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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件16.5第3课时函数在实际生活中的应用第16章函数及其图象授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学16.5第3课时函数在实际生活中的应用一、核心知识点梳理（衔接旧知，聚焦应用）（一）回顾与衔接前两课时我们已经掌握了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的内在关联，学会了“数形结合”的思想方法——用函数图象解决方程、不等式的解与解集问题。本节课我们将把函数知识运用到实际生活中，核心是根据实际问题的数量关系，建立一次函数（或正比例函数）模型，通过函数分析解决实际问题（如计费、行程、利润、产量等），实现“数学建模”的核心素养，让数学服务于生活。核心前提：实际生活中，很多变量之间的关系可以用一次函数表示（如：单价固定时，总价与数量的关系；速度固定时，路程与时间的关系等），解题的关键是找到两个变量之间的等量关系，转化为一次函数解析式$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$），再结合实际意义分析自变量、函数值的取值范围，进而解决问题。（二）函数实际应用的核心步骤（实操重点）解决函数实际应用问题，遵循“审题→建模→求解→检验→作答”五步走，每一步都要贴合实际意义，避免脱离场景的计算错误，具体步骤如下：1.审题：通读题目，明确题目中的两个变量（自变量x、函数y），找出题目中的已知条件（如：固定成本、单价、速度、计费标准等），理清两个变量之间的数量关系（等量关系或不等关系）；2.建模：根据数量关系，设出自变量和函数，列出一次函数（或正比例函数）解析式$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$），其中正比例函数是$$b = 0$$的特殊情况（无固定量时适用）；3.求解：根据题目给出的已知条件（如：某组变量的对应值、特殊点坐标），求出解析式中k、b的值，确定完整的函数解析式；同时结合实际意义，确定自变量x的取值范围（如：人数、数量、时间不能为负数，且为整数或符合实际场景的数值）；4.检验：将求解结果代入实际场景中检验，确保解析式正确、自变量取值合理，避免出现与实际不符的结果（如：费用为负数、数量为小数但实际需为整数等）；5.作答：根据题目问题，结合函数解析式，求出对应的函数值或自变量的值，规范写出答案，贴合实际场景表述（如：“应收费多少元”“需要多少小时”等）。（三）常见实际应用场景及建模技巧（重点突破）八年级下册重点考查一次函数的实际应用，常见场景分为4类，每类场景的建模技巧的如下，结合实例理解，避免混淆：1.计费问题（如：水电费、话费、打车费、物业费）：-核心等量关系：总费用=固定费用+单价×用量（或时长、里程）；-建模技巧：固定费用对应解析式中的$$b$$，单价对应$$k$$，用量（或时长）为自变量x，总费用为函数y；注意区分“分段计费”（需分情况列解析式，结合不等式确定自变量取值范围）。2.行程问题（如：匀速行驶、相遇问题）：-核心等量关系：路程=速度×时间（匀速行驶）；相遇时，两车路程和=总距离；追及时，两车路程差=初始距离；-建模技巧：速度对应$$k$$，时间为自变量x，路程为函数y；若有初始路程（如：出发时已行驶一段距离），则初始路程对应$$b$$。3.利润、成本问题（如：销售商品、生产产品）：-核心等量关系：总利润=单件利润×销售量；总成本=固定成本+单件成本×生产量；-建模技巧：单件利润（或单件成本）对应$$k$$，销售量（或生产量）为自变量x，总利润（或总成本）为函数y；固定成本对应$$b$$。4.其他场景（如：面积、产量、分段优惠）：-核心：找到两个变量之间的“固定量+变量”关系，判断是否符合一次函数模型；-技巧：若变量之间是“线性变化”（自变量每增加1，函数值增加/减少固定值），则一定可以用一次函数建模。（四）易错点汇总（针对性突破，规避失分）1.建模错误：混淆两个变量的对应关系（如：误将单价当作自变量，数量当作函数）；未找准等量关系，列错解析式（如：计费问题中，漏加固定费用）；2.忽略自变量取值范围：未结合实际场景限制自变量x（如：人数为负数、时间为小数但实际需为整数、用量超过上限等），导致结果不符合实际；3.计算错误：求k、b的值时，代入点坐标失误、解方程组出错；求函数值或自变量值时，计算粗心；4.分段计费问题易错：未分情况讨论，漏写某一段的解析式；混淆分段的分界点（如：打车费3公里内起步价，分界点为x=3，需分x≤3和x>3两种情况）；5.检验遗漏：求出解析式后，未代入实际场景检验，导致解析式与题目条件不符（如：总费用随用量增加而减少，与实际不符）。二、典型题型解析（分层突破，贴合课时重点）题型1：计费问题（基础巩固，高频考点）例1：某小区物业费收费标准如下：每月固定管理费50元，另外每平方米收取0.8元的保洁费。设该小区某住户房屋面积为x平方米，每月应缴物业费为y元。（1）写出y与x之间的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；（2）若该住户房屋面积为120平方米，求每月应缴的物业费；（3）若该住户每月缴纳物业费130元，求其房屋面积。解：（1）根据题意，等量关系为：物业费=固定管理费+保洁费，保洁费= 0.8x，固定管理费为50元，因此函数解析式为：$$y = 0.8x + 50$$；自变量x的取值范围：房屋面积不能为负数，故$$x > 0$$（x为正数）。（2）当$$x = 120$$时，代入解析式：$$y = 0.8 \times 120 + 50 = 96 + 50 = 146$$；答：每月应缴物业费146元。（3）当$$y = 130$$时，代入解析式，解方程：$$130 = 0.8x + 50$$，移项得$$0.8x = 80$$，解得$$x = 100$$；答：其房屋面积为100平方米。题型2：行程问题（基础应用）例2：一辆汽车从甲地开往乙地，匀速行驶，出发时油箱内有油60升，行驶过程中每小时耗油8升，设行驶时间为x小时，油箱内剩余油量为y升。（1）写出y与x之间的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；（2）行驶4小时后，油箱内剩余多少升油？（3）当油箱内剩余油量为12升时，汽车行驶了多少小时？解：（1）等量关系：剩余油量=总油量-每小时耗油量×行驶时间，因此函数解析式为：$$y = -8x + 60$$；自变量x的取值范围：剩余油量y≥0，且行驶时间x≥0，即$$-8x + 60 \geq 0$$，解得$$x \leq 7.5$$，故$$0 \leq x \leq 7.5$$。（2）当$$x = 4$$时，$$y = -8 \times 4 + 60 = -32 + 60 = 28$$；答：行驶4小时后，油箱内剩余28升油。（3）当$$y = 12$$时，$$12 = -8x + 60$$，移项得$$8x = 48$$，解得$$x = 6$$；答：汽车行驶了6小时。题型3：分段计费问题（难点突破）例3：某出租车收费标准如下：3公里内（含3公里）起步价10元；超过3公里，每增加1公里，加收2.4元（不足1公里按1公里计算）。设行驶里程为x公里（x为非负整数），应缴车费为y元。（1）写出y与x之间的函数解析式（分情况讨论）；（2）若行驶里程为7公里，应缴车费多少元？（3）若应缴车费22元，求行驶里程的范围。解：（1）分两种情况讨论：①当$$0 \leq x \leq 3$$（x为整数）时，车费为起步价10元，故$$y = 10$$；②当$$x > 3$$（x为整数）时，车费=起步价+超过3公里的费用，超过3公里的里程为$$(x - 3)$$公里，故问题 为了研究某合金材料的体积 V (cm3) 随温度 t (℃) 变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下:
能否据此寻求 V 和 t 之间的函数关系式
建立一次函数模型解决实际问题
1
分析：在平面直角坐标系中描出这些数值所对应的点. 我们发现，这些点大致位于同一条直线上，可知 V 和 t 之间近似地符合一次函数关系.
设 V 和 t 的函数关系式是 V = kt +b(k≠0)，根据题意，得
解得
所以 V 与 t 的函数关系式可能是
V=0.04t+999.9
我们曾采用待定系数法求得一次函数和反比例函数的表达式. 但是现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系，需要我们根据经验分析进行近似计算和修正，列出比较接近的函数关系式.
知识要点
思考 根据上面的问题，你能总结一下求函数关系式的步骤吗
1. 描点：把实践中得到的一些变量的对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点；
2. 判断：根据描出的点在平面直角坐标系中的位置和变化趋势等判断变量之间近似地符合哪一种函数关系；
3. 确定：设出函数表达式，用待定系数法确定近似函数关系式
例1 请每位同学伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，两指间的距离称为指距. 已知指距与身高具有如下关系：
指距 x（cm） 19 20 21
身高 y（cm） 151 160 169
(1) 求身高 y 与指距 x 之间的函数表达式；
(2) 当小李的指距为 22 cm 时，你能预测他的身高吗？
典例精析
解：设身高 y 与指距 x 之间的函数表达式为 y = kx + b.
将 x = 19， y = 151 与 x = 20，y = 160 代入上式，得
19k + b = 151，
20k + b = 160.
(1) 求身高 y 与指距 x 之间的函数表达式；
解得 k = 9，b = -20.
于是 y = 9x - 20. ①
将 x = 21，y = 169 代入①式也符合.
公式 ① 就是身高 y 与指距 x 之间的函数表达式.
解：当 x = 22 时， y = 9×22 - 20 = 178.
因此，小李的身高大约是 178 cm.
(2) 当小李的指距为 22 cm 时，你能测算他的身高吗？
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为 104 m3 的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)
有怎样的函数关系
解：根据圆柱的体积公式，得 Sd =104，
∴ S 关于d 的函数解析式为
建立反比例函数模型解决实际问题
2
(2) 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工
队施工时应该向下掘进多深
解得 d = 20.
答：施工时应向地下掘进 20 m 深.
解：把 S = 500 代入 ，得
(3) 当施工队按 (2) 中的计划掘进到地下 15 m 时，公司
临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m. 相应地，
储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)
≈ 666.67.
答：当储存室的深度为 15 m 时，底面积应改为约 666.67 m .
解：根据题意，把 d = 15 代入 ，得
想一想 第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系？
第 (2) 问实际上是已知函数 S 的值，求自变量
d 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
例4 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 也随之变化. 如果人和木板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么：
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？
解：由 ，得
p 是 S 的反比例函数．
典例精析
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：当 S ＝ 0.2 m2 时，
故当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa．
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？
解：当 p = 6000 时，由 得
对于函数 ，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小.
因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.
(4) 在平面直角坐标系中，作出相应的函数图象．
2000
0.1
0.5
O
0.6
0.3
0.2
0.4
1000
3000
4000
5000
6000
S/m2
p/Pa
解：如图所示.
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1．[南通期中]近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)之间有如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数小于500度的近视眼镜，则镜片焦距x的取值范围是(　　)
A．x＞0.2　
B．0＜x＜0.2　
C．0＜x＜2　
D．x＞2
A
返回
2．如图是某市出租车的所付车费与乘车里程之间的关系图象，分别由线段AB，BC和射线CD组成．张老师乘坐出租车里程是11 km，他应该付的车费是________元．
27
3．某天水温和室温均为20 ℃，智能饮水机接通电源后开始自动加热，加热到100 ℃时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温y(℃)与通电时间x(min)成反比例关系，a min时
水温下降到室温，水温y(℃)与通电
时间x(min)之间的关系如图所示．
(1)当0≤x≤8时，求出y与x之间的函数表达式；
返回
(2)求自动停止加热到水温降到室温的时间．
4．某通信公司推出A，B，C三种上网收费方式，每月收取的费用yA(元)，yB(元)，yC(元)与月上网时间x(h)的函数图象如图所示．
返回
(1)对于上网方式A，若月上网时间在25 h以内，则月收费为________元；
(2)对于上网方式B，当月上网时间x(h)满足____________时，选择此方式最省钱；当月上网时间超过60 h时，所付费用yB(元)与月上网时间x(h)之间的函数关系式为_________________；
(3)当月上网时间为90 h时，比较三种方式，选择最省钱的方式比选择最费钱的方式可以节省________元．
30
35＜x＜80
yB＝3x－120(x>60)
105
5．如图①，在正方形ABCD的边 BC上有一点E，连结AE．点P从正方形的顶点A出发，沿A→D→C的方向以1 cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y(cm2)随时间x(s)
变化的函数图象，当x＝7时，
y的值为________．
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6．2025年春晚舞台上的机器人表演，充分展现了科技与民族文化的完美融合．为满足学生的好奇心和求知欲，某校组织科技活动“机器人走进校园”，AI热情瞬间燃爆．校园里一条笔直的“勤学路”上依次设置了A，B，C三个互动区，机器人甲、乙分别从A，C两区同时出发开始表演，机器人甲沿“勤学路”以20 m/min的速度匀速向B区行进，行至B区时停留4.5 min(与师生热情互动)后，继续沿“勤学路”向C区匀速行进，
机器人乙沿“勤学路”以10 m/min的速度匀速向B区行进，行至B区时接到指令立即匀速返回，结果两机器人同时到达C区．机器人甲、乙距B区的距离y(m)与机器人乙行进的时间x(min)之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
(1)A，C两区相距________m，
a＝________；
240
7.5
(2)求线段EF所在直线的函数表达式；
(3)机器人乙行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距30 m？(直接写出答案即可)
【解】机器人乙行进的时间为7 min或11 min或13 min时，机器人甲、乙相距30 m.
函数在实际生活中的应用
一次函数模型的应用
实际问题中的反比例函数

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