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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件17.1第3课时平行四边形的性质定理3第17章平行四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册17.1第3课时平行四边形的性质定理3练习题核心知识点回顾：性质定理3平行四边形的对角线互相平分（即平行四边形的两条对角线相交，交点是两条对角线的中点）；结合前两课时性质，可进行对角线、边长、周长的综合计算与证明（时长建议25-30分钟，总分100分）一、基础填空题（每题10分，共30分）1.在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AO=3cm，则AC=______cm；若BO=4cm，则BD=______cm。2.已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO=5cm，BO=6cm，则△AOB的周长为______cm，△BOC的周长比△AOB的周长多______cm（提示：利用平行四边形对边相等）。3.在 ABCD中，对角线AC=12cm，BD=16cm，则OA=______cm，OB=______cm，若AB=10cm，则△AOB是______三角形（填“直角”“锐角”或“钝角”）。二、选择题（每题10分，共30分）1.在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论正确的是（）- A. AO=BO B. AO=CO，BO=DO C. AC=BD D. AO=AB2.已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若△AOD的周长为15cm，AD=6cm，AO=4cm，则OD的长为（）- A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm3.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=3，OB=4，则 ABCD的周长为（）- A. 14 B. 16 C. 20 D. 28三、解答题（每题20分，共40分）1.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，求证：AO=CO，BO=DO（要求运用平行四边形性质定理1、2辅助证明）。2.在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO=2cm，BO=3cm，AB=4cm，求：（1）AC和BD的长；（2） ABCD的周长（结果保留根号）；（3）△BOC的面积（提示：可先判断△AOB的形状）。参考答案一、1. 6，8 2. 16，0（或相等）3. 6，8，直角二、1. B 2. C 3. C三、1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ AD=BC（性质定理1），AD∥BC，∴ ∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC（两直线平行，内错角相等）。在△AOD和△COB中，∠OAD=∠OCB，AD=BC，∠ODA=∠OBC，∴△AOD≌△COB（ASA），∴ AO=CO，BO=DO（全等三角形对应边相等）。2.（1）AC=2AO=4cm，BD=2BO=6cm；（2）由勾股定理逆定理得△AOB为钝角三角形，BC=AB=4cm，周长=2×(4+4)=16cm；（3）6cm 。思考 如下图，在之前的探究中，我们知道了平行四边形是中心对称图形，你观察到 OA 与 OC 、OB 与 OD 各有什么关系
平行四边形的对角线的性质
猜想 OA = OC，OB = OD.
1
证一证 如图，□ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.求证：OA = OC，OB = OD.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AD∥BC.
∴ ∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴ △AOD≌△COB (ASA).
∴ OA = OC，OB = OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
应用格式：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD.
平行四边形的性质定理 3
归纳总结
例1 如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，△AOB 的周长为15，AB＝6，那么对角线 AC 与 BD 的和是多少？
解：在 □ABCD 中：
∵AB = 6，AO+BO+AB = 15，
∴AO + BO = 15 - 6 = 9.
又∵AO=OC且BO = OD(平行四边形的对角线互相平分)，∴ AC+BD = 2AO + 2BO = 2(AO + BO) = 2×9 = 18 .
A
C
D
B
O
典例精析
例2 如图，平行四边形 ABCD 中，AC，BD 交于 O 点，点 E，F 分别是 AO，CO 的中点，试判断线段 BE，DF 的关系并证明你的结论．
解：BE ＝ DF，BE∥DF.
理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA ＝ OC，OB ＝ OD.
∵点 E，F 分别是 AO，CO 的中点，
∴OE ＝ OF.
典例精析
在 △OFD 和 △OEB 中，
OF ＝ OE，
∠DOF ＝ ∠BOE，
OD ＝ OB，
∴△OFD≌△OEB (SAS).
∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF.
∴BE∥DF.
例3 如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，EF过点 O 且与边AB，CD 分别相交于点 E，F.求证：OE = OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ODF = ∠OBE，
∠DFO = ∠BEO.
∴△DOF≌△BOE（AAS）.
∴AB∥CD， OD = OB.
∴OE = OF.
思考 改变直线 EF 的位置，OE = OF 还成立吗
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
(1)
(2)
议一议 在上述问题中，若直线 EF 与边 DA、BC 的延长线交于点 E、F，(如图2)，上述结论是否仍然成立？试说明理由．
●
●
●
●
议一议 若将直线 EF 绕点 O 旋转至下图 (3) 的位置，
上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
(1)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
(3)
(4)
●
O
D
C
B
A
E
F
(4)
●
●
●
●
再变一变
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等．
归纳总结
返回
【答案】A
返回
11．如图，已知 ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝45°，将△ABC沿着直线AC翻折，使点B的对应点B′落在原图所在平面上，连结B′D．若B′D＝2，则BO的长度为________．
12．如图， ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连结DE．
(1)求证：DE⊥BE．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
∵OB＝OE，∴OE＝OD，∠OBE＝∠OEB.
∴∠OED＝∠ODE.
∵∠OBE＋∠OEB＋∠ODE＋∠OED＝180°，
∴∠OEB＋∠OED＝90°.∴DE⊥BE.
(2)设CD与OE相交于点F，若OF2＋FD2＝OE2，CE＝3，DE＝4，求线段CF的长．
【解】由(1)知OE＝OD，
又∵OF2＋FD2＝OE2，
∴OF2＋FD2＝OD2.
∴△OFD为直角三角形，且∠OFD＝90°.
返回
13．如图， ABCD中，AC与BD交于点O，AF平分∠DAB，DE⊥AF，交AB于点E，交CB的延长线于点H，DP⊥ BC于点P，交AF于点G，连结OE．
(1)求证：AD＝FD；
【证明】∵AF平分∠DAB，∴∠DAF＝∠BAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD.
∴∠DFA＝∠BAF.∴∠DAF＝∠DFA.∴AD＝FD.
(2)若AD＝DP，探究BP，DG，CF之间的数量关系，并说明理由；
【解】DG＝CF＋BP.理由：∵AD＝DF，DE⊥AF，∴∠ADH＝∠HDC.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠ADH＝∠H，DF＝BC.
∴∠CDH＝∠H.∴CD＝CH.∴BH＝CF.
∵AD∥BC，DP⊥BC，∴∠ADP＝∠DPC＝∠DPH＝90°.∴∠ADE＋∠HDP＝90°.
∵DE⊥AF，∴∠DAG＋∠ADE＝90°.∴∠DAG＝∠HDP.
又∵AD＝DP，∴△ADG≌△DPH.
∴DG＝PH＝PB＋BH＝PB＋CF.
(3)记△COD的面积为S1，四边形OEBC的面积为S2，若AD＝mAB(0＜m＜1)，S2＝nS1，求m＋n的值．
【解】由(2)知∠ADH＝∠HDC，
∵AB∥DC，∴∠AED＝∠EDC.∴∠ADH＝∠AED. ∴AE＝AD.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.∴S△AOB＝S△COB＝S△COD＝S1.
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∵AD＝mAB(0＜m＜1)，∴AE＝mAB.
∴BE＝AB－AE＝(1－m)AB.
∴S△EOB＝(1－m)S△AOB＝(1－m)S1.
∴S2＝S△EOB＋S△COB＝(2－m)S1.
又∵S2＝nS1，∴n＝2－m，即m＋n＝2.
平行四
边形对角线的
性质
平行四边形对角线互相平分
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等.

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