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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件19.2.1方差第19章数据的分析授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册19.2.1方差练习题班级：________姓名：________得分：________（时间：25分钟满分：100分）一、选择题（每题15分，共30分）1.下列说法正确的是（）A.方差越大，数据的波动越小B.方差越小，数据的波动越小C.方差越大，数据的平均数越大D.方差越小，数据的平均数越大2.已知一组数据：2，3，3，4，其方差为（）A. 0.5 B. 0.8 C. 1 D. 1.2二、填空题（每题15分，共30分）3.一组数据1，2，1，4的离差平方和为________，方差为________。4.若甲、乙两组数据的平均数相同，甲组数据的方差为0.19，乙组数据的方差为0.18，则________组数据更稳定。三、解答题（每题40分，共40分）5.为考察两名实习工人的工作情况，质检部门将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成两组数据：甲组：2，6，7，7，8；乙组：2，3，4，8，8（1）分别计算甲、乙两组数据的平均数；（2）分别计算甲、乙两组数据的方差；（3）根据计算结果，判断哪名工人的工作表现更稳定，并说明理由。四、易错点提示（补充）1.计算方差时，需先求平均数，再计算每个数据与平均数的离差，平方后求和，最后除以数据个数，切勿遗漏“除以n”这一步。2.方差是刻画数据波动程度的量，与平均数无关，平均数相同的两组数据，方差越小，波动越小，越稳定。参考答案：1. B（解析：方差的核心意义是反映数据的离散程度，方差越小，数据波动越小，与平均数无关）2. B（解析：平均数为(2+3+3+4)÷4=3，方差为[(2-3) +(3-3) +(3-3) +(4-3) ]÷4=0.8）3. 6；1.5（解析：平均数为(1+2+1+4)÷4=2，离差平方和为(1-2) +(2-2) +(1-2) +(4-2) =6，方差为6÷4=1.5）4.乙（解析：方差越小，数据越稳定，0.18＜0.19，故乙组更稳定）5.（1）甲组平均数：(2+6+7+7+8)÷5=6；乙组平均数：(2+3+4+8+8)÷5=5（2）甲组方差：[(2-6) +(6-6) +(7-6) +(7-6) +(8-6) ]÷5=4.4；乙组方差：[(2-5) +(3-5) +(4-5) +(8-5) +(8-5) ]÷5=6.4（3）甲组工人表现更稳定，因为甲组方差4.4＜乙组方差6.4，方差越小，数据波动越小，工作表现越稳定。 葫芦七兄弟要组队参加仙界运动会的 “ 整齐队列赛 ”，要求由大娃带队，队员身高尽量均匀。分成两组候选队员，大家来看看哪组更符合要求
甲组 (大娃、三娃、五娃、七娃):
身高：180cm、178cm、173cm、183cm。
乙组 (大娃、二娃、四娃、六娃):
身高：180cm、181cm、178cm、176cm
1. 计算一下两组队员的平均身高，对比一下每组队员的身高，哪一组队员看起来更整齐
2. 这种'不整齐"该怎么用数学方法衡量呢
乙组队员看起来更整齐.
方差的意义
问题1 下表显示的是 2022 年 7 月 20 日 8 时至 7 月 21 日 5 时天津和新加坡两地的气温，如何对两地在这个时间段内的气温进行比较呢
8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时
天津 27 30 32 31 26 25 24 23
新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27
天津和新加坡的气温变化图 单位:℃
1
8 时 11 时 14 时 17 时 20 时 23 时 2 时 5 时
天津 27 30 32 31 26 25 24 23
新加坡 26 27 28 29 27 27 27 27
操作 试着计算两地这段时间的平均气温.
这能否说明两地的气温情况总体上没有什么差异呢
不能，数据的分布情况可能不一样.
气温/℃
35
30
25
20
15
10
5
0
8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时
气温/℃
35
30
25
20
15
10
5
0
8时 11时 14时 17时 20时 23时 2时 5时
① 天津
② 新加坡
观察下图，你感觉它们有没有差异呢
通过观察，我们可以发现：图 ① 中的点波动范围比较大—从 23℃ 到 32℃相差 9℃；图 ② 中的点波动范围比较小—从 26℃ 到 29℃ ，相差 3℃ .
(1) 比较两组数据时，通常可以先画图，直观地感受一下两组数据的整体特点.
(2) 即便两组数据的平均数相等，它们还可能在数据的波动大小上表现出差异，因此，不能只限于比较平均数.数据波动小，则平均数更具有代表性.
概括
比较两组数据的方法：
问题2 小明和小兵两人参加体育项目训练近期的 5 次测试成绩如表所示，谁的成绩较为稳定 为什么
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
(1) 试着计算一下两人成绩的平均数和成绩最大值与最小值的差值.
小明：(10+14+13+12+13)÷5 = 12.4
小兵：(11+11+15+14+11)÷5 = 12.4
两人成绩的平均数相等
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1 2 3 4 5
小明
小兵
体育项目测试成绩图
小明的成绩大部分集中在其平均数附近，而小兵的成绩与其平均数的离散程度略大.
(2) 观察右图，试着比较一下小明和小兵平均成绩的离散程度.
通常，如果一组数据与其平均数的离散程度较小，我们就说它比较稳定。
思考 怎样的指标能反映一组数据与其平均数的离散程度呢
我们已经看出，小兵的测试成绩与其平均数的偏差与小明的相比略大.
猜想 可以将各数据与其平均数的差进行累加来反映一组数据与其平均数的离散程度.
在下面的表格中填写你的计算结果：
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
每次成绩 - 平均成绩
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
每次成绩 - 平均成绩
-2.4
1.6
0.6
-0.4
0.6
2.6
0
1.6
-1.4
-1.4
-1.4
0
求和的结果都是 0 ，因此将各数据与其平均数的差进行累加无法反映数据的离散程度.
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
既然直接求和不行，那么用什么办法可以从
整体上反映各个数据远离平均数的情况呢 请你提出一个可行的方案，在下表中写出新的计算方案，并将计算结果填入表中.
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，
最后求和”所得到的结果反映一组数据与其平均数的离散程度. 这个结果称为这组数据的离差平方和.
通常用 x1，x2，····xn 表示各个原始数据， 表示一组数据的平均数. 那么这组数据的离差平方和的计算式就是：
第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 求和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
(每次成绩 - 平均成绩)2
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
(每次成绩 - 平均成绩)2
5.76
1.96
1.96
1.96
2.56
2.56
0.36
0.36
0.16
6.76
9.2
15.2
根据计算公式分别求出小明和小兵 5 次测试成绩的离差平方和并填入下面的表格中：
思考 如果一共进行了 7 次测试，小明因故缺席
了2 次，怎样比较谁的成绩更稳定 请将你的方法及数据填入表中.
第1次 第2次 第 3 次 第4次 第5次 第6次 第7次
小明 每次测试成绩 10 14 13 缺席 12 缺席 13
小兵 每次测试成绩 11 11 15 11 14 14 11
在计算一组数据的离差平方和时，随着数据个数的增多，和通常也会增大.因此，当两组数据所含数据的个数不同时，直接比较离差平方和显得不公平，还需要平均化，这样得到的结果称为方差，通常记为 σ 2，
我们通常用方差来衡量一组数据偏离其平均数的情况.
概括
设有 n 个数据 x1，x2，… xn，这组数据的平均数为 ，那么这组数据的离差平方和为：
平均化之后即为方差，即：
σ 2 =
方差的意义：方差越大，数据的波动越大；
方差越小，数据的波动越小．
方差的简单应用
问题3 在这次篮球联赛中,最后是九班和三班争夺这次篮球赛冠军, 赛前两个班的拉拉队都表演了啦啦操,参加表演的女同学的身高(单位: cm)分别是：
九班 163 163 165 165 165 166 166 167
三班 163 164 164 164 165 166 167 167
哪班啦啦操队女同学的身高更整齐
(1) 你是如何理解“整齐”的？
(2) 从数据上看，你是如何判断哪个队更整齐？
2
方法一：
方法二：
解： 取 a = 165.
九班新数据为： -2，-2， 0， 0，0，1，1，2.
直接求原数据的方差.
（一个学生在黑板上板书，其他学生在本上作答）
三班新数据为：-2，-1，-1，-1，0，1，2，2.
求两组新数据方差.
方法拓展
任取一个基准数 a
将原数据减去 a，得到一组新数据
求新数据的方差
1
2
3
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
返回
1．[南京一模]已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的离差平方和是(　　)
A．1.6 B．7
C．8 D．9
C
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2．一组数据2，0，1，x，3的平均数是2，则这组数据的方差是(　　)
A．2 B．4
C．1 D．3
A
3．射击运动队进行射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如图，其成绩的方差分别记为σ甲2和σ乙2，则σ甲2和σ乙2的大小关系是(　　)
A．σ甲2＞σ乙2
B．σ甲2＜σ乙2
C．σ甲2＝σ乙2
D．无法确定
A
返回
返回
4．已知一组数据：33，47，47，4▲，52，56，其中一个两位数的个位数字被墨水涂污，则关于这组数据，下列统计量的计算结果与被涂污数字无关的是(　　)
A．平均数 B．离差平方和
C．众数 D．方差
C
返回
5．超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)的平均数和方差分别为 x，σ2，该顾客选购的鸡蛋的质量的平均数和方差分别为 x1，σ12，则下列结论一定成立的是(　　)
A． x< x1 B． x> x1
C．σ2>σ12 D．σ2<σ12
C
8
10
9
3.6
(3)若这组数据中的每个数据都乘2，求新数据的平均数和方差．
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(4)通过以上计算，你得出了什么结论？
【解】结论：一组数据中的每个数据都加同一个数a，则新数据的平均数等于原数据的平均数加a，方差不变；一组数据中的每个数据都乘同一个数b，则新数据的平均数等于原数据的平均数乘b，方差则等于原数据的方差乘b2.
7．[泰州一模]如果一组数据1，2，3，4，5的方差大于另一组数据102，103，104，105，x的方差，那么x的值可能是(　　)
A．98 B．101
C．104 D．107
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【点拨】当x＝101时，另一组数据为101，102，103，104，105，与数据1，2，3，4，5的稳定程度一样，则方差一样；当x＝98或x＝107时，第二组数据没有第一组数据稳定，则第一组数据的方差小于第二组数据；当x＝104时，发现第二组数据比第一组数据稳定，则第一组数据的方差大于第二组数据．故选C.
【答案】C
8．[邢台期中]在田径运动会“100米短跑”比赛后，嘉嘉帮助老师将20个运动员的成绩录入电脑，得到平均成绩为13.8秒，方差为3.64．后来老师核查时发现其中有2个成绩录入有误，一个错录为9秒，实际成绩是12秒；另一个错录为17秒，实际成绩是14秒，并且还漏掉了一个运动员的成绩(即嘉嘉实际按19个运动员的成绩计算)，且漏掉的运动员的成绩和算错的平均成绩一样，
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老师将错录的2个成绩进行了更正，并加上了漏掉的运动员的成绩，更正后实际成绩的方差是σ2，则(　　)
A．σ2＝3.64 B．σ2<3.64
C．σ2>3.64 D．无法判断
B
9．已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是10，方差是2，数据2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的方差是________．
8
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10．[烟台期末]某班数学综合与实践活动小组5位同学的一次数学测验成绩分别为81分，83分，89分，85分，87分，经过计算这组数据的方差为m，若小红和小明同学也想加入该小组，并且两人成绩均为85分，若加入后该小组成绩的方差为n，则m和n的大小关系为________．
m>n
方差
方差的统计学意义(判断数据的离散程度)：
方差越大(小)，数据的波动越大(小).
离差平方和的概念与计算方法
方差的概念与计算方法

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