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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件
18.1.2 第1课时 矩形的判定
第18章 矩形、菱形与正方形
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班 级： 八年级（---）班 .
时 间： .
华东师大版数学八年级下册 18.1.2 第1课时 矩形的判定
一、核心知识点梳理（衔接旧知，突破重点）
（一）回顾与衔接
上一课时我们学习了矩形的性质，知道矩形是特殊的平行四边形，具有“四个角都是直角、对角线相等”的特殊性质，同时继承了平行四边形的所有性质。本节课我们将学习矩形的判定方法——与性质相反，判定是“已知条件，推导出四边形是矩形”，核心思路是“利用平行四边形的判定+直角/对角线相等”，或直接利用直角条件判定，重点区分“性质”与“判定”的逻辑关系。
（二）矩形的判定定理（核心重点，3个定理，分层掌握）
矩形的判定围绕“平行四边形+特殊条件”或“直接由直角构成”展开，3个定理需牢记条件、熟练证明，避免与性质混淆。
1. 判定定理1（定义法，最基础）
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
核心条件：① 四边形是平行四边形（两组对边分别平行/相等，或对角线互相平分）；② 有一个角是直角（90°）。
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°（平行四边形性质），又∵ ∠A=90°，∴ ∠B=∠C=∠D=90°，∴ 四边形ABCD是矩形（矩形定义）。
易错提醒：必须先证明四边形是平行四边形，再说明有一个角是直角，不能直接说“有一个角是直角的四边形是矩形”（如直角梯形，有一个直角但不是矩形）。
2. 判定定理2（对角线法，常用）
对角线相等的平行四边形是矩形。
核心条件：① 四边形是平行四边形；② 两条对角线相等。
证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=CO，BO=DO（平行四边形对角线互相平分），又∵ AC=BD，∴ AO=BO=CO=DO，∴ ∠OAB=∠OBA，∠OBC=∠OCB，∵ ∠OAB+∠OBA+∠OBC+∠OCB=180°，∴ 2(∠OBA+∠OBC)=180°，即∠ABC=90°，∴ 四边形ABCD是矩形（判定定理1）。
易错提醒：“对角线相等的四边形是矩形”是错误的（如等腰梯形，对角线相等但不是矩形），必须加上“平行四边形”这个前提。
3. 判定定理3（直角法，直接判定）
有三个角是直角的四边形是矩形。
核心条件：四边形的三个角都是直角（90°）。
证明：∵ 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴ ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∴ AD∥BC，AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴ 四边形ABCD是平行四边形，又∵ ∠A=90°，∴ 四边形ABCD是矩形（判定定理1）。
补充：四个角都是直角的四边形是矩形（由判定定理3可直接推出，本质一致）。
（三）矩形判定的应用要点
1. 选择判定方法的技巧：① 已知四边形是平行四边形，优先用判定定理1（加直角）或判定定理2（加对角线相等）；② 已知四边形有直角，优先用判定定理3（三个直角），或先证平行四边形再用判定定理1；
2. 证明逻辑：先明确判定定理的条件，再逐步推导（如证平行四边形→加条件→证矩形）；
3. 与性质的区别：性质是“∵ 矩形，∴ 有XX结论”；判定是“∵ 有XX条件，∴ 是矩形”，不可混淆使用。
（四）易错点汇总
1. 遗漏判定前提：如误用“对角线相等的四边形是矩形”“有一个角是直角的四边形是矩形”，忽略“平行四边形”的前提；
2. 混淆性质与判定：用矩形的性质当作判定条件（如“∵ 四边形对角线相等，且四个角是直角，∴ 是矩形”，多余“四个角是直角”，对角线相等+平行四边形即可）；
3. 证明不完整：如用判定定理1时，未先证明四边形是平行四边形，直接说“有一个角是直角，所以是矩形”。
二、典型练习题（贴合课时，巩固应用）
时长建议20-25分钟，总分100分，兼顾基础与简单证明，聚焦矩形3个判定定理的应用。
一、基础填空题（每题10分，共30分）
1. 有一个角是______的平行四边形是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形。
2. 在?ABCD中，若∠A=90°，则?ABCD是______，理由是______。
3. 已知?ABCD的对角线AC=BD=10cm，则?ABCD是______，理由是______。
二、选择题（每题10分，共30分）
1. 下列条件中，不能判定四边形ABCD是矩形的是（ ）

- A. ?ABCD中，∠A=90° B. 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90° C. 四边形ABCD中，AC=BD D. ?ABCD中，AC=BD
2. 在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=BO，则?ABCD是（ ）

- A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 无法确定
3. 下列说法正确的是（ ）

- A. 有两个角是直角的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 平行四边形一定是矩形 D. 矩形的对角线互相垂直
三、解答题（每题20分，共40分）
1. 如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，求证：四边形ABCD是矩形（要求运用判定定理2证明）。
2. 已知：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形（要求运用判定定理3证明）。
参考答案
一、1. 直角，相等，三 2. 矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形 3. 矩形，对角线相等的平行四边形是矩形
二、1. C 2. B 3. B
三、1. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知），∴ 对角线AC、BD互相平分（平行四边形对角线互相平分），又∵ AC=BD（已知），∴ 平行四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
2. 证明：∵ 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°（已知），∴ ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°（直角为90°，两角和为180°），∴ AD∥BC，AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），∴ 四边形ABCD是平行四边形，又∵ ∠A=90°，∴ 四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。
类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法，那么矩形的定义也是判定矩形的一种方法吗
问题1 除了定义以外，判定矩形的方法还有没有呢？
类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立.
矩形是特殊的平行四边形.
有三个角是直角的四边形是矩形
1
问题1 上节课我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角是直角的四边形是矩形.
成立.
问题2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？
A
B
D
C
(有一个角是直角)
A
B
D
C
(有两个角是直角)
A
B
D
C
(有三个角是直角)
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
试一试 如图，作一个三个角都是直角的四边形.
1. 任意作两条互相垂直的线段 AB、AD；
2. 过点 B 作垂直于 AB 的直线 l；
3. 过点 D 作垂直于 AD 的直线m，交 l 于点 C，即得一个三个角都是直角的四边形 ABCD .
A
B
D
l
m
C
观察你所作的图形，它是一个矩形吗 ?
已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B =∠C = 90°.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明：∵ ∠A =∠B =∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 180°，∠B +∠C = 180°.
∴ AD∥BC，AB∥CD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
【证明猜想】
矩形的判定定理 1：
有三个角是直角的四边形是矩形.
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，∵∠A =∠B =∠C = 90°，
∴ 四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
概括
思考1 一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？
有三个角是直角的四边形是矩形.
例1 如图，□?ABCD 的四个内角的平分线分别相交于 E、F、G、H，求证：四边形 EFGH 为矩形．
证明：在□?ABCD 中，AD∥BC，
∴∠DAB +∠ABC = 180°.
∵ AE 与 BG 分别为∠DAB、
∠ABC 的平分线，
A
B
D
C
H
E
F
G
∴ 四边形 EFGH 为矩形．
同理可得∠FEH =∠EHG = 90°，
∴∠AFB = 90°.
∴∠GFE = 90°.
∴∠BAF +∠ABF = ∠DAB + ∠ABC = 90°.
典例精析
1. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中合理的是 （　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
【练一练】
问题3 上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
思考 你能证明这一猜想吗？
我猜想：对角线相等的四边形是矩形.
不对，等腰梯形的对角线也相等.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
对角线相等的平行四边形是矩形
2
试一试 如图 ，作一个对角线相等的平行四边形
(1) 任意作两条相交的直线，交点记为 O；
(2) 以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段 OA、OB、OC、OD；
(3) 顺次连结所得的四点.
四边形 ABCD 的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四
边形.
B
A
C
D
O
这个平行四边形是不是矩形 ?
【证明猜想】
已知：如图，在□ABCD中，AC，DB 是它的两条对角线，且 AC = DB. 求证：□ ABCD 是矩形.
A
B
C
D
证明：∵ AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
矩形的判定定理 2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形 ABCD 中，∵ AC = BD，
∴平行四边形 ABCD 是矩形.
A
D
C
B
概括
思考2 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，其中一种方法就是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线的长相等，那么窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2 如图，点 O 是矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，E、F、G、H 分别是 AO、BO、CO、DO 上的一点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
A
B
D
C
O
E
H
G
F
分析 根据已知条件，我们可以先证明四边形 EFGH 是平行四边形，再证明对角线EG 和 FH 相等，即可得证.
典例精析
证明 ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴ OE = OF = OG = OH.
∵ AE = BF = CG = DH，
∴ 四边形EFGH是平行四边形.
∵ EO+OG = FO+OH，∴EG = FH，
∴四边形EFGH是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
A
B
D
C
O
E
H
G
F
∴ AC = BD；
∴ AO = CO = ???????? AC，BO = DO = ????????BD.
?
例3 如图，四边形 ABCD 是由两个全等的正三角形ABD 和 BCD 组成的 ，M、N 分别为 BC、AD 的中点.
求证：四边形 BMDN 是矩形.
分析：由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，
已有两个角是直角，只需再证明另一个
角也是直角即可得到它是一个矩形.
典例精析
∵△ABD 和 △BCD 是全等的正三角形，
∴∠ADB =∠CDB = 60°.
又∵ M、N 分别为 BC、AD 的中点，
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM = ????????∠BDC = 30°，
?
∴∠DNB =∠DMB = 90°，
∠MDN =∠ADB +∠BDM = 90°，
∴四边形 BMDN 是矩形 (有三个角是直角的四边形是矩形).
例4 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC，垂足为点 D，AG 是△ABC 的外角∠FAC 的平分线，DE∥AB，交 AG 于点 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
分析 根据已知条件 AB = AC，我们可以先通过证明四边形 ABDE 是平行四边形，得到 DE = AB = AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理.
典例精析
证明 ∵ AB = AC，AD⊥BC，
∴∠B = ∠ACB，BD = DC.
∴∠FAE = ∠CAF = (∠B+∠ACB) = ∠B，
又∵AE 是△ABC 的外角∠CAF 的平分线，
∴ AE∥BC. 又∵AB∥DE，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形.
∴ AE = BD，AB = DE，
∴ AC = DE，AE = DC.
又∵ AE∥DC，∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
∴四边形ADCE是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
【练一练】
2. 如图，在□ ABCD 中，AC 和 BD 相交于点 O，则下面条件能判定 □ ABCD 是矩形的是 （　　）
A．AC = BD B．AC = BC
C．AD = BC D．AB = AD
A
A
D
C
B
O
3. 如图，□ABCD 中，∠1 = ∠2，此时四边形 ABCD 是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形 ABCD 是矩形.
理由如下：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AO = CO，DO = BO.
又∵∠1 = ∠2，
∴ AO = BO. ∴ AC = BD.
∴ □ ABCD 是矩形.
返回
1．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是(　　)
A
返回
2．如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD应具备的条件是(　　)
A．一组对边平行而另一组对边不平行
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．对角线互相平分
C
返回
3．如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，对于下列条件：①AB＝BE；②CE⊥DE；③∠ADB＝90°；④BE⊥DC．不能判定四边形DBCE为矩形的个数是(　　)
A．4 B．3
C．2 D．1
D
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4．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE，BF．当∠ACB＝________时，四边形ABFE为矩形．
60°
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为________．
4.8
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6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
(1)求证：FA＝BD；
【证明】∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE.
又∵E为AD的中点，∴AE＝DE.
∴△AEF≌△DEC.∴AF＝DC.
又∵D为BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝BD.
返回
(2)连结BF，若AB＝AC，求证：四边形ADBF是矩形．
【证明】∵AF＝BD，AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形．
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADB＝90°.
∴四边形ADBF是矩形．
返回
【答案】A
8．[西安高新区模拟]如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为(0，8)，(－6，0)，P为线段AO上的一动点，以PB，PA为边构造平行四边形APBQ，则使对角线PQ的值最小的点Q的坐标为(　　)
A．(－3，4)
B．(－4，3)
C．(－6，4)
D．(－6，3)
【答案】C
返回
9．如图，将矩形ABCD的四个角向内翻折后，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，EH＝6，EF＝8，下列结论：①∠HEF＝90°；②△AEH≌△CGF；③AD＝HF；④FE＝2AE；⑤AB＝9.6．其中正确的结论是__________(填序号)．
①②③⑤
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10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，动点E以每秒1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运动，动点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C出发沿CA方向运动，若AC＝12，BD＝8，则经过____________秒后，四边形BEDF是矩形．
2或10
返回
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理

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