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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件17.2第4课时三角形的中位线第17章平行四边形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册17.2第4课时三角形的中位线练习题核心知识点回顾：三角形中位线定义——连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；性质定理——三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半；注意区分三角形中位线与中线（时长建议25-30分钟，总分100分）一、基础填空题（每题10分，共30分）1.在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则DE是△ABC的______，DE∥______，DE=______BC。2.已知△ABC的中位线DE=5cm，则第三边BC=______cm；若BC=12cm，那么对应的中位线长为______cm。3.在△ABC中，AB=8cm，AC=10cm，D、E分别是AB、AC的中点，则DE的长为______cm，△ADE的周长比△ABC的周长少______cm。二、选择题（每题10分，共30分）1.下列说法正确的是（）- A.三角形的中位线是连接三角形顶点和对边中点的线段B.三角形的中位线平行于第三边且等于第三边- C.一个三角形有三条中位线D.三角形的中位线比第三边长2.在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，若△ABC的周长为36cm，则△DEF的周长为（）- A. 12cm B. 18cm C. 24cm D. 36cm3.已知三角形的一边长为10cm，该边上的中线长为6cm，则连接这个三角形另外两边中点的中位线长为（）- A. 5cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm三、解答题（每题20分，共40分）1.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，且DE= BC（要求结合平行四边形判定定理证明）。2.已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，AB=10cm，BC=14cm，AC=12cm，求：（1）DE、EF、DF的长；（2）四边形ADEF的周长。参考答案一、1.中位线，BC， 2. 10，6 3. 5，18二、1. C 2. B 3. A三、1.证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接CF。∵ E是AC中点，∴ AE=CE。在△ADE和△CFE中，AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CFE（SAS），∴ AD=CF，∠A=∠ECF，∴ AD∥CF。又∵ D是AB中点，∴ AD=BD，∴ BD=CF，且BD∥CF，∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），∴ DF∥BC，DF=BC。∵ DE= DF，∴ DE∥BC，且DE= BC。2.（1）∵ D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∴ DE= BC=7cm，EF= AB=5cm，DF= AC=6cm；（2）四边形ADEF的周长=AD+DE+EF+AF=5+7+5+6=23cm。三角形的中位线
例1 如图，已知□ ABCD ，延长边 AD 至点 F ，使 DF = DA . 连结 BF，交边 DC 于点 E .求证: EF = EB .
证明 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形
∴ DA CB
(平行四边形的对边平行且相等).
∴ ∠FDE=∠BCE，∠DFE=∠CBE
又∵ DA = DF
∴ DF = CB.
∥
=
1
在 △DFE 与 △CBE 中
∵∠FDE =∠BCE，DF = CB，
∠DFE =∠CBE .
∴ △DFE ≌ △CBE
∴ EF = EB.
思考 观察一下， DE 与 AB 两条线段在位置和长度上有何关系。
如图，点 D、E 分别是 △ABC 的两边 AC、BC 的中点，即 DE 是连结 △ABC 的两边中点的线段，连结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线.
知识要点
问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
有三条，如图，△ABC 的中位线是 DE、DF、EF.
问题2：如图，DE 是△ABC 的中位线，
DE 与 BC 有怎样的关系？
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分析：
DE与BC的关系
猜想：
DE∥BC
？
D
E
问题3：如何证明你的猜想？
例1 如图 △ABC 中，点 D 、E 分别是边 AB 和 AC 的中点. 求证：DE∥BC，DE BC .
∥
=
典例精析
平行
角
平行四边形
或
线段相等
一条线段是另一条线段的一半
倍长短线
分析：
D
E
证明：
延长 DE 到 F，使 EF = DE．
F
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠ADE =∠F，AD = CF.
连接 FC．
∵∠AED = ∠CEF，AE = CE，
证法：
∴ BD CF．
又∵ ，
∴ DF BC .
∴ DE∥BC， ．
∴ CF AD.
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.
用符号语言表示：
∵ DE 是 △ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，
D
E
概括
A
B
C
D
E
F
重要发现：
①中位线 DE、EF、DF 把△ABC分成四个全等的三角形；有三组共边的平行四边形，它们是四边形ADFE 和 BDEF，四边形 BFED 和 CFDE，四边形 ADFE 和 DFCE.
②顶点是中点的三角形，我们称之为中点三角形；中点三角形的周长是原三角形的周长的一半.面积等于原三角形面积的四分之一.
由此你知道怎样分蛋糕了吗
例2 证明三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分. 已知:如图，在△ABC 中，AD = DB，BF = FC，AE = EC . 求证: AF 与 DE 互相平分.
证明：如图，连结 DF 、EF.
∵ AD = DB，BF = FC，
∴ DF∥AC (三角形的中位线平行于第三边).
同理可得 ，EF∥BA .
∴ 四边形 ADFE 是平行四边形
(两组对边分别平行的四边形是平行四边形).
∴ AF 与 DE 互相平分.
典例精析
试一试 从定义、性质和相互联系等几方面比较三角形的中线与中位线两个概念.
三角形的中线 三角形的中位线
比较维度 三角形的高线 三角形的中位线
定义 连接三角形的一个顶点和它所对边的中点的线段 连接三角形两边中点的线段
性质 把三角形分成面积相等的两部分；三条中线交于一点(重心) 平行于第三边，且长度是第三边的一半
相互联系 均与“中点”有关，都是三角形中的重要线段，在三角形的周长、面积、全等证明等问题中都有应用. 例3 如图，在△ABC 中，D、E 分别为 AC、BC 的中点，AF 平分∠CAB，交 DE 于点 F. 若 DF＝3，求 AC 的长
解：∵ D、E 分别为 AC、BC 的中点，
∴ DE∥AB，
∴∠2＝∠3.
又∵ AF 平分∠CAB，
∴ ∠1＝∠3，
∴ ∠1＝∠2，
∴ AD＝DF＝3，
∴ AC＝2AD＝2DF＝6.
1
2
3
例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE.
证明：取 AC 的中点 F，连接 BF.
∵ BD＝AB，
∴ BF 为△ADC 的中位线，∴DC＝2BF.
∵ E 为 AB 的中点，AB＝AC，
∴ BE＝CF，∠ABC＝∠ACB.
∵ BC＝CB，∴ △EBC≌△FCB.
∴ CE＝BF. ∴ CD＝2CE.
F
构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键.
归纳
例4 如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA 中点．
求证：四边形 EFGH 是平行四边形．
四边形问题
连接对角线
三角形问题
（三角形中位线定理）
三角形的中位线与平行四边形的综合运用
分析：
2
证明：连接 AC.
∵ E，F，G，H 分别为各边的中点，
∴ EF∥HG， EF = HG.
∴ EF∥AC，
HG∥AC，
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形.
顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.
归纳
证明：∵ D、E 分别为 AB、AC 的中点，
∴ DE 为△ABC 的中位线，
∴ DE∥BC，DE = BC.
∵ CF = BC，
∴ DE = FC．
例5 如图，等边△ABC 的边长是 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CF = BC，连接 CD 和 EF．
(1) 求证：DE = CF；
(2) 求 EF 的长.
解：∵ DE∥FC，DE = FC，
∴四边形 DEFC 是平行四边形，
∴ DC = EF，
∵ D 为 AB 的中点，等边△ABC 的边长是 2，
∴ AD = BD = 1，CD⊥AB，BC = 2，
∴ EF = DC = ．
返回
C
返回
2．[广东中考]如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝(　　)
A．20°
B．40°
C．70°
D．110°
C
返回
3．如图，在△ABC中，AB＝BC＝14，BD是AC边上的高，垂足为D，点F在边BC上，连结AF，E为AF的中点，连结DE，若DE＝5，则BF的长为________．
4
4．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，DB＝4，AC＝6，点E，F分别为AB，CD的中点，则EF＝________．
返回
5．如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，则∠ADC的度数为________．
140°
返回
【点拨】连结BD.∵E，F分别是边AB，AD的中点，EF＝6，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12.∴∠ADB＝∠AFE＝50°.∵在△BDC中，BD2＋CD2＝122＋92＝225＝BC2，∴∠BDC＝90°.∴∠ADC＝90°＋50°＝140°.
6．如图所示，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，点H在线段CE上，连结BH，点G，F分别为BH，CH的中点．
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
返回
(2)若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长度．
7．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为DM，MN的中点，则EF的长度可能为(　　)
A．2 B．5
C．7 D．9
返回
【答案】B
8．[无锡期中]如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，将△ABE沿AE进行折叠，点B落在点F处，连结CF，若AE＝AB＝9，BC＝12，则CF的长等于________．
4
【点拨】如图，连结BF交AE于点G，由折叠的性质可知，AE垂直平分BF，∴∠BGA＝∠BGE＝90°，点G为BF的中点.
返回
9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连结DE，点M，N分别是AC，DE的中点，连结MN，则MN的长度为________．
【点拨】如图，过点C作CG∥AD，连结DM并延长交CG于点G，连结EG，∴∠GCM＝∠A.∵点M是AC的中点，∴CM＝AM.
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三角形的中位线
三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半
三角形的中位线定理
三角形的中位线定理的应用

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