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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件18.3正方形第18章矩形、菱形与正方形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册18.3正方形练习题班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟一、选择题（每题5分，共20分）1.下列说法正确的是（）A.有一组邻边相等的平行四边形是正方形B.有一个角是直角的菱形是正方形C.矩形的对角线互相垂直则是正方形D.菱形的对角线相等则是正方形2.正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，则下列结论错误的是（）A. AO=BO=CO=DO B. AC⊥BD C. ∠OAB=45°D. AC=AB3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形，且有四条对称轴的是（）A.矩形B.菱形C.正方形D.平行四边形4.菱形添加下列哪个条件，能成为正方形（）A.一组对边平行B.对角线互相平分C.有一个角是直角D.四条边相等二、填空题（每题5分，共20分）1.正方形的边长为6cm，则它的对角线长为________cm，面积为________cm 。2.正方形的对角线长为8cm，则它的边长为________cm，周长为________cm。3.已知正方形ABCD中，E是BC中点，且BE=3，则正方形的面积为________。4.正方形的对角线相交于点O，若AO=2，则正方形的边长为________。三、解答题（每题15分，共60分）1.求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。（要求写出已知、求证、证明过程）2.如图，正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，求证：AP=EF。3.已知正方形ABCD的边长为10cm，E、F分别在BC、CD上，且BE=CF=3cm，连接AE、BF，求AE的长度及BF与AE的位置关系。4.如图，将正方形ABCD折叠，使点B落在CD边上的点E处，折痕为FG，若正方形边长为4，CE=1，求FG的长度。参考答案：一、1.B 2.D 3.C 4.C二、1. 6√2，36 2. 4√2，16√2 3. 36 4. 2√2三、1.已知：矩形ABCD，对角线AC⊥BD。求证：ABCD是正方形。证明：∵矩形ABCD，∴AC=BD，AO=CO=BO=DO，又AC⊥BD，∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形。2.连接PC，∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，AP=PC；又PE⊥BC，PF⊥CD，∠C=90°，∴四边形PECF是矩形，∴PC=EF，∴AP=EF。3. AE=√(10 +3 )=√109 cm；AE⊥BF，可通过△ABE≌△BCF证明。4.过F作FH⊥AB于H，证△ABG≌△FHG，FG=√(4 +5 )=√41。
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
〃
〃
问题1 矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现
正方形
正方形的性质
矩形
邻边
相等
1
问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢？你有什么发现？
正方形
一个角
是直角
菱形
正方形
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形.
求证：正方形 ABCD 四边相等，四个角都是直角.
A
B
C
D
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A = 90°，AB = AD (正方形的定义).
又∵ 正方形是平行四边形，
∴ 正方形是矩形 (矩形的定义)，
正方形是菱形 (菱形的定义).
∴∠A =∠B =∠C =∠D = 90°，
AB = BC = CD = AD.
证一证
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形. 对角线 AC、BD 相交于点 O. 求证：AO = BO = CO = DO，AC⊥BD.
A
B
C
D
O
证明：∵ 正方形 ABCD 是矩形，
∴ AO = BO = CO = DO.
∵ 正方形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD.
正方形可以看成：
有一个角是直角的菱形；
有一组邻边相等的矩形.
A
B
C
D
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
知识要点
矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质：1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等；
2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
菱形
正
方
形
平行四边形
四边形
知识要点
A
B
C
D
1. 正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
2. 正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴.
分析：由正方形的特殊性质，
可知 ∠DOC = 90°.
易证 △ABO≌△CBO，从而可得
∠ABD = ×90°= 45°，同理可得∠DAC = 45°.
例1 如图，已知正方形 ABCD.求∠ABD、∠DAC、∠DOC 的大小.
A
B
C
D
O
典例精析
证明: ∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC = BD，AC⊥BD，
AO = BO = CO = DO.
∴∠DOC =∠AOD =∠AOB = 90°.
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO
都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
∴ ∠ABO =∠DAC = 45°.
A
B
C
D
O
例2 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与
BD 相交于点 O，OA＝2，求该正方形的周长与面积．
解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
∴ 该正方形的周长为 4AD＝ ，
面积为 AD2＝8.
典例精析
正方形的判定
讨论 老师给学生布置了一项任务:从一张彩色纸中剪出一个正方形.
① 小明剪完后，这样检验它：比较边长，发现四条边是相等的，于是就判定自己完成了这项任务，
这种检验可信吗
四条边相等的四边形是菱形，
不一定是正方形.
2
② 小兵用另一种方法检验：他量的不是边，而是对角线，他发现对角线是相等的，于是就认为自己正确地剪出了正方形，这种检验对吗
对角线相等的四边形可能是矩形或等腰梯形，不一定是正方形.
③ 小英剪完后，比较了由对角线相互分成的 4 条线
段，发现它们是相等的，按照小英的意见，这 说明剪出的四边形是正方形.
对角线分成的 4 条线段相等的四边形是矩形，不一定是正方形.
思考 根据上面的思考，你可以总结一下如何判定一个四边形是正方形？
1. 一组邻边相等的矩形是正方形.
2. 对角线互相垂直的矩形是正方形.
3. 一个角是直角的菱形是正方形.
4. 对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的常见方法：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角/
一组邻边相等/
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等，
且一内角是直角
总结归纳
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1．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列说法不正确的是(　　)
A．AC⊥BD
B．AD＝AO
C．DO＝CO
D．∠DAO＝∠BAC
B
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2．[自贡中考]如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2)．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′.则点D′的坐标为(　　)
A．(－3，5) B．(5，－3)
C．(－2，5) D．(5，－2)
A
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3．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为________．
5
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4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连结BF，则∠AFB的度数为________．
22.5°
5．[广安中考]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连结AE，AF，CE，CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
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6．如图，E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连结AE交BD于点F，连结CF，若∠CDE＝40°，则∠DCF的度数为(　　)
A．23°
B．24°
C．25°
D．26°
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【答案】C
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【答案】B
8．[东营期中]如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF交于点O，下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝
S四边形DEOF．其中正确的有________(填序号)．
①②④
∵△ABF≌△DAE，∴∠AFB＝∠DEA.
∵∠DEA＋∠DAE＝90°，
∴∠AFB＋∠DAE＝90°，
∴∠AOF＝180°－(∠AFB＋∠DAE)＝90°，
∴AE⊥BF，故②正确；如图，连结BE，假设AO＝OE.
由②得AE⊥BF，∴BF垂直平分AE，∴AB＝BE.∵在Rt△BCE中，BE>BC，∴AB>BC，与正方形的边长AB＝BC相矛盾，∴假设不成立，OA≠OE，故③错误；
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由①得△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，
∴S△ABF－S△AOF＝S△DAE－S△AOF，∴S△AOB＝S四边形DEOF，
故④正确．综上所述，正确的有①②④.
9．如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，∠AEP＝90°，且EP交正方形外角∠DCN的平分线CP于点P．
(1)求证：AE＝EP．
【证明】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC＝AD，
∠B＝∠BCD＝∠BAD＝90°，
∴∠BAE＋∠BEA＝90°.∵∠AEP＝90°，
∴∠BEA＋∠CEP＝90°.∴∠BAE＝∠CEP.
如图①，在BA上截取BN＝BE，连结EN.
(2)在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请画出图形并给予证明；若不存在，请说明理由．
【解】存在点M使得四边形DMEP是
平行四边形．如图②，过点D作DM∥
PE，交AE于点K，交AB于点M，连结
ME，DP，此时四边形DMEP是平行四边形．
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5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角
且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定:

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