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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件
16.5 第1课时 一次函数与二元一次方程(组)
第16章 函数及其图象
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华东师大版八年级下册数学 16.5 第1课时 一次函数与二元一次方程(组)
一、核心知识点梳理（衔接旧知，突破重点）
（一）回顾与衔接
此前我们已经学习了一次函数（$$y = kx + b$$，$$k \neq 0$$）和二元一次方程（组）的基础内容：二元一次方程是含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程；二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组，其解是使两个方程同时成立的未知数的值。本节课的核心的是建立一次函数与二元一次方程（组）的联系，学会用函数图象解决方程组的解，实现“数”（方程）与“形”（图象）的转化。
（二）一次函数与二元一次方程的关系（核心重点）
1. 核心关联：二元一次方程可以转化为一次函数
任何一个二元一次方程（整理成标准形式$$ax + by + c = 0$$，其中$$a \neq 0$$、$$b \neq 0$$），都可以通过移项、变形，转化为一次函数的形式$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）。
推导示例：将二元一次方程$$2x + y = 5$$转化为一次函数形式：
移项得：$$y = -2x + 5$$，此时即为一次函数，其中$$k = -2$$，$$b = 5$$。
2. 解的对应关系（关键难点）
1. 二元一次方程的所有解，都对应着其对应的一次函数图象上的点的坐标；
2. 反之，一次函数图象上所有点的坐标$$(x, y)$$，都是其对应的二元一次方程的解；
3. 补充说明：一个二元一次方程有无数组解，对应一次函数图象上无数个点，这些点构成了一条直线（即一次函数的图象）。
示例：二元一次方程$$2x + y = 5$$的解有$$\begin{cases} x=0 \\ y=5 \end{cases}$$、$$\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}$$、$$\begin{cases} x=2 \\ y=1 \end{cases}$$等，这些解对应的点$$(0,5)$$、$$(1,3)$$、$$(2,1)$$，都在一次函数$$y = -2x + 5$$的图象上；反之，该直线上任意一点的坐标，都满足方程$$2x + y = 5$$。
（三）一次函数与二元一次方程组的关系（核心难点）
1. 方程组与函数图象的对应
一个二元一次方程组，对应着两个一次函数，这两个一次函数的图象（两条直线）的位置关系，直接决定了方程组解的情况，具体对应如下：
二元一次方程组的解的情况
对应的两个一次函数图象的位置关系
核心说明
有唯一一组解
两条直线相交
交点的坐标$$(x, y)$$，就是方程组的唯一解
无解
两条直线平行（$$k_1 = k_2$$且$$b_1 \neq b_2$$）
两条直线没有交点，因此方程组没有能同时满足两个方程的解
有无数组解
两条直线重合（$$k_1 = k_2$$且$$b_1 = b_2$$）
两条直线完全重合，所有点的坐标都满足两个方程，因此有无数组解
2. 用一次函数图象解二元一次方程组的步骤（实操重点）
1. 转化：将方程组中的两个二元一次方程，分别转化为一次函数的形式（$$y = kx + b$$）；
2. 绘图：在同一平面直角坐标系中，画出这两个一次函数的图象（两条直线）；
3. 找交点：观察图象，找到两条直线的交点坐标（若有交点）；
4. 写解：交点的横坐标为方程组中x的值，纵坐标为y的值，即为方程组的解；若直线平行，方程组无解；若直线重合，方程组有无数组解。
注意：用图象法解方程组，结果是近似值，若要得到精确解，需结合代数方法（代入消元法、加减消元法）验证。
（四）易错点汇总（针对性突破，规避失分）
1. 转化错误：将二元一次方程转化为一次函数时，移项、变号失误（如将$$2x + y = 5$$误转化为$$y = 2x + 5$$）；
2. 对应关系混淆：误将二元一次方程的解与反比例函数图象对应，或混淆“方程的解”与“函数图象上的点”的关系；
3. 图象判断错误：混淆两条直线平行、相交、重合的条件（平行需$$k_1 = k_2$$且$$b_1 \neq b_2$$，重合需$$k_1 = k_2$$且$$b_1 = b_2$$）；
4. 图象法解方程组易错：① 画图不规范，导致交点坐标判断错误；② 忽略图象法的近似性，未用代数方法验证精确解；
5. 概念混淆：误将二元一次方程组的解，当作其中一个一次函数的解（需同时满足两个函数的坐标才是方程组的解）。
二、典型题型解析（分层突破，贴合课时重点）
题型1：二元一次方程与一次函数的转化（基础巩固）
例1：将下列二元一次方程转化为一次函数$$y = kx + b$$的形式，并判断点$$(2, 3)$$是否在该函数的图象上。
（1）$$3x + y = 9$$ （2）$$2x - 3y = 6$$
解：（1）转化：移项得$$y = -3x + 9$$；
验证点$$(2, 3)$$：将$$x = 2$$代入$$y = -3x + 9$$，得$$y = -3 \times 2 + 9 = 3$$，与点的纵坐标相等，
∴ 点$$(2, 3)$$在该函数的图象上。
（2）转化：移项得$$-3y = -2x + 6$$，两边同时除以-3，得$$y = \frac{2}{3}x - 2$$；
验证点$$(2, 3)$$：将$$x = 2$$代入$$y = \frac{2}{3}x - 2$$，得$$y = \frac{2}{3} \times 2 - 2 = -\frac{2}{3} \neq 3$$，
∴ 点$$(2, 3)$$不在该函数的图象上。
题型2：用图象法解二元一次方程组（核心应用）
例2：用图象法解二元一次方程组$$\begin{cases} x + y = 4 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$$，并通过代数方法验证。
解：1. 转化函数形式：
由$$x + y = 4$$得：$$y = -x + 4$$；
由$$2x - y = 2$$得：$$y = 2x - 2$$。
2. 绘制图象：
① 画$$y = -x + 4$$：取两点$$(0, 4)$$、$$(4, 0)$$，描点连线；
② 画$$y = 2x - 2$$：取两点$$(0, -2)$$、$$(1, 0)$$，描点连线；
3. 找交点：观察图象，两条直线相交于点$$(2, 2)$$；
4. 验证（代数方法，加减消元法）：
将两个方程相加，得$$3x = 6$$，解得$$x = 2$$；
将$$x = 2$$代入$$x + y = 4$$，得$$y = 2$$；
∴ 方程组的解为$$\begin{cases} x = 2 \\ y = 2 \end{cases}$$，与图象法结果一致。
题型3：根据函数图象判断方程组的解的情况（拓展应用）
例3：已知两个一次函数$$y = k_1x + b_1$$和$$y = k_2x + b_2$$的图象，根据下列条件，判断对应的二元一次方程组$$\begin{cases} y = k_1x + b_1 \\ y = k_2x + b_2 \end{cases}$$的解的情况。
（1）$$k_1 = 2$$，$$b_1 = 3$$，$$k_2 = 2$$，$$b_2 = 5$$；
（2）$$k_1 = -1$$，$$b_1 = 4$$，$$k_2 = 3$$，$$b_2 = 0$$；
（3）$$k_1 = \frac{1}{2}$$，$$b_1 = -2$$，$$k_2 = \frac{1}{2}$$，$$b_2 = -2$$。
解：（1）∵ $$k_1 = k_2 = 2$$，且$$b_1 = 3 \neq b_2 = 5$$，
∴ 两条直线平行，对应的方程组无解；
（2）∵ $$k_1 = -1 \neq k_2 = 3$$，
∴ 两条直线相交，对应的方程组有唯一一组解；
（3）∵$$k_1 = k_2 = \frac{1}{2}$$，且$$b_1 = b_2 = -2$$，
∴ 两条直线重合，对应的方程组有无数组解。
题型4：结合解的情况求字母取值（难点突破）
例4：已知二元一次方程组$$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ kx + 2y = 6 \end{cases}$$有唯一一组解，求k的取值范围。
解：1. 将两个方程转化为一次函数形式：
由$$2x + y = 5$$得：$$y = -2x + 5$$；
由$$kx + 2y = 6$$得：$$y = -\frac{k}{2}x + 3$$。
2. 方程组有唯一一组解，说明两条直线相交，即$$k_1 \neq k_2$$；
3. 其中$$k_1 = -2$$，$$k_2 = -\frac{k}{2}$$，因此：
$$ -2 \neq -\frac{k}{2} $$，解得$$k \neq 4$$；
∴ k的取值范围是$$k \neq 4$$。
三、课堂练习题
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 将二元一次方程$$3x - 2y = 6$$转化为一次函数形式，正确的是（ ）
2. 下列点中，在二元一次方程$$x - y = 2$$
一次函数与二元一次方程（组)
问题1 某单位准备印制一批证书 ，当地有甲、乙两个印刷厂 ，它们的印制质量都很好，甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不收制版费 ，直接按印刷数量收费 ，当印刷证书超过 2 千本时单价有优惠 ，甲、乙两厂的收费 y (千元) 关于印制的证书数量 x (千本) 的函数图象如图所示：
1
② 印制证书多少本时，两厂实际收费相同?
③ 当印制证书 8 千本时，选择哪个印刷厂比较划算?
(1) 根据图象回答:
① 甲厂的制版费及印刷费
单价各是多少?
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
x / 千本
y/千元
O
甲
乙
甲厂制版费 1 千元，
印刷费单价 0.5 千元/千本.
6 千本
甲厂
(2) 如果甲厂想把 8 千本证书印制的订单争取到手 ，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少?
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
x / 千本
y / 千元
O
甲
乙
y乙 = ????????????+???????? ( x ≥ 2 ).
?
(2) 由图象经过点(0，1)和(2，2)，求得
当 x≥2 时，由图象经过点(2，3)和 (6，4)，求得
y甲 = ????????????+???? .
?
根据题意，甲厂至少降价 500 元才能将印制工作承揽下来.
因为不降低制版费，
y甲 = ????????????+????
?
y乙 = ????????????+???????? (x≥2)
?
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7 8
x/千本
y/千元
O
甲
乙
所以证书印刷单价至少降低 5008000=0.0625 (元)
?
所以当印制 8 千本证书时，选择乙厂能节省费用 500 元.
当 x = 8 时，计算得 y甲 = 5，y乙 = 4.5，
思考 (1)“收费相同”在图象上怎样反映出来?
可以通过函数图象的交点反映出来
在图象上，点的位置越高，
对应的函数值就越大，收费就越多；
反之，点的位置越低，对应的函数值就越小，收费就越少.
6
5
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3
2
1
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x/千本
y/千元
O
甲
乙
(2) 如何在图象上看出收费的多少?
思考1 一次函数与二元一次方程有什么关系？
一次函数
二元一次方程
一次函数
y = x+1
二元一次方程
y - x = 1
二元一次方程
y = x + 1
用方程观点看
用函数观点看
　　从式子（数）角度看：
????????
?
????????
?
????????
?
由函数图象的定义可知：
直线 y = x + 1 上的每个点的坐标(x，y) 都能使等式
y = x + 1 成立，即
直线 y = x + 1 上的每个点的坐标都是二元一次方程
y = x + 1 的解.
思考2 从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？
y甲 = ????????????+????
?
????????
?
????????
?
????????
?
????????
?
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3
2
1
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x/千本
y/千元
O
观察 在坐标系中分别画出两条直线 y = 2x - 5 和 y = -x +1 .
1.它们的交点坐标_____________.
2.方程组????=2?????5，????=?????+1的解是__________.
?
这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解.
????=2，????=?1.
?
(2，-1)
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}“数”的角度
“形”的角度
两个一次函数 y = k1x + b1 (k1≠0)，
y = k2x + b2 (k2≠0) 的自变量 x，y 的一组相同的值?二元一次方程组
的解
直线 y = k1x + b1 (k1≠0)，y = k2x + b2 (k2≠0)的交点坐标 为(m，n)
?二元一次方程组 的解为 x = m，y = n
一次函数与二元一次方程组的关系
例2 利用一次函数的图象，求二元一次方程组
的解.
????=????+5，????+2????=?2
?
典例精析
分析：方程组中的第一个方程已经变化为一次函数的形式，第二个方程可变化成 y = ??????????????????.
?
x
y
例2 利用一次函数的图象，求二元一次方程组
的解.
????=????+5，????+2????=?2
?
解 分别作出一次函数的图像，得到两个函数的图象的交点是 (-4 ，1) .
????=?4，????=1.
?
即方程组的解为
典例精析
x
y
拓展：一次函数 y1 = k1x + b1，y2 = k2x + b2 的图象与对应方程组的解
(1) 当 k1≠k2 时，两个一次函数的图象相交，对应的方程组有唯一的解；
(2) 当 k1 = k2，b1≠b2时，两个一次函数的图象平行，对应的方程组无解；
(3) 当 k1 = k2，b1 = b2 时，两个一次函数的图象重合，对应的方程组有无数个解.
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D
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C
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3．若以关于x，y的二元一次方程2x－y＋b＝0的解为坐标的点(x，y)都在直线y＝2x－b＋2上，则常数b的值为________．
1
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1
x
…
2
1
0
－1
…
y1
…
0
3
6
9
…
y2
…
6
3
0
－3
…
3
【解】如图，在同一直角坐标系中
画出y＝－x＋4和y＝2x＋1的图象．
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6．某中学举行校庆活动，使用了两架小型无人机进行现场拍摄，1号机所在高度y1(m)与上升时间x(s)的函数图象如图所示；2号机从6 m高度，以0.5 m/s的速度上升，两架无人机同时起飞，设2号机所在高度为y2 (m)．
(1)求1号机所在高度y1(m)与上升时间x(s)之间的函数表达式(不必写出x的取值范围)，并在图中画出2号机所在高度y2(m)与上升时间x(s)的函数图象．
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(2)在某时刻两架无人机能否位于同一高度？如果能，求此时两架无人机的高度；如果不能，请说明理由．
【解】在某时刻两架无人机能位于同一高度．
当y1＝y2时，x＋3＝0.5x＋6，解得x＝6.
∴x＋3＝6＋3＝9.
∴此时两架无人机的高度为9 m.
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【答案】A
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【答案】A
一次函数与二元一次方程
解二元一次方程组 求对应两条直线交点的坐标

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