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华东师大版（新教材）数学8年级下册培优备精做课件第18章小结与复习第18章矩形、菱形与正方形授课教师：Home .班级：八年级（---）班.时间：.华东师大版数学八年级下册第18章小结与复习班级：________姓名：________得分：________时间：40分钟本章主要学行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质、判定方法及应用，核心是掌握四边形的判定与性质之间的联系，能灵活运用知识解决实际问题，以下是本章重点知识梳理及针对性练习。一、本章核心知识梳理（一）平行四边形1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2.性质：对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分；是中心对称图形。3.判定：两组对边分别相等的四边形；一组对边平行且相等的四边形；对角线互相平分的四边形；两组对角分别相等的四边形。（二）矩形1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。2.性质：具有平行四边形的所有性质；四个角都是直角；对角线相等；是轴对称图形（2条对称轴）。3.判定：有一个角是直角的平行四边形；对角线相等的平行四边形；三个角是直角的四边形。（三）菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.性质：具有平行四边形的所有性质；四条边都相等；对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角；是轴对称图形（2条对称轴）。3.判定：有一组邻边相等的平行四边形；四条边都相等的四边形；对角线互相垂直的平行四边形。（四）正方形1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（既是矩形，也是菱形）。2.性质：具有矩形和菱形的所有性质；四条边相等，四个角都是直角；对角线相等且互相垂直平分；是轴对称图形（4条对称轴），也是中心对称图形。3.判定：有一组邻边相等的矩形；有一个角是直角的菱形；对角线相等且互相垂直的平行四边形。（五）易错点提醒1.平行四边形的判定中，“一组对边平行，另一组对边相等”不能判定为平行四边形；2.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，反之不成立；3.正方形的对角线不仅相等、互相垂直，还互相平分，且每条对角线平分一组对角。二、针对性复习练习1.选择题（每题5分，共15分）（1）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A.平行四边形B.矩形C.三角形D.等腰梯形（2）下列条件中，能判定四边形是菱形的是（）A.对角线互相平分B.对角线互相垂直且相等C.四条边都相等D.有一个角是直角（3）已知正方形ABCD的对角线长为6cm，则它的边长为（）A. 3cm B. 3√2 cm C. 6√2 cm D. 12cm2.填空题（每题5分，共15分）（1）平行四边形ABCD中，∠A=50°，则∠B=________°，∠C=________°。（2）菱形的边长为5cm，一条对角线长为6cm，则另一条对角线长为________cm。（3）矩形的对角线相交于点O，若OA=2，则矩形的对角线长为________，矩形的周长为8，则矩形的面积为________。3.解答题（每题10分，共30分）（1）求证：对角线互相垂直平分的四边形是菱形。（要求写出已知、求证、证明过程）（2）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，求证：矩形ABCD是正方形。（3）已知平行四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=90°，E、F分别是AB、BC的中点，连接AE、CF，求证：AE=CF且AE⊥CF。三、参考答案1.选择题：（1）B（2）C（3）B2.填空题：（1）130，50（2）8（3）4，33.解答题：（1）已知：四边形ABCD，对角线AC、BD互相垂直平分。求证：四边形ABCD是菱形。证明：∵对角线AC、BD互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形。（2）证明：∵矩形ABCD，∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，∴OA=OD；又∵OA=OD，∴AC=BD且OA=OD，∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形。（3）证明：∵AB=BC，∠ABC=90°，∴平行四边形ABCD是正方形；∵E、F分别是AB、BC中点，∴AE=BF，∠BAE=∠CBF=45°，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=CF，∠AEB=∠CFB；∵∠CFB+∠FCB=90°，∴∠AEB+∠FCB=90°，∴AE⊥CF。一、几种特殊四边形的性质
项目 四边形 边 角 对角线 对称性
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行
且四边相等
对边平行
且四边相等
对角相等
四个角
都是直角
对角相等
四个角
都是直角
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
中心对称图形
四边形 条件
平行 四边形
矩形
菱形
正方形
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
1.定义：有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形
3.有三个角是直角的四边形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 2.对角线互相垂直的平行四边形 3.四条边都相等的四边形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
5 种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角
且一组邻边相等
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定
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1．矩形OABC在平面直角坐标系中如图所示，点A(3，0)，C(0，1)，将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点的坐标为(　　)
A．(－1，3)
B．(3，1)
C．(1，－3)
D．(－1，0)
A
2．[河北中考]如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是(　　)
A．∠1＝45°－α
B．∠1＝α
C．∠2＝90°－α
D．∠2＝2α
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由折叠的性质可得∠C′ED＝∠CED，∴∠2＝180°－2∠CED＝180°－2(90°－α)＝2α，故C不正确，D选项正确．故选D.
【答案】D
3．如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，E为线段AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F，连结AF，∠BDF＝90°．
(1)求证：四边形ABDF是矩形；
又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形．
又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形．
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(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．
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4．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成. 已知菱形的边长为13 cm，当挂钩B，D间的距离是30 cm时，挂钩A，C间的距离是________．
24 cm
5．[2025遂宁]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.
(1)求证：△ABF≌△CDE；
【证明】∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF＝∠DCE＝90°.
∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.
∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE.∴△ABF≌△CDE.
(2)连结AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
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6．如图，在矩形ABCD内有一点F，BF与CF分别平分∠ABC和∠BCD，E为矩形ABCD外一点．连结BE，CE．现添加下列条件：
①EB∥CF，CE∥BF；
②BE＝CE，BE＝BF；
③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF．
其中能判定四边形BECF是正方形的共有(　　)
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
D
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7．如图，已知正方形ABCD的边长为3，P是对角线BD上的一点，PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E，连结PC，当PE∶PF＝1∶2时，PC＝________．
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8．[内江中考]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0)，点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为(0，3)，则点E的坐标为________．
9．如图，已知四边形ABCD为正方形，AC＝6，点E为对角线AC上一动点，连结DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG．
(1)求证：矩形DEFG是正方形．
【证明】过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，则易得∠MEN＝90°.
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴易知EM＝EN.
∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝90°＝∠MEN.
∴∠DEF－∠NEF＝∠MEN－∠NEF，
即∠DEN＝∠FEM.
(2)探究：CE＋CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解】CE＋CG的值为定值．
∵四边形DEFG和四边形ABCD都是正方形，
∴DE＝DG，AD ＝CD，∠CDG＋∠CDE＝90°，
∠ADE＋∠CDE＝90°.∴∠CDG＝∠ADE.
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10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BH⊥AD于点H，连结OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为(　　)
A．72
B．48
C．24
D．96
B
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【答案】D

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