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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件17.1第4课时平行四边形中周长与面积的相关计算第17章平行四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册17.1第4课时平行四边形中周长与面积的相关计算练习题核心知识点回顾：平行四边形周长=2×（邻边之和）；面积=底×高（注意：底与高必须对应，即高是底边上的垂线距离）；结合对角线、内角可进行周长与面积的综合计算（时长建议25-30分钟，总分100分）一、基础填空题（每题10分，共30分）1.在 ABCD中，AB=6cm，AD=4cm，高AE（AE⊥BC）=3cm，则 ABCD的周长为______cm，面积为______cm 。2.已知 ABCD的周长为32cm，其中一边长为10cm，这条边上的高为5cm，则该平行四边形的面积为______cm 。3.在 ABCD中，∠B=60°，AB=8cm，AD=6cm，则AD边上的高为______cm，平行四边形的面积为______cm 。二、选择题（每题10分，共30分）1.在 ABCD中，周长为40cm，AB=8cm，则BC的长和CD边上的高h的关系是（）- A. BC=12cm，面积=8h B. BC=12cm，面积=12h C. BC=12cm，面积=40h D. BC=8cm，面积=8h2.已知 ABCD的面积为48cm ，底AB=8cm，则AB边上的高为（）- A. 6cm B. 12cm C. 3cm D. 24cm3.在 ABCD中，邻边AB=5cm，AD=10cm，∠A=30°，则该平行四边形的面积为（）- A. 25cm B. 50cm C. 25√3 cm D. 50√3 cm 三、解答题（每题20分，共40分）1.在 ABCD中，已知周长为52cm，邻边AB与AD的比为5:8，求：（1）AB和AD的长；（2）若AD边上的高为4cm，求平行四边形的面积。2.如图，在 ABCD中，对角线AC=10cm，BD=8cm，AB=6cm，AD=8cm，求：（1） ABCD的周长；（2）AB边上的高（提示：可先判断△ABD的形状，再求高）。参考答案一、1. 20，12 2. 50 3. 4√3，24√3二、1. A 2. A 3. A三、1.（1）设AB=5x cm，AD=8x cm，由周长公式得2(5x+8x)=52，解得x=2，∴ AB=10cm，AD=16cm；（2）面积=AD×高=16×4=64cm 。2.（1）周长=2×(6+8)=28cm；（2）由勾股定理逆定理得△ABD为直角三角形，面积= ×6×8=24cm ，AB边上的高=24×2÷6=8cm。例1 如图，□ ABCD 的的对角线 AC 与 BD 相交于点O，其周长为 16，△AOB 的周长比△BOC 的周长小 2. 求边AB 和 BC 的长.
∴ AB = 3，BC = 5.
又∵△AOB 的周长+2 = △BOC的周长，
解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC(平行四边形的对角线互相平分).
又∵□ ABCD 的周长等于 16，
∴AB+OA+OB+2 = BC+OB+OC，即 AB+2 = BC.
∴2(AB+BC) = 16，即 4AB + 4 = 16.
平行四边形周长的计算
1
【变式题】如图，在平行四边形 ABCD 中，对角
线AC、BD 相交于点 O，平行四边形 ABCD 的周长是100 cm，△AOB 与△BOC 的周长的和是 122 cm，且AC : DB = 2 : 1，求 AC 和 BD 的长．
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD = BC，AB = CD，OB = OD，
∴AB+BC = 50.
∵△AOB 与△BOC 的周长的和是 122 cm，
∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，即AC+BD=122-50=72.
又∵AC:DB = 2:1，∴AC = 48 cm，BD = 24 cm．
练一练 1.如图，在□ABCD 中，AB = cm，AD = 4 cm，AC⊥BC，求△DBC 比△ABC 的周长长多少．
解：在□ABCD 中，∵AB = CD = cm，
AD = BC = 4 cm，AO = CO，BO = DO，
又∵AC⊥BC，∴AC = = 6 cm，
∴OC = 3 cm，∴BO = = 5 cm，
∴BD = 10 cm，
∴△DBC 的周长-△ABC的周长 = BC+CD+BD-（AB+BC+AC）= BD-AC = 10-6 = 4(cm).
【思考与反思】
1. 四边形 AEFD 与四边形 BEFC 的周长有何关系
证明：易得△DOF≌△BOE，
∴DF＝BE.
又∵ 在 □ ABCD 中，AB＝DC，
∴AB－BE＝DC－DF.∴ AE＝CF.
又∵在□ ABCD中，AD＝BC，
四边形 AEFD 的周长＝AE＋EF＋DF＋AD，
四边形 BEFC 的周长＝CF＋EF＋BE＋BC，
∴四边形 AEFB 与四边形 DEFC 的周长相等．
A
B
C
D
F
E
O
例2 如图，在□ ABCD 中，AC = 21，BE⊥AC，垂足为点E，且BE = 5 cm，AD = 7 cm. 求 AD 和 BC 之间的距离.
解 设 AD 和 BC 之间的距离为 x，
则□ ABCD 的面积等于 AD x.
A
B
C
D
E
∵S □ABCD = 2S△ABC = AC BE
∴AD x = AC BE， 即 7x = 21×5. ∴ x = 15 (cm)
即 AD 和 BC 之间的距离为 15 cm.
平行四边形面积的计算
2
A
B
C
D
O
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
根据勾股定理得
∴BC = AD = 8，CD = AB = 10.
是直角三角形.
又∵OA=OC，
例3　如图，在□ABCD中，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积．
典例精析
解：设 AB = x，则 BC = 24 - x.
根据平行四边形的面积公式可得
5x = 10 ( 24 - x )，解得 x = 16．
则平行四边形 ABCD 的面积为 5×16 = 80．
例4 如图，平行四边形 ABCD 中，DE⊥AB 于 E，DF⊥BC 于 F，若平行四边形 ABCD 的周长为 48，DE = 5，DF = 10，求平行四边形 ABCD 的面积.
归纳 已知平行四边形的高DE，DF，根据“等面积法”及平行四边形的性质列方程求解.
典例精析
问题 平行四边形的对角线分平行四边形 ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
解：相等.理由如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ADO 与△ODC 等底同高，
∴S△ADO=S△ODC.
同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB.
还可结合全等来证哟.
归纳 平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
∵AD∥BC，
∴∠NAO = ∠MCO，∠ANO = ∠CMO.
M
N
A
B
C
D
O
F
E
例5 如图，AC，BD 交于点 O，EF 过点 O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
解：设直线 EF 交 AD，BC 于点 N，M.
又∵AO = CO∴△NAO≌△MCO，
∴S四边形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB
=S△AOB+S△COB= .
∴S四边形ANMB=S四边形CMND.
即平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
典例精析
A
B
D
O
E
F
A
B
C
D
O
E
F
C
A
B
C
D
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E
F
思考 如图，AC，BD交于点O，EF 过点O，平行四边形ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等吗？
归纳 过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
同例 5 易求得平行四边形 ABCD 被 EF 所分的两个四边形面积相等.
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是边CD上一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，连结PC，PF．下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝PC．
其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【点拨】∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠CEB＝∠EBF.∴∠CBE＝∠EBF.∴BE平分∠CBF.故①正确；∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF.∴CF平分∠DCB.故②正确；∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB.∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF.
∴BF＝BC.故③正确；∵FB＝BC，CF⊥BE，∴点B一定在线段FC的垂直平分线上，又∵点P是EB延长线上一点，∴PE垂直平分线段FC.∴PF＝PC.故④正确．
【答案】D
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8
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12．已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连结AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．
(1)如图①，求证：△AED≌△EFB；
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠ADE＝∠EBF.
∵BC＝BE，∴AD＝BE.
又∵DE＝BF，∴△AED≌△EFB.
(2)如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中与∠BAE相等的四个角(∠BAE除外)．
【解】与∠BAE相等的四个角是∠BEA，∠DHC，∠DCH，∠EFC.
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【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB∥CD.∵AB＝AD，∴AB＝BC.又∵BE＝BC，∴AB＝BE.∴∠BEA＝∠BAE.∵CH∥AE，∴∠DHC＝∠BEA. ∴∠DHC＝∠BAE.∵AB∥CD，∴∠CDH＝∠ABE，∴∠DCH＝∠BAE.同(1)可得△AED≌△EFB，∴∠AED＝∠EFB，∴∠EFC＝∠AEB.∴∠EFC＝∠BAE.
13．分别以 ABCD(∠CDA≠90°)的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，得到△ABE，△CDG，△ADF．
(1)如图①，当三个等腰直角三角形都在
该平行四边形外部时，连结GF，EF．
请判断GF与EF的关系．
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴易知DG＝AE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠DAF＝∠BAE＝45°，∠AFD＝90°.
∴∠GDF＝∠GDC＋∠ADC＋∠ADF＝90°＋∠ADC，∠EAF＝360°－∠BAE－∠DAF－∠DAB＝270°－(180°－∠ADC)＝90°＋∠ADC. ∴∠GDF＝∠EAF.
(2)如图②，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连结GF，EF，(1)中结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【解】GF⊥EF，GF＝EF仍然成立．证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.
∴∠DAB＋∠ADC＝180°.
∵△ABE，△CDG，△ADF都是等腰直角三角形，
∴易知DG＝AE，DF＝AF，∠CDG＝∠ADF＝∠DAF＝∠BAE＝45°，∠AFD＝90°.
又∵∠BAE＋∠EAF＋∠DAF＋∠ADF＋∠FDC＝180°，
∴∠EAF＋∠CDF＝45°.
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平行四边形中周长与面积的相关计算
平行四边形的周长 =
平行四边形的面积

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