资源简介

(共30张PPT)
华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件16.4.2反比例函数的图象和性质第16章函数及其图象授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学16.4.2反比例函数的图象和性质一、核心知识点梳理（深化拓展，衔接上一课时）（一）回顾与衔接上一课时我们认识了反比例函数的定义，其解析式有三种等价形式：$$y = \frac{k}{x}$$（$$k \neq 0$$）、$$xy = k$$（$$k \neq 0$$）、$$y = kx^{-1}$$（$$k \neq 0$$）。本节课我们将重点探究反比例函数的图象细节、性质应用，以及比例系数$$k$$的几何意义，突破上一课时的基础认知，掌握解题核心技巧。（二）反比例函数的图象（细节深化，重点突破）1.图象的精细特征（补充上一课时遗漏细节）1.图象形状：仍是双曲线，由两支互不相交的曲线组成，且两支关于原点对称（上一课时基础上，补充：两支曲线的“伸展趋势”一致，如$$k > 0$$时，两支均呈“从左上到右下”的平滑曲线，无限靠近坐标轴）。2.图象与坐标轴的关系：双曲线永远不会与x轴、y轴相交（核心原因：$$x \neq 0$$、$$y \neq 0$$），但会“无限靠近”坐标轴——当x的绝对值无限增大时，y的绝对值无限趋近于0（靠近x轴）；当x的绝对值无限减小时，y的绝对值无限增大（靠近y轴）。3. k的绝对值对图象的影响：$$|k|$$越大，双曲线的两支越“远离”坐标轴；$$|k|$$越小，双曲线的两支越“靠近”坐标轴（例：$$y = \frac{6}{x}$$比$$y = \frac{2}{x}$$的图象更远离坐标轴）。2.图象的画法（规范步骤，纠正易错点）延续上一课时的描点法，补充规范细节，避免绘制错误，步骤如下：1.列表：①选取x的值时，以0为中心，左右对称选取（正数、负数各3-4个，互为相反数，方便计算y值，且能体现图象对称性）；②避开x=0，选取整数或简单分数，计算对应的y值（确保x、y的符号与k一致）；③示例（以$$y = \frac{4}{x}$$为例）：x-4-2-1124y-1-2-44212.描点：准确描出表格中的坐标点，区分清楚不同象限的点（第一、三象限或第二、四象限），不混淆正负坐标。3.连线：用平滑的曲线连接同一象限内的点，不可画成直线或折线；两支曲线分别绘制，不相交、不与坐标轴接触，体现“无限靠近”的特征。（三）反比例函数的性质（深化应用，突破难点）反比例函数的性质核心由比例系数$$k$$的符号决定，在上一课时基础上，补充性质的应用细节和易错提醒，具体如下：常数$$k$$的符号图象分布增减性（核心应用）对称性（补充应用）易错提醒$$k > 0$$第一、三象限①在每个象限内，y随x的增大而减小；②若两个点在同一象限，x越大，y越小；③若两个点在不同象限，第一象限的y值恒大于第三象限的y值。①关于原点中心对称（若点$$(x, y)$$在图象上，则$$(-x, -y)$$也在图象上）；②关于直线$$y = x$$、$$y = -x$$轴对称（可用于求对称点坐标）。不可省略“每个象限内”，跨象限不满足增减性（如$$y = \frac{4}{x}$$，x=-1时y=-4，x=1时y=4，x增大但y也增大）。$$k < 0$$第二、四象限①在每个象限内，y随x的增大而增大；②若两个点在同一象限，x越大，y越大；③若两个点在不同象限，第二象限的y值恒大于第四象限的y值。与$$k > 0$$时一致，关于原点、直线$$y = x$$、$$y = -x$$对称。同上，增减性仅在同一象限内成立，跨象限无此规律。（四）比例系数$$k$$的几何意义（新增重点，中考高频）这是本节课的核心新增知识点，也是解题的重要技巧，重点掌握以下两个结论：1.结论1：过反比例函数$$y = \frac{k}{x}$$（$$k \neq 0$$）图象上任意一点$$P(x, y)$$，作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB（矩形）的面积为$$|k|$$。2.结论2：过反比例函数$$y = \frac{k}{x}$$（$$k \neq 0$$）图象上任意一点$$P(x, y)$$，作x轴（或y轴）的垂线，垂足为A，则△OAP（直角三角形）的面积为$$\frac{1}{2}|k|$$。推导过程：∵点$$P(x, y)$$在反比例函数图象上，∴ $$xy = k$$；矩形OAPB的长为$$|x|$$，宽为$$|y|$$，面积=$$|x| \times |y| = |xy| = |k|$$；直角三角形OAP的面积=$$\frac{1}{2} \times |x| \times |y| = \frac{1}{2}|k|$$，与点P的位置无关，仅与$$|k|$$有关。（五）易错点汇总（针对性突破，规避失分）1.图象绘制易错：①用直线或折线连接点，未用平滑曲线；②让双曲线与x轴、y轴相交；③选取x的值不对称，导致图象不完整、不对称。2.增减性应用易错：①省略“每个象限内”，误判跨象限的增减性；②已知两点坐标，未判断是否在同一象限，直接根据x的大小比较y的大小。3. k的几何意义易错：①计算面积时忘记加绝对值，导致面积为负数；②混淆矩形和直角三角形的面积公式，误将三角形面积算成$$|k|$$。4.对称性应用易错：求对称点时，混淆中心对称和轴对称的规律（中心对称：横、纵坐标都变号；轴对称：关于$$y = x$$对称，横、纵坐标互换）。5. k的符号与图象对应易错：误将$$k &lt; 0$$的图象画在第一、三象限，或$$k > 0$$的图象画在第二、四象限。二、典型题型解析（分层突破，贴合课时重点）题型1：反比例函数图象的判断与绘制（基础巩固）例1：（1）判断反比例函数$$y = -\frac{5}{x}$$的图象分布、增减性，并说明理由；（2）用描点法画出该函数的图象。解：（1）∵反比例函数$$y = -\frac{5}{x}$$中，$$k = -5 < 0$$，∴图象分布在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大。（2）描点法绘制步骤：①列表：选取x的对称值，计算对应的y值：x-5-1-0.50.515y1510-10-5-1②描点：在平面直角坐标系中，描出（-5,1）、（-1,5）、（-0.5反比例函数的图象和性质
例1 画反比例函数 y = 的图象.
这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值表：
x … -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6 …
y … -1 -2 -3 -6 … 6 3 2 1 …
1
双曲线
描点连线
思考 这两条曲线会与 x 轴、y 轴相交吗？为什么
试一试 画出函数 的图象.
解：这个函数中自变量 x 的取值范围是不等于零的一切实数，列出 x 与 y 的对应值表：
x … -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6 …
y … 1 2 3 6 … -6 -3 -2 -1 …
描点连线
思考 这两条曲线与
有什么区别
1.函数 的图象在哪两个象限？和函数 的图象有什么不同？
【思考与讨论】
第二象限
第四象限
第一象限
第三象限
在每一个象限内，
y 随 x 的增大而增大.
在每一个象限内，
y 随 x 的增大而减小.
2. 反比例函数 的图象在哪两个象限由什么确定
当 k > 0 时，函数的图象分布在一、三象限；
当 k < 0 时，函数的图象分布在二、四象限。
3. 试由所画出的两个函数的图象，总结一下反比例函数的变化规律：随着自变量 x 的增大，函数值 y 将会怎样变化
反比例函数 有下列性质:
(1) 若 k > 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，当 x ＞ 0 (或 x < 0) 时， y 随 x 的增大而 _____ ；
(2) 若 k < 0 ，函数的图象在第_____、_____ 象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，当 x > 0 ( 或 x < 0 ) 时， y 随 x 的增大而 _____ .
二
一
三
四
增大
减小
知识要点
【深入思考】这一性质在本节问题 1 和问题 2 中
反映了怎样的实际意义
问题1 汽车的行驶时间与行驶速度的函数：
问题2 长方形饲养场一边长与另一边 y 的函数关系：
问题 1 反映的实际意义是当所走路程不变时，所用时间随速度的增大而减小.
问题 2 反映的实际意义是当长方形的面积一定时，它的一条边的长度增大时，它的另一边的长度减小.
思考 讨论反比例函数的增减性时 ，这里与一次函数不同 ，强调了“在每个象限内”，应该怎么理解
因为自变量 x 的取值范围不同，一次函数自变量 x 的取值范围为全体实数，而反比例函数自变量 x 的取值范围为不等于 0 的一切实数，0 将自变量 x 的取值分为两个部分 ( 两个象限 )，在每个象限讨论增减性才是合理的.
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x = 2 时， ，求这个反比例函数的表达式.
解：设这个反比例函数的表达式为______(其中 k 为待定系数).
已知当 x = 2 时， 可得_______.
可以求得 k=_______.
所以这个反比例函数的表达式是_______.
典例精析
例3 已知反比例函数的图象经过点 A(2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数的图象和性质的初步运用
2
(2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D 的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以该反比例函数的解析式为 .
(1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？
O
x
y
例4 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限，
所以 m－5＞0，解得 m＞5.
典例精析
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小.
因此，当x1＞x2时，y1＜y2.
O
x
y
返回
D
返回
B
返回
C
4．科技承载梦想，创新始于少年．某校科技社团的学生们制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力F(N)是其速度v(m·s－1)的反比例函数，其图象如图所示，
返回
【答案】B
返回
(2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
【解】∵－8＜0，
∴这个函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
(3)画出函数的图象．
【解】如图所示．
返回
(4)点B(－2，4)，C(－1，5)在这个函数的图象上吗？
【解】∵－2×4＝－8，－1×5＝－5≠－8，
∴点B(－2，4)在这个反比例函数的图象上，点C(－1，5)不在这个反比例函数的图象上．
返回
【答案】C
反比例函数 (k ≠ 0) k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、第三象限
图象位于第二、第四象限
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大

展开更多......

收起↑