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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件17.2第2课时平行四边形的判定定理3第17章平行四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册17.2第2课时平行四边形的判定定理3练习题核心知识点回顾：判定定理3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（“平行”+“相等”缺一不可）；结合前两个判定定理，可进行简单判定、计算与证明（时长建议25-30分钟，总分100分）一、基础填空题（每题10分，共30分）1.在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD=6cm，则四边形ABCD是______，理由是______。2.已知四边形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，若四边形ABCD是平行四边形，则BC=______cm。3.在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=4cm，CD=______cm时，四边形ABCD是平行四边形（填一个合理数值）。二、选择题（每题10分，共30分）1.下列条件中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）2. A. AB∥CD，AD=BC B. AB∥CD，AB=CD C. AB=CD，AD=BC D. AB∥BC，AB=CD3.在四边形ABCD中，若AB∥CD，AB=5cm，CD=5cm，BC=3cm，则四边形ABCD的周长为（）4. A. 16cm B. 13cm C. 10cm D.无法确定5.下列说法错误的是（）6. A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形B.两组对边分别平行的四边形是平行四边形7. C.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形三、解答题（每题20分，共40分）1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，求证：四边形ABCD是平行四边形（要求运用判定定理3证明）。2.已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，E是AD的中点，求证：BE=CD（要求运用判定定理3和平行四边形性质证明）。参考答案一、1.平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2. 5 3. 4（答案唯一）二、1. B 2. A 3. C三、1.证明：∵四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。2.证明：∵ AD∥BC，AD=BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴ AD=BC，AB=CD（平行四边形对边相等）。∵ E是AD中点，∴ AE=ED= AD，又∵ AD=BC，∴ AE= BC，且AE∥BC，∴四边形ABCE是平行四边形，∴ BE=AC（平行四边形对边相等），综上，BE=CD。对角线互相平分的四边形是平行四边形
思考 由平行四边形的性质“平行四边形的两条对角线互相平分”，逆向思考，互换条件和结论，试写出它的逆命题，并且你认为它是真命题吗？
条件 结论
平行四边形的两条对角线互相平分
逆命题
一个四边形是平行四边形
这个四边形的两条对角线互相平分
一个四边形的两条对角线互相平分
这个四边形是平行四边形
1
试一试 如图，作一个两条对角线互相平分的四边形
1. 任意画两条相交直线 m 、n，记交点为 O；
2.以点 O 为中心，分别在直线 m、n 上截取 OB 与 OD 、OA 与 OC，使 OB = OD，OA= OC，顺次连结所得到的四点，
四边形 ABCD即为所要求作的四边形.
m
n
O
D
A
C
B
A
B
C
D
O
证一证 已知：四边形 ABCD 中，OA = OC，OB = OD.
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
证明：
在 △AOB 和 △COD 中，
OA = OC (已知)，
OB = OD (已知)，
∠AOB = ∠COD (对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD (SAS).
∴∠BAO = ∠OCD，∠ABO =∠CDO.
∴ AB∥CD，AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
平行四边形的判定定理 3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵AO = CO，DO = BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
B
O
D
A
C
归纳总结
例1 如图，在□ ABCD 中，点 E、F是对角线 AC 上的两点，且AE=CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
分析：连结 BD，交 AC 于点 O，
由四边形 ABCD 是平行四边形，
可得OB = OD.如果能证明OE = OF，
就可以根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得到四边形 BFDE 是平行四边形.
典例精析
证明：如图，连结 BD ，交 AC 于点 O .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ BO=DO，OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).
又∵ AE = CF ，
∴ OA - AE = CO - CF，即 OE = OF.
∴四边形 BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
例1 如图，在□ ABCD 中，点 E、F是对角线 AC 上的两点，且AE=CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
例2 如图，在□ ABCD 中，点 F、H 分别在边 AB、CD 上，且 BF = DH .求证：AC 和 HF 互相平分.
分析：因为 AC 和 HF 是四边形AFCH 的对角线，所以要证明 AC和 HF 互相平分，只需证明四边形 AFCH 是平行四边形.
典例精析
例2 如图，在 □ ABCD 中，点 F、H 分别在边 AB、CD 上，且 BF = DH . 求证：AC 和 HF 互相平分.
解：分别连结 AH、CF.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD (平行四边形的对边平行)，
AB=CD (平行四边形的对边相等).
又∵BF=DH，
∴AB - BF = CD - DH，即 AF=CH，
∴四边形 AFCH 是平行四边形
∴AC 和 HF 互相平分.
例3 如图，四边形 ABCD 中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
证明 ∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴ 2∠A + 2∠B = 360°，
即 ∠A+∠B=180°，
∴ AD∥BC.
同理得 AB∥ CD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
典例精析
两组对角分别
相等的四边形是平行四边形
1．综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图①～③是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(　　)
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
C
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2．如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，这些点可以构成的平行四边形有_______个.
4
【点拨】对图形进行标记如下：①顺次连结EF，FN，NM，ME，如图①，可得四边形EFNM为平行四边形；
②顺次连结AD，DB，BC，CA，如图②，可得四边形ADBC为平行四边形；
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③顺次连结ED，DN，NC，CE，如图③，可得四边形EDNC为平行四边形；④顺次连结AF，FB，BM，MA，如图④，可得四边形AFBM为平行四边形．综上，可得这些点可以构成4个平行四边形．
3．如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AD至点E，连结EO并延长交CB的延长线于点F，∠AEF＝∠CFE，AD＝BC．
(1)求证：O是线段AC的中点；
【证明】∵∠AEF＝∠CFE，∴AD∥BC.
∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AO＝CO.∴O是线段AC的中点．
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(2)连结AF，EC，求证：四边形AFCE是平行四边形．
4．在 ABCD中，O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现总结出甲、乙两种方案如下：
甲方案 乙方案
分别取AO，CO的中点E，F. 作BE⊥AC于点E，DF⊥
AC于点F．
选择其中一种你认为正确的方案进行证明．
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5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列几组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC；⑤∠A＝∠C，∠B＝∠D；⑥∠A＋∠B＝180°，∠A＋∠D＝180°．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件共有(　　)
A．3组 B．4组 C．5组 D．6组
C
6．[深圳期末]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD＝12，点E在线段BO上从点B出发，以每秒1个单位长度的速度运动，点F在线段OD上从点O出发，以每秒2个单位长度的速度运动．若点E，F同时出发，设运动时间为t秒，当t＝_____时，四边形AECF是平行四边形.
2
想一想 判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考 具体有哪些方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理 2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理 1）
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3)

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