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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件19.1.3中位数与众数第19章数据的分析授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册19.1.3中位数与众数班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本节课核心是理解中位数和众数的意义，掌握中位数的求法、众数的判断方法，能区分平均数、中位数、众数的不同作用，运用三者解决实际问题，体会它们在描述数据集中趋势时的差异，以下是知识点梳理、易错点提醒及针对性练习。一、核心知识点梳理（一）中位数1.中位数的意义：中位数是将一组数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数，它能反映一组数据的中间水平，不受极端值（过大或过小的数）的影响，适合数据分布不均匀、存在极端值的情况。2.中位数的求法（关键：先排序，再找中间位置）：（1）将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列；（2）若数据个数n为奇数，则中位数是排序后位于第$$\frac{n+1}{2}$$个位置的数；（3）若数据个数n为偶数，则中位数是排序后位于第$$\frac{n}{2}$$个和第$$\frac{n}{2}+1$$个位置的两个数的算术平均数。（二）众数1.众数的意义：众数是一组数据中出现次数最多的数，它能反映一组数据中最普遍、最常见的数值，适合描述数据的“多数水平”。2.众数的判断方法：（1）找出一组数据中每个数据出现的次数；（2）出现次数最多的数就是众数；（3）注意：一组数据中可能有一个众数、多个众数（多个数据出现次数相同且最多），也可能没有众数（所有数据出现次数都相同）。（三）平均数、中位数、众数的区别与联系1.区别：（1）平均数：反映数据的整体水平，易受极端值影响；（2）中位数：反映数据的中间水平，不受极端值影响；（3）众数：反映数据的多数水平，与数据出现次数有关，不受极端值影响。2.联系：三者都是描述一组数据集中趋势的统计量，可结合使用，更全面地分析数据。二、易错点提醒1.求中位数时，忘记先将数据按大小顺序排列，直接找中间位置的数，导致结果错误；2.数据个数为偶数时，误将中间的一个数当作中位数，忽略需计算两个中间数的算术平均数；3.判断众数时，误将“出现次数”当作众数，而非出现次数最多的“数据本身”；4.混淆三者的作用，解决实际问题时选错统计量（如存在极端值时仍用平均数描述）。三、针对性练习1.选择题（每题5分，共15分）（1）下列说法正确的是（）A.中位数一定是一组数据中的某个数B.众数一定是一组数据中的某个数C.一组数据的众数只有一个D.平均数不受极端值影响（2）已知一组数据：3，5，2，7，6，4，这组数据的中位数是（）A. 4 B. 5 C. 4.5 D. 6（3）某班10名同学的身高（单位：cm）分别为160，165，160，170，175，165，160，165，170，170，则这组数据的众数是（）A. 160 B. 165 C. 170 D. 160和165、1702.填空题（每题5分，共15分）（1）一组数据：1，2，3，4，5的中位数是________。（2）一组数据：2，3，2，5，3，3，4的众数是________。（3）已知一组数据：7，x，8，9，10，若这组数据的中位数是8.5，则x的值为________。3.解答题（每题10分，共30分）（1）已知一组数据：5，3，7，9，11，8，6，求这组数据的中位数，并说明中位数的意义。（2）某商店一周内卖出的运动鞋尺码（单位：码）分别为：38，40，39，38，41，38，40，39，42，38，求这组数据的众数，并说明众数在实际中的意义。（3）某小组8名同学的数学成绩分别为：85，90，78，92，88，95，85，80，求这组数据的平均数、中位数和众数，并分析哪个统计量更能反映该小组同学的数学整体水平。四、参考答案1.选择题：（1）B（2）C（3）D2.填空题：（1）3（2）3（3）93.解答题：（1）解：将数据按从小到大排列：3，5，6，7，8，9，11；数据个数为7（奇数），中位数是第4个数，即7；意义：这组数据的中间水平为7，不受极端值影响，能反映数据的中间位置情况。（2）解：出现次数最多的尺码是38码（出现4次），因此众数是38码；实际意义：38码的运动鞋销量最好，商店进货时可优先多进38码的运动鞋，贴合消费者需求。（3）解：①平均数：$$\bar{x} = \frac{85 + 90 + 78 + 92 + 88 + 95 + 85 + 80}{8} = 86.375$$（分）；②中位数：将数据排序：78，80，85，85，88，90，92，95；数据个数为8（偶数），中位数是$$\frac{85 + 88}{2} = 86.5$$（分）；③众数：85分（出现2次，次数最多）；分析：这组数据无极端值，平均数和中位数都能反映整体水平；若考虑多数同学的成绩，众数85分更能体现多数同学的水平。 日常生活中，我们面对一组数据，常常需要寻找一个能代表这组数据总体面貌的特殊数据，比如有下面一些问题
(1) 同学问小明：“你知道你妈妈的鞋号是多少吗 ”小明在家里找到了9双妈妈的鞋，鞋号分别是: 23，23，23，23.5，23，24，23，23，24 . 对此小明的回答应该是 _____________ .
(2) 同学问小红:“你每个月花多少时间进行体育锻炼 ”小红查看了一下自己的运动记录，发现去年每月体育锻炼的时间(单位:h)分别是:35，10，10，10，10，15，10，20，10，10，10，10.对此，小红的回答可以是
_____________ .
(3) 老师要评定每位学生的中文打字速度，小兵的三次中文打字速度检测结果 (单位:字/min) 分别是 : 38，31，36. 对此，小兵的中文打字速度可评定为 ______ .
(4) 一家小店有 5 名员工，他们的月收入 (单位:元) 分别是: 8000，3200，2100，2000，2000. 对此，该店员工的月收入可以认为是 _____________ .
回答上述问题时，你认为哪些问题不适合用平均数作代表，需要引入新的指标来刻画数据的集中趋势
问题1 查询天气网站可以了解到，我国各直辖市和省会城市(不包含港澳台地区) 2022 年 8 月 28 日的最高气温如下表所示，我们很容易得到这些城市当日最高气温的平均数约为 26.5℃，你还能从其他角度找到这组数据的代表吗
注意：31 个城市 28 日最高气温之和除以31 所得的商是平均数。
中位数和众数
1
北京 天津 石家庄 太原 呼和浩特 沈阳 长春 哈尔滨
22 25 19 16 18 26 24 25
上海 南京 杭州 合肥 福州 南昌 济南 郑州
29 27 31 28 35 36 21 19
武汉 长沙 广州 海口 南宁 成都 重庆 贵阳
32 35 35 33 35 27 40 31
昆明 拉萨 西安 兰州 银川 西宁 乌鲁木齐
25 26 17 21 22 16 26
31 个城市 2022 年 8 月 28 日的最高气温 单位:℃
我们还可以用中位数或众数作为这组数据的代表.
一般地，将一组数据按照从小到大（或者从大到小）的顺序排列，处于中间的数据（或者中间位置两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
注意事项
1. 一组数据的中位数是唯一的，它可能是这组数据中的某个数，也可能不是这组数据中的数.
2. 在排列这组数据时，即使人相等的数据也要全部参加排列.
中位数的定义：
16，16，17，18，19，10，21，21，22，22，24，25，25，25，26，26，26，27，27，28，29，31，31，32，33，35，35，35，35，36，40 .
将 31 个城市 28 日的最高气温数据按由低到高的顺序重新排列，用去掉两端逐步接近正中心的办法可以找出处在正中间位置的那个值，即中位数.
由此可以得到这 31 个城市 28 日最高气温的中位数是 26℃ .
思考 如果是偶数个城市，那么用去掉两端逐步接近正中心的办法，最后也只剩下唯一一个没被划去的数据吗
如果是偶数个城市，那么最后就将剩下两个处在正中间的数. 这时，为了公正起见，我们取这两个数的平均数作为中位数.
对于 31 个城市 2022 年 8 月 28 日的最高气温表，统计每一个气温在这组数据中出现的频数，可以找出频数最多的那个气温值，它就是众数 .
气温/℃ 16 17 18 19 21 22 24 25 26 27 28 29 31 32 33 35 36 40
频数 2 1 1 2 2 2 1 3 3 2 1 1 2 1 1 4 1 1
由上表可知，这31个城市该日最高气温的众数是35℃.
【思考】若有两个气温值 (如 25 ℃和 35℃ ) 的频数并列最多，那么怎样确定众数呢
这时，我们不是取 25℃ 和 35℃ 这两个气温值的平均数作为众数，而是说这两个气温值都是众数.
注意：
(1) 一组数据的众数一定出现在这组数据中.
(2) 一组数据的众数可能不止一个. 如 1，1，2，3，3，5 中众数是 1 和 3. 也可以是没有众数. 如 1，2，3，4.
(3) 众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数，如 1，1，1，2，2，5 中众数是 1 而不是 3.
众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
概括
把问题1 中 31 个直辖市及省会城市 21 日的最高气温
绘制成条形统计图，并在图中标记出平均数、中位数和众数.
频数
温度（℃）
众数（35）
中位数（26）
平均（26.5）
例1 已知一组数据 10，10，x，8 (由大到小排列)的中位数与平均数相等，求 x 值及这组数据的中位数.
解：∵ 10，10，x，8 的中位数与平均数相等，
∴ (10 + x)÷2＝ (10 + 10 + x + 8)÷4.
∴ x＝8. (10 + x)÷2＝9
∴ 这组数据的中位数是 9.
分析：由题意可知最中间两位数是 10，x，列方程求解即可.
典例精析
例2 一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋 30 双，各种尺码鞋的销售量如表所示. 你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？
尺码/厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
典例精析
解：由上表看出，在鞋的尺码组成的数据中，
_______是这组数据的众数，它的意义是：
_______厘米的鞋销量最大.因此可以建议鞋店多进_______厘米的鞋.
思考：你还能为鞋店进货提出哪些建议？
23.5
23.5
23.5
尺码/厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
11
7
3
1
1．第10个全国近视防控宣传教育月的主题是“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．某校积极响应，开展视力检查．某班45名同学视力检查数据如下表：
视力 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
人数 1 4 4 7 11 10 5 3
这45名同学视力检查数据的中位数是(　　)
A．4.6 B．4.7 C．4.8 D．4.9
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【点方法】确定中位数的方法
(1)先把一组数据按大小顺序排列．
(2)若数据有奇数个，则最中间的数据是中位数；若数据有偶数个，则最中间的两个数的平均数是中位数(可以概括为“排列按大小，确定分奇偶”)．
【答案】B
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2．《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种类依次为4，5，3，5，5，3，6，则这组数据的中位数和众数分别是(　　)
A．3，4 B．5，4
C．4，5 D．5，5
D
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3．小杭同学将自己前7次体育模拟测试成绩(单位：分)统计如表，第8次测试的成绩为a分，若这8次成绩的众数不止一个，则a的值为(　　)
A．27 B．28 C．29 D．30
C
次数 1 2 3 4 5 6 7
成绩/分 27 28 30 28 29 29 28
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4．[上海中考]某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示．关于这60人的分数，下列说法正确的是(　　)
A．中位数是12
B．中位数是75
C．众数是21
D．众数是85
D
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5．《生日歌》是我们熟悉的歌曲，以下是摘自生日歌简谱的部分旋律，当中出现的音符的众数是________．
5
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6．已知一组数据1，0，－3，5，x，2，－3的平均数是1，则这组数据的众数是________．
5
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7．如图是某射击选手10次的射击成绩．若设该选手的射击成绩的平均数为a，中位数为b，众数为c，则下列说法正确的是(　　)
A．a最大
B．b最大
C．c最大
D．a，b，c的大小相同
D
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8．[德阳中考]德阳市正积极推进城市轨道交通建设，假设已经规划的5条线路长度分别为28公里、30公里、30公里、26公里、32公里．若后续又新增一条线路，使得新增后这6条线路长度的中位数变为29公里，众数保持不变，那么新增线路长度可能是(　　)
A．25公里 B．28公里
C．29公里 D．30公里
A
中位数和众数
中位数：中间的一个数，或中间的两个数的平均数
众数：出现次数最多的数
平均数、中位数、众数的特征：平均数是最常用的指标，它表示“一般水平”，中位数表示“中等水平”，众数表示“多数水平”

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