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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件18.1.2第2课时直角三角形斜边上的中线的性质第18章矩形、菱形与正方形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册18.1.2第2课时直角三角形斜边上的中线的性质一、核心知识点梳理（衔接旧知，突破重点）（一）回顾与衔接上一课时我们学习了矩形的判定定理，知道“对角线相等的平行四边形是矩形”“有三个角是直角的四边形是矩形”。本节课我们将利用矩形的性质与判定，推导一个重要的几何结论——直角三角形斜边上的中线的性质，这一性质是直角三角形特有的性质，常用来解决线段相等、角度计算、证明等问题，也是后续几何学习的重要基础。（二）直角三角形斜边上的中线的性质（核心重点）1.性质定理（核心结论）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。几何语言表示：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，则CD= AB（或AD=BD=CD）。关键要点：①适用条件：仅针对直角三角形（必须有一个角是90°）；②中线的位置：斜边上的中线（连接直角顶点与斜边中点的线段）；③结论：中线长度是斜边的一半，且中线将直角三角形分成两个等腰三角形（△ACD和△BCD都是等腰三角形）。2.性质证明（结合矩形判定，逻辑严谨）证明：延长CD至点E，使DE=CD，连接AE、BE。∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴ AD=BD（中线定义）。在△ACD和△BED中，AD=BD，∠ADC=∠BDE（对顶角相等），CD=DE，∴△ACD≌△BED（SAS）。∴ AC=BE，∠ACD=∠BED，∴ AC∥BE（内错角相等，两直线平行）。∵ ∠ACB=90°，∴ ∠CBE=∠ACB=90°（两直线平行，同旁内角互补），∴ ∠ACB=∠CBE=90°。∴四边形ACBE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵ ∠ACB=90°，∴四边形ACBE是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。∴ AB=CE（矩形的对角线相等），又∵ CD= CE，∴ CD= AB（等量代换）。3.性质的逆用（拓展应用，辅助判定直角三角形）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。几何语言表示：在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD= AB，则△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°。说明：逆用性质可快速判定直角三角形，无需再通过角度计算或勾股定理验证，简化证明过程。（三）性质的应用要点1.求线段长度：已知直角三角形斜边长度，可直接求斜边上中线的长度；反之，已知斜边上中线长度，可求斜边长度；2.证明线段相等：利用“斜边上的中线等于斜边的一半”，证明直角三角形中两条线段相等（如中线与斜边的一半、两条腰相等）；3.角度计算：结合等腰三角形性质（等边对等角），由中线与斜边的一半相等，推导相关角的度数；4.易错提醒：性质仅适用于直角三角形，锐角三角形、钝角三角形斜边上的中线不等于斜边的一半。（四）易错点汇总1.适用范围错误：将直角三角形斜边上的中线性质，误用在锐角三角形、钝角三角形中；2.概念混淆：混淆“斜边上的中线”与“直角边上的中线”，直角边上的中线不具备“等于斜边一半”的性质；3.证明不完整：运用性质时，未先说明“三角形是直角三角形”“线段是斜边上的中线”，直接得出线段相等的结论；4.逆用错误：忽略逆用性质的条件，误将“三角形一边上的中线等于这边的一半”当作所有三角形的性质。二、典型练习题（贴合课时，巩固应用）时长建议20-25分钟，总分100分，兼顾基础与简单证明，聚焦直角三角形斜边上的中线性质的应用。一、基础填空题（每题10分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线，若AB=10cm，则CD=______cm。2.已知Rt△ABC中，斜边上的中线长为6cm，则斜边AB的长为______cm；若∠A=30°，则BC=______cm（提示：30°角所对的直角边等于斜边的一半）。3.在△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD= AB，则△ABC是______三角形，理由是______。二、选择题（每题10分，共30分）1.下列说法正确的是（）- A.所有三角形斜边上的中线都等于斜边的一半B.直角三角形斜边上的中线等于直角边的一半- C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D.钝角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的中线，若CD=5cm，AC=6cm，则BC的长为（）- A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm3.在△ABC中，AB=8cm，CD是AB边上的中线，且CD=4cm，则下列说法正确的是（）- A. ∠A=90°B. ∠B=90°C. ∠C=90°D.△ABC是等边三角形三、解答题（每题20分，共40分）1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，求证：AD=CD=BD（要求运用本节课性质证明）。2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AB的中点，E是AC的中点，求证：DE∥BC，且DE= BC（提示：结合直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线性质）。参考答案一、1. 5 2. 12，6 3.直角，一个三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形二、1. C 2. C 3. C三、1.证明：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线（已知），∴ CD= AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。又∵ D是AB的中点，∴ AD=BD= AB（中线定义），∴ AD=CD=BD（等量代换）。2.证明：∵△ABC是直角三角形，∠C=90°，D是AB的中点，∴ CD= AB=AD（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。∵ E是AC的中点，∴ DE是△ACD的中位线（三角形中位线定义），∴ DE∥BC，且DE= CD（三角形中位线性质）。又∵ CD= BC？修正：∵ CD= AB，且在Rt△ABC中，∠C=90°，E、D分别是AC、AB中点，∴ DE是△ABC的中位线，∴ DE∥BC，且DE= BC（三角形中位线性质）。思考 如图①所示，在矩形 ABCD 中，AC = BD，
AO = OC，BO = OD. 若擦去半个矩形，如图 ②，
BO 即Rt△ ABC 斜边 AC 上的中线，由此，你能发现 BO 与斜边 AC 的关系吗
A
B
C
D
O
A
B
C
O
①
②
直角三角形斜边上的中线的性质
1
证明：如图，延长 BO 至点 D，
使 OD = OB，连结 AD 和 CD.
在四边形 ABCD 中，
∵ OA = OC，OB = OD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
又 ∵∠ABC = 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形.
从而 AC = BD ，BO = BD = AC .
例1 如图 ，在 Rt△ ABC 中，BO 为斜边 AC 上的中线，求证：
A
B
C
O
典例精析
D
直角三角形的性质：
定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
概括
几何语言描述：
A
B
C
O
∵ BO 是 Rt△ABC 斜边 AC 上的中线
∴ BO = AC
例2 如图，在△ABC 中，AD 是高，E、F 分别是AB、AC 的中点．
(1) 若AB＝10，AC＝8，求四边形 AEDF 的周长；
解：∵AD 是 △ABC 的高，
E、F 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE＝AE＝ AB＝ ×10＝5，
DF＝AF＝ AC＝ ×8＝4，
∴四边形AEDF的周长：
AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 .
典例精析
(2) 求证：EF 垂直平分 AD .
证明：∵DE＝AE，DF＝AF，
∴E、F 在线段 AD 的垂直平分线上，
∴ EF 垂直平分 AD .
归纳 当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
例3 如图，已知 BD ，CE 是△ ABC 不同边上的高，点 G，F 分别是 BC，DE 的中点，试说明 GF⊥DE .
解：连接 EG，DG .
∵BD，CE 是 △ABC 的高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点 G 是 BC 的中点，
∴EG ＝ BC，DG＝ BC.
∴EG ＝ DG.
又∵点 F 是 DE 的中点，∴ GF⊥DE.
典例精析
在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质解题．
方法归纳
【练一练】
1. 如图，在 △ABC 中，∠ABC = 90°，BD 是斜边 AC 上的中线.
(1) 若 BD = 3 cm，则 AC =_____cm;
(2) 若∠C = 30°，AB = 5cm，则 AC =_____cm，BD =_____cm.
A
B
C
D
6
10
5
试一试 写出上述结论的逆命题，观察下图，试判断该逆命题是否成立.
A
B
C
D
原命题
逆命题
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
分析 图中，CD = AD = BD .即边 AB 上的中线 CD 将整个三角形分成了两个等腰三角形利用等腰三角形两底角相等的性质，容易证明∠ACD 与∠BCD 的和为 90°，即该三角形确实是一个直角三角形.
A
B
C
D
【命题证明】
如图 ，在△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的中线，AB = 2CD ，求证：△ABC 为直角三角形 .
A
B
C
D
证明：∵CD 是 AB 中线，∴ AD = BD = AB .
又∵AB = 2CD，
∵ AD = CD，BD = CD，
∴ ∠A =∠ACD ，∠B =∠BCD .
故 CD = AB， 即 AD = BD = CD.
在 △ABC 中，∠A+∠B+∠ACB = 180°，
且∠ACB =∠ACD +∠BCD ，
∴∠A +∠B +∠ACD +∠BCD = 180°，
∴2∠ACD + 2∠BCD =180°，即∠ACD +∠BCD = 90°.
∴ ∠ACB = 90°，即 △ABC 为直角三角形.
一个三角形一边上的中线等于
该边的一半，那么这个三角形是一
个直角三角形.
概括
几何语言描述：
∵ BD 是 △ABC 斜边 AC 上的中线，BO = AC
∴ △ABC 为直角三角形.
A
B
C
D
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1．如图，在平面直角坐标系中，∠AOB＝90°，∠AOB内一个动点P到这个角两边的距离之和为5，则图中四边形AOBP的周长是(　　)
A．5　　
B．10　　
C．20　　
D．无法确定
B
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2．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝55°，则∠OCD的度数为(　　)
A．35°
B．40°
C．45°
D．50°
A
3．[陕西中考]如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有(　　)
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个
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【点拨】∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－90°－20°＝70°.∵CD为AB边上的中线，∴CD＝AD＝BD.∴∠DCA＝∠A＝20°，∠DCB＝∠B＝70°.∵DE⊥AC，∴∠CDE＝180°－90°－∠DCA＝70°，∠ADE＝180°－90°－∠A＝70°.∴图中与∠A互余的角是∠B，∠DCB，∠CDE，∠ADE，共有4个．
【答案】C
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4．如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件________时，四边形PEMF为矩形．
5．小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝12 cm，CD＝10 cm，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平．
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【答案】B
6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是对角线AC的中点，F是对角线BD上的动点，连结EF．若AC＝6，BD＝4，则EF长的最小值为________.
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7．[重庆沙坪坝区月考]如图，在矩形ABCD中，点E在AD边上，点F在BC边上，且BF＝DE，连结EF交对角线BD于点O，BD＝5，CD＝3，连结CE，若CE＝CF，则EF的长为________．
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8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F，且AE＝DF．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
直角三角形斜边上的中线的性质
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
推论：一个三角形一边上的中线等于
该边的一半，那么这个三角形是一
个直角三角形

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