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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件第16章小结与复习第16章函数及其图象授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版八年级下册数学第16章小结与复习一、章节知识框架（理清脉络，串联全章）本章核心围绕“函数”展开，从概念到应用，层层递进，核心脉络如下：函数的概念→一次函数（正比例函数）→反比例函数→函数与方程、不等式的关系→函数在实际生活中的应用核心思想：数形结合（用函数图象解决代数问题）、数学建模（将实际问题转化为函数问题）。二、全章核心知识点梳理（重点突破，夯实基础）（一）函数的基本概念（全章基础）1.定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。2.关键判断：①两个变量；②自变量x每一个确定值，y有且只有一个值对应（唯一性）。3.函数的表示方法：①解析式法（最常用，如$$y = kx + b$$）；②列表法；③图象法（直观，体现变量变化趋势）。4.自变量取值范围：结合实际意义（如人数、时间、面积不能为负数）和解析式意义（如反比例函数中$$x \neq 0$$）确定。（二）一次函数与正比例函数（核心重点）1.解析式与定义-一次函数：一般形式$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$），其中k是斜率，b是截距；-正比例函数：特殊的一次函数，形式$$y = kx$$（$$k \neq 0$$），特点是$$b = 0$$，图象过原点。2.图象与性质（核心难点）函数类型图象形状k的符号影响b的符号影响（一次函数）增减性一次函数$$y = kx + b$$（$$k \neq 0$$）一条直线$$k > 0$$：直线从左到右上升；$$k < 0$$：直线从左到右下降$$b > 0$$：直线交y轴正半轴；$$b < 0$$：交y轴负半轴；$$b = 0$$：过原点（正比例函数）$$k > 0$$：y随x增大而增大；$$k < 0$$：y随x增大而减小正比例函数$$y = kx$$（$$k \neq 0$$）过原点的直线同一次函数，决定直线升降无（$$b = 0$$）同一次函数3.一次函数解析式的求法（待定系数法）1.设：设一次函数解析式为$$y = kx + b$$（正比例函数设$$y = kx$$）；2.代：将图象上两个点的坐标（或两组x、y对应值）代入解析式，列出关于k、b的方程组；3.解：解方程组，求出k、b的值；4.写：写出完整的函数解析式，检验是否符合题意。（三）反比例函数（核心重点）1.解析式与定义-定义：形如$$y = \frac{k}{x}$$（$$k \neq 0$$）的函数，也可表示为$$xy = k$$或$$y = kx^{-1}$$；-关键前提：$$k \neq 0$$，自变量$$x \neq 0$$，函数值$$y \neq 0$$。2.图象与性质k的符号图象形状与分布增减性对称性k的几何意义$$k > 0$$双曲线，位于第一、三象限每个象限内，y随x增大而减小（不可省略“每个象限内”）关于原点、直线$$y = x$$、$$y = -x$$对称过双曲线上任意一点作x轴、y轴垂线，形成的矩形面积为$$|k|$$，直角三角形面积为$$\frac{1}{2}|k|$$$$k < 0$$双曲线，位于第二、四象限每个象限内，y随x增大而增大（不可省略“每个象限内”）同左同左（四）函数与方程、不等式的关系（数形结合核心）1.一次函数与一元一次方程解方程$$kx + b = 0$$（$$k \neq 0$$），本质是求一次函数$$y = kx + b$$的图象与x轴交点的横坐标；拓展：解方程$$kx + b = m$$，对应求$$y = kx + b$$与$$y = m$$交点的横坐标。2.一次函数与一元一次不等式解不等式$$kx + b > 0$$（或$$< 0$$），本质是求一次函数$$y = kx + b$$的图象在x轴上方（或下方）部分对应的x的取值范围；关键：结合k的符号（增减性）判断解集方向，避免符号错误。3.一次函数与二元一次方程组二元一次方程组的解，对应两个一次函数图象的交点坐标；解的情况：①相交→唯一解；②平行（$$k_1 = k_2$$且$$b_1 \neq b_2$$）→无解；③重合（$$k_1 = k_2$$且$$b_1 = b_2$$）→无数组解。（五）函数在实际生活中的应用（应用重点）1.核心步骤：审题→建模（列一次/反比例函数解析式）→求解→检验→作答；2.常见场景：计费问题（分段计费）、行程问题、利润成本问题、产量面积问题；3.关键：找准等量关系，结合实际意义确定自变量取值范围，避免脱离场景的计算。三、全章易错点汇总（规避失分，针对性纠错）1.函数概念易错：忽略“y的唯一性”，误判非函数关系；未结合实际意义确定自变量取值范围（如反比例函数漏写$$x \neq 0$$）。1. 常量与变量
叫变量，
叫常量.
2. 函数定义：
取值发生变化的量
取值固定不变的量
在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
一、函数
3. 函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
列表法
解析式法
图象法.
5. 函数的三种表示方法：
4. 描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
一次函数 一般地，如果 y＝kx＋b (k、b是常数，k≠0)，那么 y 叫做 x 的一次函数.
正比例函数 特别地，当 b＝____时，一次函数 y＝kx＋b 变为 y＝ _____(k 为常数，k≠0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数.
0
kx
二、一次函数
1. 一次函数与正比例函数的概念
2. 分段函数
当自变量的取值范围不同时，函数的表达式也不同，这样的函数称为分段函数.
函数 字母系数取值 （ k>0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx + b (k ≠ 0) b > 0 y 随 x 增大而
增大
b = 0 b < 0 第一、三象限
第一、二、三象限
第一、三、四象限
3. 一次函数的图象与性质
函数 字母系数取值 （ k<0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx + b (k ≠ 0) b > 0 y 随 x增大而
减小
b＝0 b < 0 第一、二、四象限
第二、四象限
第二、三、四象限
求一次函数表达式的一般步骤：
(1) 先设出函数表达式；
(2) 根据条件列出关于待定系数的方程（组）；
(3) 解方程（组）求出表达式中未知的系数；
(4) 把求出的系数代入设的表达式，从而具体写出这个表达式. 这种求表达式的方法叫待定系数法.
4. 用待定系数法求一次函数的表达式
求 ax+b = 0 (a，b 是
常数，a≠0) 的解
x 为何值时，函数
y = ax + b 的值为 0？
从“数”的角度看
求 ax+b = 0 (a，b 是
　常数，a≠0) 的解
求直线 y = ax+b 与
x 轴交点的横坐标
从“形”的角度看
(1) 一次函数与一元一次方程
5. 一次函数与方程
一般地，任何一个二元一次方程都可以转化为一次函数 y = kx + b(k、b为常数，且k≠0) 的形式，所以每个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应一条直线．
(2) 一次函数与二元一次方程
二元一次方程的解 对应直线上点的坐标
三、反比例函数
1. 反比例函数的概念
定义：形如________ (k 为常数，且 k ≠ 0) 的函数称
为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数．
三种解析式形式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．
【注意】(1) k ≠ 0；(2)自变量 x ≠ 0；(3)函数值 y ≠ 0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k≠0)的
图象是 ，它既是轴对称图形又是中心
对称图形.
反比例函数的图象的两条对称轴分别为直线
和 ；对称中心是 .
双曲线
原点
y = x
y=－x
(2) 反比例函数的性质
图象 所在象限 性质
(k≠0) k＞0 第________象限(x，y同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____
k＜0 第________象限(x，y异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而_____
x
y
o
x
y
o
一、三
二、四
减小
增大
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之
积为常数 (xy＝k) 这一特点，即过双曲线上任意一
点，向两坐标轴引垂线，两条垂线与坐标轴所围
成的矩形的面积为 .
推论：过双曲线上任意一点，向任一坐标轴引垂
线，垂线与坐标轴及这点与原点的连线所围成的
三角形的面积为 ．
|k|
3. 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数的解析式：
① 根据两变量之间的反比例关系，设 ；
② 代入 x，y 的一组对应值，或者该函数图象
上一个点的坐标，求出 k 的值；
③ 写出解析式.
返回
B
返回
C
返回
3．[广安中考]在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足(a－2)2＋|b＋3|＝0，则点A在第________象限．
四
返回
4．在平面直角坐标系中，将正比例函数y＝－2x的图象向下平移3个单位长度得到一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象，则该一次函数的表达式为(　　)
A．y＝－2x＋3 B．y＝－2x＋6
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－6
C
5．关于一次函数y＝x＋1，下列说法正确的是(　　)
A．图象经过第一、三、四象限
B．图象与y轴交于点(0，1)
C．函数值y随自变量x的增大而减小
D．当x＞－1时，y＜0
返回
【点拨】∵在一次函数y＝x＋1中，k＞0，b＞0，∴图象经过第一、二、三象限，故A不正确；当x＝0时，y＝1，∴图象与y轴交于点(0，1)，故B正确；∵一次函数y＝x＋1中，k＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故C不正确；∵当x＝－1时，y＝0，且函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞－1时，y＞0，当x＜－1时，y＜0，故D不正确．
【答案】B
6．一次函数y1＝kx－b和一次函数y2＝－2kx＋b在同一直角坐标系中的图象可能是(　　)
【点拨】A.在y1＝kx－b中k＞0，b＜0，在y2＝－2kx＋b中
k＞0，b＞0，b的取值范围相矛盾，故本选项不符合题意；B.在y1＝kx－b中k＞0，b＜0，在y2＝－2kx＋b中k＞0，b＜0，k，b的取值范围一致，故本选项符合题意；C.在y1＝
kx－b中k＜0，b＜0，在y2＝－2kx＋b中k＞0，b＜0，k的取值范围相矛盾，故本选项不符合题意；D.在y1＝kx－b中
k＞0，b＜0，在y2＝－2kx＋b中k＜0，b＜0，k的取值范围相矛盾，故本选项不符合题意．
【答案】B
返回
7．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是一次函数y＝(3－2m)x＋1的图象上的两点，且(x1－x2)(y1－y2)＜0，则m的取值范围为____________．
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8．下面是小明同学探究函数y＝|x－1|的图象和性质的过程，请补充完整．
x … －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … 3 2 1 0 m 2 3 …
(1)表格中为y与x的几组对应值，则m的值为______．
1
【点拨】当x＝2时，y＝m＝|2－1|＝1，故m的值是1.
(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中，先根据上表描点，再画出该函数的图象．
【解】如图．
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(3)观察图象，写出函数y＝|x－1|的一条性质．
【解】由图象可知，函数y＝|x－1|的图象关于直线x＝1
对称．(答案不唯一)
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当－40，∴y1<00时，t＋4>0，∴P(t，y1)，Q(t＋4，y2)都在第一象限．∵ty2>0，故选项D错误，不符合题意．故选A.
【答案】A
(－1，－1)
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9
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12．如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为________．
x＝－2
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【点拨】∵OA＝2，∴一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴相交于点A(－2，0)．∴关于x的方程kx＋b＝0的解为x＝－2.
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①③④
14．如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(－6，0)，B(－1，5)．
(1)若一次函数y＝－2x－3的图象与直线AB相交于点M，求点M的坐标；
(2)求出点D的坐标．根据图象，直接写出关于x的不等式 kx＋b＞－2x－3≥0的解集；
【解】把y＝0代入y＝－2x－3，得－2x－3＝0，解得
x＝－1.5.∴点D的坐标为(－1.5，0)．观察图象可知，关于x的不等式kx＋b＞－2x－3≥0的解集为－3＜x≤－1.5.
(3)在直线AB上存在异于点M的另一点P，使得△ADP的面积是△ADM的面积的2倍，请直接写出点P的坐标．
【解】点P的坐标为(0，6)或(－12，－6).
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【点拨】∵△ADP与△ADM底边都是AD，△ADP的面积是△ADM的面积的2倍，∴△ADP的高就是点M到直线AD的距离的2倍．∴点P的纵坐标的绝对值是6，∴点P的纵坐标是±6.当y＝6时，则x＋6＝6，解得x＝0；当y＝－6时，则x＋6＝－6，解得x＝－12.∴点P的坐标为(0，6)或(－12，－6)．

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