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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件16.4.1反比例函数第16章函数及其图象授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学16.4.1反比例函数一、核心知识点梳理（一）反比例函数的定义（核心重点）1.定义：一般地，形如$$y = \frac{k}{x}$$（其中$$k$$为常数，且$$k \neq 0$$）的函数，叫做反比例函数。2.解析式的三种等价形式（重点掌握，灵活运用）：-基本形式：$$y = \frac{k}{x}$$（$$k \neq 0$$）；-乘积形式：$$xy = k$$（$$k \neq 0$$）（最易判断，若两个变量的乘积为非零常数，则为反比例函数）；-负指数形式：$$y = kx^{-1}$$（$$k \neq 0$$）（与一次函数区分，x的次数为-1，而非1）。3.关键前提：-常数$$k \neq 0$$（若$$k = 0$$，则解析式变为$$y = 0$$，是常函数，不是反比例函数）；-自变量$$x \neq 0$$（分母不能为0），函数值$$y \neq 0$$；-自变量x的次数为-1（区别于一次函数x的次数为1、二次函数x的次数为2）。4.实际意义：反比例函数反映的是两个变量“乘积为定值”的变化关系，即一个变量随另一个变量的增大而减小（或增大），且变化规律成反比例。（二）反比例函数的图象与性质（核心难点）1.图象形状与分布1.图象形状：反比例函数$$y = \frac{k}{x}$$（$$k \neq 0$$）的图象是双曲线，由两条互不相交的曲线组成（称为双曲线的两支）。2.图象分布（由k的符号决定，与一次函数b的作用不同，反比例函数图象分布仅由k决定）：-当$$k > 0$$时：双曲线的两支分别位于第一、三象限；-当$$k < 0$$时：双曲线的两支分别位于第二、四象限；-关键提醒：双曲线永远不会与x轴、y轴相交（因为$$x \neq 0$$、$$y \neq 0$$），但会无限靠近坐标轴。2.反比例函数的性质（结合k的符号）常数k的符号图象分布函数的增减性（重点）图象对称性$$k &gt; 0$$第一、三象限在每个象限内，y随x的增大而减小（注意：“每个象限内”不可省略，跨象限不满足此规律）关于原点对称（若点$$(x, y)$$在图象上，则点$$(-x, -y)$$也在图象上）；关于直线$$y = x$$、$$y = -x$$对称$$k < 0$$第二、四象限在每个象限内，y随x的增大而增大（同样，“每个象限内”不可省略）与$$k > 0$$时一致，关于原点、直线$$y = x$$、$$y = -x$$对称3.反比例函数图象的画法（描点法，三步法）1.列表：根据自变量x的取值范围（$$x \neq 0$$），选取x的一些值（正数、负数各选3-4个，尽量选整数，方便计算），计算出对应的y值，整理成表格（注意x、y的符号与k一致）；2.描点：在平面直角坐标系中，根据表格中的坐标$$(x, y)$$，准确描出所有点，注意区分第一、三象限或第二、四象限的点；3.连线：用平滑的曲线（不可画成直线）连接同一象限内的点，得到双曲线的一支；另一支同理，注意两支曲线互不相交，且无限靠近坐标轴。（三）反比例函数与一次函数的区别（易混点对比）对比项目一次函数反比例函数解析式形式$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）$$y = \frac{k}{x}$$（$$k \neq 0$$）（或$$xy = k$$、$$y = kx^{-1}$$）自变量次数x的次数为1x的次数为-1图象形状直线双曲线（两支）自变量取值范围x为全体实数（无限制）$$x \neq 0$$（分母不能为0）增减性整个定义域内，y随x增大而增大（$$k > 0$$）或减小（$$k < 0$$）每个象限内，y随x增大而减小（$$k > 0$$）或增大（$$k < 0$$），跨象限不成立（四）易错点补充（针对性突破）1.定义判断错误：①忽略$$k \neq 0$$的条件，误将$$y = \frac{0}{x}$$当作反比例函数；②混淆自变量次数，将$$y = kx^2$$、$$y = kx$$误判为反比例函数。2.增减性描述错误：省略“每个象限内”，如误说“当$$k > 0$$时，y随x的增大而减小”（跨象限不成立，如$$y = \frac{2}{x}$$，x=-1时y=-2，x=1时y=2，x增大但y也增大）。3.图象绘制错误：①用直线连接描出的点（应为平滑曲线）；②让双曲线与x轴、y轴相交；③同一象限内的点连线不平滑，或两支曲线相交。4.符号判断错误：根据k的符号误判图象分布，如$$k < 0$$时，误将图象画在第一、三象限。5.混淆反比例函数与一次函数的性质：将一次函数“k决定增减性、b决定交点”的规律，错误套用在反比例函数上（反比例函数无b，图象分布仅由k决定）。二、典型题型解析（分层突破）题型1：判断是否为反比例函数（基础题型）例1：判断下列函数是否为反比例函数，说明理由：（1）$$y = \frac{3}{x}$$（2）$$y = 3x$$（3）$$xy = 5$$（4）$$y = \frac{x}{3}$$（5）$$y = 3x^{-1}$$（6）$$y = \frac{3}{x} + 1$$解：（1）是反比例函数；理由：符合$$y = \frac{k}{x}$$的形式，其中$$k = 3 \neq 0$$，满足定义；（2）不是反比例函数；理由：是一次函数（$$y = kx$$，$$k = 3 \neq 0$$），x的次数为1，不是-1；（3）是反比例函数；理由：可化为$$y = \frac{5}{x}$$，符合反比例函数乘积形式$$xy = k$$（$$k = 5 \neq 0$$）；（4）不是反比例函数；理由：是一次函数（$$y = \frac{1}{3}x$$），x的次数为1，不是-1；（5）是反比例函数；理由：可化为$$y = \frac{3}{x}$$，符合负指数形式$$y = kx^{-1}$$（$$k = 3 \neq 0$$）；（6）不是反比例函数；理由：解析式为$$y = \frac{3}{x} + 1$$问题1 甲、乙两地相距 120 km，汽车从甲地匀速驶往乙地. 显然，汽车的行驶时间由行驶速度确定，时间是速度的函数，试写出这个函数的关系式.
反比例函数的概念
设汽车行驶的速度是 v 千米/时，从甲地到乙地的行驶时间是 t 小时.
时间＝路程÷速度
1
问题2 学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为 24 cm2 的长方形饲养场. 设它的一边长为 x (m)，求另一边 y (m) 与 x 之间的函数关系.
长方形面积＝长×宽
xy＝24
思考 请大家观察这两个式子有什么共同点？
　　一般地，形如　　 ( k 是常数，k ≠ 0 ) 的函数，叫做反比例函数 ，其中 x 是自变量，y 是函数.
自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数.
问题 1、2 中得到的函数，都是反比例函数.
知识要点
思考 反比例函数 (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围，什么是所有非零实数？
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个表达式
中，作为行驶时间的 t 的取值应满足 t＞0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
想一想 反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示之外，还有没有其他表达方式？
反比例函数的三种表达方式 ( 注意 k ≠ 0 )：
1.下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
是，
练一练
解：因为 是反比例函数，
所以
4－k2 = 0，
k－2 ≠ 0.
解得 k =－2.
所以该反比例函数的表达式为
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 (组) 求解即可.
例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的表达式.
典例精析
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数表达式；
提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值.
解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有
解得 k = 12.
因此
确定反比例函数的表达式
2
(2) 当 x = 4 时，求 y 的值.
解：把 x = 4 代入 ，得
方法总结：用待定系数法求反比例函数表达式的步骤：
① 设出含有待定系数的反比例函数表达式；
② 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到关于待定系数的方程；
③ 解方程，求出待定系数的值；
④ 写出反比例函数的表达式.
例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度. 如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数表达式，并计算当车速为 100 km/h 时视野的度数.
反比例函数简单应用
3
当 v = 100 时，f = 40.
所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度.
解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，所以
解得 k = 4000.
因此
返回
C
返回
(1)这个函数的比例系数为________；
(2)当x＝－10时，y的值为________；
(3)当y＝6时，x的值为________．
返回
3．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强p(Pa)是气球体积V(m3)的反比例函数．当V＝1.2 m3时，p＝20 000 Pa．则当V＝1.5 m3时，p＝________Pa．
16 000
返回
4．已知函数y＝(m－1)xm2－2是反比例函数，则m的值为________．
－1
5．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是不是反比例函数．
(1)三角形的面积为3 cm2，某一边上的高y(cm)随该边的长x(cm)的变化而变化；
返回
(2)在检修100 m长的管道时，每天能完成10 m，剩下的未检修的管道长y(m)随检修天数x的变化而变化．
【解】∵y＋10x＝100，∴两个变量之间的函数表达式为y＝100－10x，不是反比例函数．
返回
【答案】A
7．已知函数y＝2y1－y2，y1与x＋1成正比例，y2与x成反比例，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝3，则y与x的函数关系式为____________．
返回
8．[郴州月考]如图，王大爷准备用栅栏围建一个面积为 60 m2的长方形养鸡场ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为15 m．设AD的长为x m，AB的长为y m．
(1)求y与x之间的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；
返回
(2)现有两种方案，x＝4或x＝3，试选出合理的设计方案，并求出栅栏的总长．
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数表达式
反比例函数：定义/三种表达方式
反比例函数

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