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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件18.1.1矩形的性质第18章矩形、菱形与正方形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册18.1.1矩形的性质一、核心知识点梳理（衔接旧知，突破重点）（一）回顾与衔接上一章我们学行四边形的性质与判定，知道平行四边形是两组对边分别平行的四边形，具有对边相等、对角相等、对角线互相平分的性质。本节课我们将学习一种特殊的平行四边形——矩形，矩形是日常生活中最常见的图形（如课本、黑板、门窗等），它既具备平行四边形的所有性质，又有自身独特的性质，核心是“平行四边形+一个直角”的特殊形态。（二）矩形的定义（核心基础）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。关键要点：①矩形是特殊的平行四边形，必须满足两个条件：一是“平行四边形”（两组对边分别平行），二是“有一个角是直角”；②矩形具有平行四边形的所有性质，同时拥有自身独有的性质；③矩形是轴对称图形，有两条对称轴（过对边中点的直线），也是中心对称图形（对角线的交点是对称中心）。（三）矩形的性质（核心重点，分两类掌握）1.矩形的一般性质（继承平行四边形的性质）因为矩形是特殊的平行四边形，所以平行四边形的所有性质，矩形都具备：1.边：对边平行且相等。即：在矩形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC；2.角：对角相等，邻角互补。即：在矩形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°（以此类推）；3.对角线：互相平分。即：在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则AO=CO，BO=DO。2.矩形的特殊性质（独有的核心性质）矩形区别于一般平行四边形的关键的是“有一个角是直角”，由此推导得出两个独有的性质，也是本节课的重点和难点：1.特殊性质1（角）：矩形的四个角都是直角。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°（定义），又∵平行四边形对角相等，邻角互补，∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。2.特殊性质2（对角线）：矩形的对角线相等。证明：∵四边形ABCD是矩形，∴ AB=CD，AD=BC，∠BAD=∠CDA=90°，在△BAD和△CDA中，AB=CD，∠BAD=∠CDA，AD=DA，∴△BAD≌△CDA（SAS），∴ BD=AC，即矩形的对角线相等。3.补充性质（易错重点）由矩形的对角线互相平分且相等，可推出：矩形的对角线相交于点O，则AO=BO=CO=DO（即对角线的一半相等）。这一性质常用来求矩形的对角线长度、边长，或证明线段相等。（四）矩形性质的应用要点1.求边长、对角线：结合矩形的边、对角线性质，可利用勾股定理（矩形的一个角是直角，相邻两边与对角线构成直角三角形）求解；2.证明线段相等、角度相等：优先利用矩形的特殊性质（对角线相等、四个角为直角），再结合平行四边形的性质；3.注意区分：矩形的对角线相等，但对角线相等的平行四边形才是矩形（后续会学判定），普通平行四边形的对角线不相等。（五）易错点汇总1.混淆矩形与平行四边形的性质：忽略矩形是特殊的平行四边形，误将矩形的特殊性质（对角线相等、四个角是直角）当作所有平行四边形的性质；2.误用对角线性质：认为“平行四边形的对角线相等”（错误，只有矩形、正方形等特殊平行四边形对角线才相等）；3.计算时遗漏勾股定理的应用：矩形的对角线与相邻两边构成直角三角形，求对角线或边长时，忘记用勾股定理计算。二、典型练习题（贴合课时，巩固应用）时长建议20-25分钟，总分100分，兼顾基础与简单应用，聚焦矩形核心性质。一、基础填空题（每题10分，共30分）1.矩形是特殊的______，它的四个角都是______，对角线______。2.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=3cm，则AC=______cm，BD=______cm，BO=______cm。3.已知矩形的长为8cm，宽为6cm，则它的对角线长为______cm，周长为______cm。二、选择题（每题10分，共30分）1.下列关于矩形性质的说法，错误的是（）- A.矩形的对边平行且相等B.矩形的四个角都是直角C.矩形的对角线互相垂直D.矩形的对角线相等2.在矩形ABCD中，对角线AC=10cm，AB=6cm，则AD的长为（）- A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm3.矩形的对角线相交于点O，若△AOB是等边三角形，且AB=4cm，则矩形的对角线长为（）- A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm三、解答题（每题20分，共40分）1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，求证：AO=BO=CO=DO。2.已知矩形ABCD的周长为28cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长少4cm，求矩形的长和宽。参考答案一、1.平行四边形，直角，相等2. 6，6，3 3. 10，28二、1. C 2. C 3. C三、1.证明：∵四边形ABCD是矩形，∴对角线AC=BD（矩形对角线相等），且AC、BD互相平分（平行四边形对角线互相平分），即AO=CO= AC，BO=DO= BD，∴ AO=BO=CO=DO。2.解：设矩形的长为AB=x cm，宽为BC=y cm，由周长公式得2(x+y)=28，即x+y=14；∵△AOB的周长=AO+BO+AB，△BOC的周长=BO+CO+BC，且AO=CO，∴△BOC的周长-△AOB的周长=BC-AB=4，即y-x=-4（或x-y=4）；联立方程组解得x=9，y=5，∴矩形的长为9cm，宽为5cm。思考 长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
长方形
（也叫矩形）
活动1 利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
矩形的性质
1
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形；
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，
也叫做长方形.
平行四边形不一定是矩形.
概括
思考 因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的一般性质；由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
可以从边，角，对角线等方面来考虑.
活动2 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边的长度、四个角的度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果.
A
B
C
D
O
AB AD AC BD ∠BAD ∠ADC ∠AOD ∠AOB
橡皮擦
课本
桌子
物体
测量
（实物）
（形象图）
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？
猜想1 矩形的四个角都是直角.
猜想2 矩形的对角线相等.
你能证明吗？
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC.
∴∠B +∠C = 180°.
又∵∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
(1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°.
求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°.
A
B
C
D
【猜想证明】
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°.
在 △ABC 和 △DCB 中，
∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，
∴△ABC≌△DCB.
∴ AC = DB.
A
B
C
D
O
(2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB.
几何语言描述：
在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
A
B
C
D
O
概括
矩形的性质定理 1 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理 2 矩形的对角线相等.
例1 如图 ，矩形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果这四个小三角形周长的和是 86 cm，矩形的对角线长是 13 cm，那么该矩形的周长是多少
A
B
C
D
O
解：∵ △AOB、△BOC、△COD
和△AOD 这四个小三角形周长
的和为 86 cm，
∴ AB + BC + CD + DA + 2(OA + ОB + OC + OD)
= AB + BC + CD + DA + 2(AC + BD) = 86.
典例精析
又∵ AC = BD =13 (矩形的对角线相等)，
∴ AB + BC + CD + DA = 86 - 2(AC + BD)
= 86 - 4×13 = 34 (cm)
即该矩形的周长是 34 cm
A
B
C
D
O
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于
点 O，下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
练一练
例2 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 3 ，BC = 4，BE⊥AC，垂足为点 E .求 BE 的长
∴ BE = = = 2.4.
典例精析
解：在矩形 ABCD 中，∠ABC = 90°，
AC = 5.
又∵ S△ABC =
2. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的______.
　　　　　　　　　　　　　
例3 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AE 垂直且平分线段 BO，垂足为点 E ，BD = 15 cm. 求 AC、AB 的长.
∵ AE 垂直平分 BO .
∴ AB = AO = 7.5 .
即 AC 的长为 15 cm，AB 的长为 7.5 cm.
典例精析
解 ∵ 四边形 ABCD 是矩形.
∴ AC = BD = 15 (矩形的对角线相等).
∴ AO = AC = 7.5.
思考 矩形是不是中心对称图形 如果是，那么对称中心是什么？
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
由于矩形是平行四边形，因此
O
做一做 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考. 矩形是不是轴对称图形 如果是，那么对称轴有几条
矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴为通过对边中点的直线.
返回
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　)
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线相等 D．对角线相互平分
C
返回
2．在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，下列结论正确的有(　　)
①AC＝13； 　 ②∠A＋∠C＝180°；
③AC⊥BD； 　 ④AC＝BD．
A．①②③ B．①②④
C．②③④ D．①③④
B
返回
D
返回
4．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，∠ADE∶ ∠CDE＝1∶2，那么∠BDC的度数为________．
30°
返回
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F．若BC＝3，CD＝2，则图中阴影部分的面积为________．
3
6．[烟台中考]如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法，保留作图痕迹)；
【解】如图①，△BED即为所
求作的三角形．
(2)在(1)的条件下，若BE交AD于点F，AB＝1，BC＝2，求AF的长．
【解】如图②，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，CD＝AB＝1，
AD∥BC，∠A＝90°.
∴∠ADB＝∠CBD.
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7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD＝3，AB＝4，E是CD边上一点，过点E作EH⊥BD于点H，EG⊥AC于点G，则EH＋EG的值是(　　)
A．2.4
B．2.5
C．3
D．4
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【答案】A
返回
【答案】D
9．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴、y轴上，连结AC，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在点D的位置，AD与y轴交于点E，若B(2，4)，则OE的长为________．
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
对称轴为通过对边中点的直线
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

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