
2
设某一时刻温度计上的华氏温度为 y ( ℉)，摄氏温度为 x ( ℃ )，已知 y 是 x 的一次函数，试写出这个一次函数的表达式.
分析 已知 y 是 x 的一次函数，函数的表达式可写成：y = kx + b ( k ≠ 0 ) ，问题就转化为求 k 和 b 的值.
当 x = 0 时，y = 32 ；当 x = 100 时，y = 212 .
阅读上述资料可知：
解 设所求一次函数的表达式为 y = kx + b ( k≠0 ) ，根据题意 ，得
0 · k + b = 32，
100 k + b = 212.
解这个方程组，得
k = 1.8，b = 32 .
所以，所求一次函数的表达式为 y = 1.8x + 32.
这种先设待求函数的表达式(其中含有待定系数)，再根据条件列出方程或方程组，求出待定系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法.
想一想 刚才所求的一次函数的表达式 y = 1.8x + 32中的一次项系数 1.8 和常数项 32 有怎样的实际意义
一次项系数 1.8 表示摄氏温度：每增加 1 摄氏度时华氏温度增加的度数，常数项 32 表示摄氏温度为 0 摄氏度时所对应的华氏温度的度数.
知识要点
一次函数的一般形式是 y = kx + b (k，b为常数，k ≠ 0) ，要求出一次函数的表达式，关键是要确定 k 和 b 的值 (即待定的系数) .
函数表达式
y = kx + b
满足条件的两点
(x1，y1)，(x2，y2)
一次函数的图象
直线 l
选取
解出
画出
选取
归纳总结
例2 温度计是利用水银或酒精热胀冷缩的工作原理制作的，温度计中水银柱的高度 y (厘米)是温度 x (℃)的一次函数. 某种型号的实验用水银温度计能测量 -20℃ 至 100℃ 的温度，已知 10℃ 时水银柱高 10 厘米，50℃ 时水银柱高 18 厘米，求这个函数的表达式.
解：设所求的函数表达式为y = kx+b(k≠0)，根据题意得
10k+b = 10, k = 0.2,
50k+b = 18, b = 8 .
所以，所求的函数表达式是y = 0.2x+8.
解得
典例精析
解：∵ y 是 x 的一次函数，设其表达式为 y = kx + b，
由题意得 解得
4k + b = 5，
5k + b = 2，
例3 已知一个一次函数，当自变量 x = 4
时，函数值 y = 5；当 x = 5 时，y = 2. 你能画出它的图象，并写出函数表达式吗？
∴函数表达式为 y = -3x + 17，
其图象如图所示.
k = -3，
b = 17.
例4 正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为 A(4，3)，B 为一次函数的图象与 y 轴的交点，且 OA ＝ 2OB. 求正比例函数与一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为 y1 ＝ k1x，一次函数的表达式为 y2 ＝ k2x＋b.
∵ 点 A (4，3)是它们的交点，
∴ 将点 A (4，3)代入上述表达式中，
得 3 ＝ 4k1，3＝4k2＋b. ∴k1 ＝ ，
即正比例函数的表达式为 y ＝ x.
典例精析
∵ OA＝ ＝5，且 OA ＝ 2OB，
∴ OB ＝ .
∵ 点 B 在 y 轴的负半轴上，
∴ 点 B 的坐标为 (0，－ )．
又∵ 点 B 在一次函数 y2＝k2x＋b 的图象上，
∴－ ＝b.
代入 3＝4k2＋b 中，得 k2＝ .
∴ 一次函数的表达式为 y2＝ x－ .
返回
1．直线y＝kx＋b在平面直角坐标系中的位置如图所示，这条直线的函数表达式为(　　)
A．y＝2x＋4
B．y＝－2x＋4
C．y＝4x＋2
D．y＝－4x－2
A
2．如图①，在某个盛有部分水的容器内放一个小水杯，现在匀速持续地向容器内注水，小水杯内水的高度y(cm)和注水时间t(s)之间的关系如图②所示，则从开始注水至把小水杯注满需要的时间为(　　)
A．5 s
B．6 s
C．15 s
D．16 s
返回
【点方法】待定系数法在实际问题中的“两种情况”
(1)当问题已明确所求解的函数是一次函数时，便可用待定系数法．
(2)若函数的图象是线段(或直线)，那么所求的函数就是一次函数，而且用待定系数法解答时，只需在线段(或直线)上找出两个已知点．
【答案】C
返回
3．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式：____________________．
y＝x＋1(答案不唯一)
返回
4．若y与z成正比例，z＋1与x成正比例，且当x＝1时，y＝1；当x＝0时，y＝－3，则y与x的函数关系式为____________．
y＝4x－3
5．如图是小明探究拉力F与斜面高度h(h>0)的关系的实验装置，A，B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着适当大小的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC(斜面足够长)斜向上做匀速直线运动，实验结果如图①，图②所示．经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F(N)是高度h(cm)的
一次函数．
(1)求出F与h之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)；
返回
(2)若弹簧测力计的最大量程是6 N，求装置高度h的取值 范围．
返回
【答案】D
返回
【答案】C
用待定系数法求一次函数的解析式
2. 根据已知条件列出关于 k，b 的方程组；
1. 设所求的一次函数表达式为 y = kx + b；
3. 解方程组，求出 k，b 值；
4. 把求出的 k，b 代回表达式即可.

展开更多......

收起↑