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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件第15章小结与复习第15章分式授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学第15章小结与复习一、本章知识框架分式及其运算、应用是本章核心，整体知识脉络如下：分式的概念→分式的基本性质→分式的运算（乘除、加减）→分式方程（定义、解法、应用）→零指数幂与负整数指数幂→科学记数法二、核心知识点梳理（一）分式的概念1.定义：形如$$\frac{A}{B}$$（A、B是整式，且B中含有字母，$$B \neq 0$$）的式子叫做分式。2.关键要点：①分式有意义的条件：$$B \neq 0$$；②分式的值为0的条件：$$A = 0$$且$$B \neq 0$$；③分式无意义的条件：$$B = 0$$。3.注意：分式与整式的区别——整式的分母不含字母，分式的分母含字母。（二）分式的基本性质1.基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变，即$$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C}$$，$$\frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}$$（$$C \neq 0$$）。2.应用：①分式的约分：约去分子、分母的公因式（分子分母为多项式时，先因式分解），结果化为最简分式或整式；②分式的通分：找到分子分母的最简公分母，将异分母分式化为同分母分式，为加减运算做准备。（三）分式的运算1.分式的乘除运算-乘法法则：$$\frac{A}{B} \cdot \frac{C}{D} = \frac{A \cdot C}{B \cdot D}$$（$$B \neq 0, D \neq 0$$），分子相乘的积作积的分子，分母相乘的积作积的分母，最后化简。-除法法则：$$\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C} = \frac{A \cdot D}{B \cdot C}$$（$$B \neq 0, C \neq 0, D \neq 0$$），除以一个分式等于乘它的倒数。2.分式的加减运算-同分母分式加减：$$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{B} = \frac{A \pm C}{B}$$（$$B \neq 0$$），分子相加减，分母不变，结果化简。-异分母分式加减：先通分，化为同分母分式，再按同分母分式加减法则计算，即$$\frac{A}{B} \pm \frac{C}{D} = \frac{AD \pm BC}{BD}$$（$$B \neq 0, D \neq 0$$）。3.运算注意事项①运算前先判断分式有意义的条件，排除使分母为0的取值；②运算过程中注意符号变化（尤其是负号在分子、分母或分式前面时）；③最终结果必须化为最简分式或整式。（四）分式方程1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程（区别于整式方程，整式方程分母不含未知数）。2.解法步骤1.去分母：在方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；2.解整式方程：按照整式方程的解法（一元一次方程）求解；3.检验：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母不为0，则是原分式方程的解；若为0，则是增根，原分式方程无解；4.写出答案：根据检验结果，确定原方程的解或无解。3.分式方程的应用常见题型：行程问题、工程问题、利润问题、浓度问题等，核心是找到等量关系，列出分式方程，求解后检验是否符合实际意义（如速度、时间、数量不能为负数）。（五）零指数幂与负整数指数幂1.零指数幂：任何不等于0的数的零次幂都等于1，即$$a^0 = 1$$（$$a \neq 0$$）；注意：$$0^0$$无意义。2.负整数指数幂：任何不等于0的数的-n（n为正整数）次幂，等于这个数的n次幂的倒数，即$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$（$$a \neq 0$$，n为正整数）。3.运算性质：同底数幂相乘$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$、同底数幂相除$$a^m \div a^n = a^{m-n}$$，对零指数幂和负整数指数幂同样适用。（六）科学记数法1.表示形式：$$a \times 10^n$$，其中$$1 \leq |a| < 10$$，n为整数。2.分类应用：-表示小于1的正数：n为负整数，n的绝对值等于原数中左边第一个非零数字前0的个数（包括小数点前的0）；-表示大于10的数：n为正整数，n的绝对值等于原数的整数位数减1；3.互化方法：①科学记数法化为小数：$$a \times 10^{-n}$$，将a的小数点向左移动n位；②小数化为科学记数法：找到左边第一个非零数字，确定a，数出小数点移动的位数，确定n（向左移动n为正，向右移动n为负）。三、易错点警示（高频易错）1.分式有意义与分式值为0的条件混淆：忽略“分式值为0需同时满足分子为0、分母不为0”，单独认为分子为0即可。2.分式运算中符号错误：如$$\frac{1}{2-x} = -\frac{1}{x-2}$$，负号转移时容易漏变分子或分母的符号。3.解分式方程忘记检验：忽略增根的存在，直接将整式方程的解当作原分式方程的解。4.零指数幂与负整数指数幂计算错误：如$$2^0 = 0$$、$$3^{-1} = -3$$，混淆定义本质。5.科学记数法表示错误：如$$0.0003 = 3 \times 10^{-4}$$（正确应为$$3 \times 10^{-4}$$？修正：正确应为$$3 \times 10^{-4}$$，易错点为n的绝对值计算错误）、$$5.6 \times 10^{-3} = 0.0056$$（易错点为小数点移动方向错误）。6.分式通分、约分不彻底：未先对分子分母因式分解，直接约分或通分，导致结果不是最简形式。四、典型题型复习（巩固核心）题型1：分式的概念与性质例1：若分式$$\frac{x^2 - 4}{x + 2}$$的值为0，求x的值；若分式无意义，求x的值。解：①分式值为0：$$\begin{cases} x^2 - 4 = 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases}$$，解得$$x = 2$$；②分式无意义：$$x + 2 = 0$$，解得$$x = -2$$。题型2：分式的乘除加减运算例2：计算：（1）$$\frac{3a}{4b} \cdot \frac{8b^2}{9a^2}$$（2）$$\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1}$$解：（1）原式$$=\frac{3a \cdot 8b^2}{4b \cdot 9a^2} = \frac{24ab^2}{36a^2b} = \frac{2b}{3a}$$（$$a \neq 0, b \neq 0$$）；（2）原式$$=\frac{x-1 + x+1}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{x^2 - 1}$$（$$x \neq \pm1$$）。题型3：分式方程的解法与检验例3：解方程$$\frac{1}{x-2} + 3 = \frac{x-1}{x-2}$$，并检验。解：去分母，得$$1 + 3(x-2) = x-1$$；去括号，得$$1 + 3x - 6 = x - 1$$；移项合并，得$$2x = 4$$，解得$$x = 2$$；检验：当$$x = 2$$时，最简公分母$$x - 2 = 0$$，故$$x = 2$$是增根，原方程无解。题型4：分式方程的实际应用例4：甲、乙两人加工同一种零件，甲每小时比乙多加工2个，甲加工150个零件所用时间与乙加工120个零件所用时间相等，求甲、乙每小时各加工多少个零件？解：设乙每小时加工x个零件，则甲每小时加工$$x + 2$$个零件；由题意得$$\frac{150}{x + 2} = \frac{120}{x}$$；去分母，得$$150x = 120(x + 2)$$，解得$$x = 8$$；检验：$$x = 8$$时，$$x + 2 = 10 \neq 0$$，符合题意；答：甲每小时加工10个，乙每小时加工8个。题型5：零指数幂、负整数指数幂与科学记数法例5：计算：$$(-2)^0 + (\frac{1}{3})^{-1} - 2^{-2}$$；用科学记数法表示0.0000036，将$$4.5 \times 10^{-5}$$化为小数。解：原式$$=1 + 3 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$；0.0000036$$=3.6 \times 10^{-6}$$；$$4.5 \times 10^{-5} = 0.000045$$。五、复习总结与建议1.核心重点：分式的运算、分式方程的解法与应用、科学记数法的互化，是本章高频考点，需熟练掌握法则和步骤。2.解题关键：①分式运算先定符号、再算乘除、后算加减，最后化简；②分式方程必检验，避免增根；③科学记数法牢记$$1 \leq |a| < 10$$的要求。3.复习建议：重点攻克易错点，多练习典型题型，尤其是分式方程的实际应用，注意找准等量关系；同时梳理知识框架，将零散知识点串联起来，提升综合解题能力。一、分式
1. 分式的概念：
一般地，如果 A，B 都表示整式，且 B 中含有字母，那么称 为分式.其中 A 称为分式的分子，B 称为分式的分母.
2. 分式有意义的条件：
对于分式 ：
当_______时分式有意义；
当_______时无意义.
B≠0
B = 0
3. 分式值为零的条件：
当______________时，分式 的值为零.
A = 0 且 B≠0
4. 分式的基本性质：
5. 分式的约分：
约分的定义
根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.
最简分式的定义
分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式.
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
约分的基本步骤
(1) 若分子，分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂；
(2) 若分子，分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子，分母所有的公因式．
6. 分式的通分：
分式的通分的定义
根据分式的基本性质，使分子，分母同乘适当的整式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分.
最简公分母
通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
二、分式的运算
1. 分式的乘除法则：
2. 分式的乘方法则：
3. 分式的加减法则：
(1) 同分母分式的加减法则：
(2) 异分母分式的加减法则：
4. 分式的混合运算：
先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的.
计算结果要化为最简分式或整式.
三、分式方程
1. 分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
2. 分式方程的解法
(1) 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；
(2) 解这个整式方程；
(3) 把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，那么整式方程的解就是原分式方程的解，否则须舍去.
3. 分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤
(1) 审：审清题意，找出相等关系；
(2) 设：设出未知数；
(3) 列：列出方程；
(4) 解：解这个分式方程；
(5) 验：验根（包括两方面：①是否是分式方程的根；②是否符合题意）；
(6) 答：写答案.
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B
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B
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A
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2(答案不唯一)
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【答案】B
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1
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x＝2
m<1且m≠0
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±1
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【解】去分母，得x－2－(2x－1)＝－1，解得x＝0.
经检验，x＝0是原方程的解．
所以原方程的解是x＝0.
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【解】方程两边同时乘以(x＋3)(x－3)，得x(x＋3)－(x＋3)(x－3)＝18，整理，得3x＝9，解得x＝3.
经检验，x＝3是增根，∴原分式方程无解．
12．[重庆中考]某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个．
(1)该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？
【解】设该厂每天生产的乙种文创产品的数量是x个，则每天生产的甲种文创产品的数量为(x＋50)个．
3(x＋50)＝4x＋100，解得x＝50.所以x＋50＝100.
答：该厂每天生产的乙种文创产品的数量是50个，每天生产的甲种文创产品的数量是100个．
(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量．
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