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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件16.5第2课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式第16章函数及其图象授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学16.5第2课时一次函数与一元一次方程、一元一次不等式一、核心知识点梳理（衔接旧知，突破核心）（一）回顾与衔接上一课时我们学习了一次函数与二元一次方程（组）的关系，掌握了“数”与“形”的转化思想——二元一次方程的解对应一次函数图象上的点，二元一次方程组的解对应两条一次函数图象的交点。本节课我们将延续这一思想，探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在关联，学会用一次函数图象解决一元一次方程的解、一元一次不等式的解集问题，进一步体会“数形结合”的数学思想，为后续复杂函数应用奠定基础。回顾基础：①一元一次方程：只含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的整式方程，一般形式为$$ax + b = 0$$（$$a \neq 0$$），有唯一解；②一元一次不等式：只含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的不等式，一般形式为$$ax + b > 0$$（或$$< 0$$、$$\geq 0$$、$$\leq 0$$），解集是一个取值范围；③一次函数：$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$），图象是一条直线。（二）一次函数与一元一次方程的关系（核心重点）1.核心关联：一元一次方程是一次函数的特殊情形一次函数$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）中，当函数值$$y = 0$$时，对应的自变量$$x$$的值，就是一元一次方程$$kx + b = 0$$（$$k \neq 0$$）的解。换句话说，解一元一次方程$$kx + b = 0$$，本质上就是求一次函数$$y = kx + b$$的图象与x轴交点的横坐标。2.数与形的对应关系（关键难点）1.从“数”的角度：解方程$$kx + b = 0$$（$$k \neq 0$$），就是求当$$y = 0$$时，自变量$$x$$的取值；2.从“形”的角度：解方程$$kx + b = 0$$（$$k \neq 0$$），就是找一次函数$$y = kx + b$$的图象与x轴（$$y = 0$$）的交点坐标，交点的横坐标即为方程的解。拓展补充：对于一元一次方程$$kx + b = m$$（$$k \neq 0$$，$$m$$为常数），其解对应一次函数$$y = kx + b$$的图象与直线$$y = m$$交点的横坐标，等同于求函数$$y = kx + (b - m)$$与x轴交点的横坐标，本质是一次函数函数值为定值时自变量的取值。示例：一次函数$$y = 2x - 4$$，当$$y = 0$$时，$$2x - 4 = 0$$，解得$$x = 2$$；对应的图象上，直线$$y = 2x - 4$$与x轴交于点$$(2, 0)$$，交点的横坐标2，就是方程$$2x - 4 = 0$$的解。若求方程$$2x - 4 = 2$$的解，即找直线$$y = 2x - 4$$与$$y = 2$$的交点，解得$$x = 3$$，对应交点$$(3, 2)$$的横坐标。（三）一次函数与一元一次不等式的关系（核心难点）1.核心关联：一元一次不等式的解集对应一次函数图象的区域任何一个一元一次不等式，都可以转化为$$kx + b > 0$$（或$$< 0$$、$$\geq 0$$、$$\leq 0$$）的形式（$$k \neq 0$$），解这个不等式，本质上就是求一次函数$$y = kx + b$$的函数值$$y$$满足相应不等关系时，自变量$$x$$的取值范围，即一次函数图象中满足条件的区域对应的x的范围。2.数与形的对应关系（分情况说明，重点掌握）结合一次函数$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）的增减性，分两种情况讨论，具体对应如下：一次函数增减性（k的符号）一元一次不等式解集（x的取值范围）图象对应区域（形的角度）$$k > 0$$（y随x的增大而增大）$$kx + b > 0$$$$x > -\frac{b}{k}$$直线$$y = kx + b$$在x轴上方的部分，对应x的取值范围$$kx + b < 0$$$$x < -\frac{b}{k}$$直线$$y = kx + b$$在x轴下方的部分，对应x的取值范围$$kx + b \geq 0$$$$x \geq -\frac{b}{k}$$直线$$y = kx + b$$在x轴上方及与x轴交点的部分，对应x的取值范围$$kx + b \leq 0$$$$x \leq -\frac{b}{k}$$直线$$y = kx + b$$在x轴下方及与x轴交点的部分，对应x的取值范围$$k < 0$$（y随x的增大而减小）$$kx + b > 0$$$$x < -\frac{b}{k}$$直线$$y = kx + b$$在x轴上方的部分，对应x的取值范围$$kx + b < 0$$$$x > -\frac{b}{k}$$直线$$y = kx + b$$在x轴下方的部分，对应x的取值范围$$kx + b \geq 0$$$$x \leq -\frac{b}{k}$$直线$$y = kx + b$$在x轴上方及与x轴交点的部分，对应x的取值范围$$kx + b \leq 0$$$$x \geq -\frac{b}{k}$$直线$$y = kx + b$$在x轴下方及与x轴交点的部分，对应x的取值范围示例：一次函数$$y = -x + 3$$（$$k = -1 < 0$$，y随x增大而减小），解不等式$$-x + 3 > 0$$，即找直线在x轴上方的部分，对应的x取值范围是$$x < 3$$；解不等式$$-x + 3 \leq 0$$，即找直线在x轴下方及交点的部分，对应的x取值范围是$$x \geq 3$$。3.拓展：两个一次函数与一元一次不等式的关系对于两个一次函数$$y_1 = k_1x + b_1$$和$$y_2 = k_2x + b_2$$（$$k_1 \neq 0$$，$$k_2 \neq 0$$），不等式$$k_1x + b_1 > k_2x + b_2$$（或$$< 0$$）的解集，对应图象中直线$$y_1$$在直线$$y_2$$上方（或下方）部分对应的x的取值范围，交点的横坐标是两个函数值相等的分界点，也是不等式解集的分界点。（四）用一次函数图象解决方程、不等式的步骤（实操重点）1.用图象解一元一次方程$$kx + b = 0$$（$$k \neq 0$$）的步骤1.转化：将方程对应到一次函数$$y = kx + b$$；2.绘图：在平面直角坐标系中，画出一次函数$$y = kx + b$$的图象（直线）；3.找交点：找到直线与x轴（$$y = 0$$）的交点坐标；4.写解：交点的横坐标，即为一元一次方程$$kx + b = 0$$的解。2.用图象解一元一次不等式（转化为$$kx + b > 0$$等形式）的步骤1.转化：将一元一次不等式整理、变形，转化为$$kx + b > 0$$（或$$< 0$$、$$\geq 0$$、$$\leq 0$$）的标准形式；2.绘图
问题1 下面三个方程有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个方程进行解释吗？
(1) 2x + 1 = 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
从函数值看：
解这 3 个方程 一次函数 y = 2x + 1，
当 y 分别为 3，0，-1 时，求自变量 x 的值.
y
y
y
一次函数与一元一次方程
1
从函数图象看：
在直线 y = 2x + 1上，取纵坐标分别为 3，0，-1 的点，看它们的横坐标分别为多少
(1) 2x + 1= 3； (2) 2x + 1 = 0； (3) 2x + 1 = -1．
y
y
y
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
2x+1=3的解
y = 2x + 1
2x+1=0的解
2x+1=-1的解
求一元一次方程
kx+b=0的解．
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数y=kx+b
中，y=0时x的值．
从“函数值”看
求一元一次方程
kx+b=0的解．
求直线y= kx+b
与 x 轴交点的横
坐标．
从“函数图象”看
归纳总结
你能把得到的结论推广到一般情况吗？
一般地，一元一次方程 ax + b = c (a， b，c为常数，a ≠ 0)的解就是当函数__________的函数值为_____时的自变量_____的值.
如：求 4x + 5 = 9 的解 求一次函数 y = 4x + 5 的函数值为 9 时，自变量的值.
y = ax + b
c
x
问题2 画出函数 的图象，根据图象，说明:
(1) x 取什么值时，函数值 y 等于 0
(2) x 取什么值时，函数值 y 大于 0
(1) 当 x = -2 时，函数值 y 等于 0；
(2) 当 x > -2 时，函数值 y 大于 0.
一次函数与一元一次不等式
2
y
思考 由问题 2 ，想一想：一元一次方程
的解、不等式 ， 的解集与函数 的图象有什么关系
一元一次方程 的解，就是函数 的图象与x轴交点的横坐标；不等式 的解集，就是函数 的图象在 x 轴上方部分对应的 x 的取值范围.
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
y = kx+b的值
大于(或小于)0时，
x 的取值范围
从“函数值”看
求kx+b＞0(或<0)
(k≠0)的解集
确定直线y = kx+b
在x 轴上方(或下方)
的图象所对应的 x
取值范围
从“函数图象”看
一次函数与一元一次不等式的关系
归纳总结
问题3 下面三个不等式有什么共同特点？你能从函数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的结论推广到一般情形吗？
(1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1．
　　不等式 ax + b＞c 的解集就是使函数 y = ax + b 的函数值大于 c 的对应的自变量取值范围；
　　不等式 ax + b＜c 的解集就是使函数 y = ax + b 的函数值小于 c 的对应的自变量取值范围．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y =3x+2
y =2
y = 0
y =-1
(1) 3x + 2＞2； (2) 3x + 2＜0； (3) 3x + 2＜-1．
例1 画出函数 y = -3x + 6 的图象，结合图象求：
解：作出函数 y = -3x + 6 的图象，如图所示，图象与 x 轴交于点 B(2，0).
x
O
B(2,0)
A(0,6)
y
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和
-3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3
解：(1)由图象可知，不等式
-3x + 6 > 0 的解集是图象位于 x 轴上方的 x 的取值范围，即 x < 2；
不等式 -3x + 6 < 0 的解集是图象位于 x 轴下方的 x 的取值范围，即 x > 2；
x
O
B(2,0)
A(0,6)
3
1
(1,3)
y
(2) 由图象可知，当 x > 1 时，y < 3.
(1) 不等式 -3x + 6 > 0 和 -3x + 6 < 0 的解集；
(2) 当 x 取何值时，y < 3
例2 如图，函数 y＝－x－1和 y＝ax＋4 的图象相交于点 P(m，－3).
(1) 求 m，a 的值；
解：把 P(m，－3 )代入 y＝－x－1 得，
－m－1＝－3，解得 m＝2，
∴点 P 的坐标为 (2，－3)，
∵函数 у＝ax＋4 的图象经过点 P，
∴ 2a＋4＝－3.
解得
x
O
y
P
A
B
y＝－x－1
y＝ax＋4
(2) 根据图象，直接写出不等式 －x－1＞ax＋4 的解集.
由图象得，
不等式 －x－1＞ax＋4
的解集为 x＞2
x
O
y
P
A
B
y＝－x－1
y＝ax＋4
P(2，－3)
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1．若直线y＝kx＋b经过点(1，3)，则关于x的方程kx＋b＝3的解是(　　)
A．x＝1 B．x＝2
C．x＝3 D．x＝4
A
返回
D
3．如图，直线y＝kx＋b分别与x轴的负半轴和y轴的正半轴交于点A和点B，若OA＝4，OB＝3，则不等式kx＋b＞0的解集为(　　)
A．x＞－3
B．x＞－4
C．x＜3
D．x＜4
返回
【点方法】用图象法解不等式的步骤
第一步：把不等式化为kx＋b>0或kx＋b<0的形式；
第二步：画出一次函数y＝kx＋b的图象；
第三步：找出图象与x轴交点的横坐标，不等式的解集就是比交点横坐标大或小的x值的集合．
【答案】B
4．如图，一次函数y＝kx＋2和y＝2x－1的图象相交于点P，根据图象可知关于x的方程kx＋2＝2x－1的解是________．
x＝3
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【点拨】把y＝5代入y＝2x－1，得5＝2x－1，解得x＝3，∴点P的横坐标为3.
∴关于x的方程kx＋2＝2x－1的解是x＝3.
返回
5．关于x的方程kx＋b＝3(k≠0)的解为x＝7，则直线y＝kx＋b一定过点________．
(7，3)
返回
7．[郑州期中]一次函数y1＝kx＋b和y2＝－4x＋a的图象如图所示，且A(0，4)，C(－2，0)．
(1)由图可知，不等式kx＋b＞0的解集是________；
x＞－2
(2)若不等式kx＋b＞－4x＋a的解集是x＞1．
①求点B的坐标；
返回
②求a的值．
【解】∵点B(1，6)在一次函数y2＝－4x＋a的图象上，
∴6＝－4×1＋a.∴a＝10.
8．[深圳实验学校期末]如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象与x轴、y轴分别交于点(2，0)，(0，3)．有下列结论：
①关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝2；
②关于x的方程kx＋b＝3的解为x＝0；
③当x＞2时，y＜0；
④当x＜0时，y＜3．
其中正确的是(　　)
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
A
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9．若函数y＝kx－b的图象如图所示，则关于x的不等式k(x－3)－b＞0的解集为(　　)
A．x＜1
B．x＜2
C．x＜3
D．x＜5
返回
【点拨】将直线y＝kx－b向右平移3个单位
长度即可得到直线y＝k(x－3)－b，如图
所示，观察图象可知当x＜5时，不等式
k(x－3)－b>0，故选D.
【答案】D
一次函数与方程、不等式
解一元一次方程 对应一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值，即一次函数与x轴交点的横坐标.
解一元一次不等式 对应一次函数的函数值大 (小) 于 0 时，求自变量的取值范围，即在 x 轴上方(或下方)的图象所对应的 x 取值范围 .

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