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2025-2026学年高三下学期 3月学情检测数学试卷 y（单位：米）与其存活时间 x（单位：年）近似满足函数模型： ．当该种
（考试时间 120分钟，总分 150分） 果树的根茎长度大于 2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养料从而进入
注意事项： “稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（ ）
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 A．4 B．5 C．6 D．7
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 6．DeepSeek系统的登录密码由 6个字符组成，其中前 4位是大写字母 D、E、E、P的某种排列，
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 后 2位是不相同的数字（0﹣9），则可能的密码总数是多少（ ）
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答 A．360 B．540 C．1080 D．2160
题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效 7．等差数列{an}，{bn}的前 n项和分别是 Sn，Tn，且 ，则 （ ）
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
A． B． C． D．
8．设函数 f（x）＝x﹣ln（ax+b），若 f（x）≥0，则 ab的最大值为（ ）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的. A．e B． C． D．1
1．已知集合 A＝{x|2x＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，则 A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，0） C．[﹣1，0） D．[﹣1，+∞） 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多
2．已知复数 z的共轭复数为 ，若 ，则 z可能为（ ） 项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．公差为 d的等差数列{an}与公比为 q的等比数列{bn}首项相同且为正数，则（ ）A．1+i B．﹣1+2i C．﹣1﹣2i D．1﹣i
A．若 d＜0，则{a }为递减数列
3．从小到大排列的一组数据：80，90，96，x，110，120，若这组数据的第 50 n百分位数与平均
B．若 0＜q＜1，则{b }为递减数列
数相同，则 x n的值为（ ）
A．98 B．104 C．106 D．108 C．若 q＞1＞d＞0，则 为递增数列
4．已知向量 ，若 在 上的投影向量为 ，则λ的所有可能结果的和为 D．若 q＞1＞d＞0，则{anbn}为递增数列
10．下列结论正确的是（ ）
（ ）
A．y＝|sinx|是以π为最小正周期，且在区间 上单调递减的函数
A．2 B． C． D．
5．近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度 B．若 x是斜三角形的一个内角，则 的解集为
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C． 的单调递减区间为 四．解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（ 13分）已知锐角△ ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c， b＝ 1且
D．函数 的值域为
．
11．已知双曲线 的左、右焦点分别为 F1、F2，左、右顶点分别为
（1）求角 B的大小；
A1、A2，点 P是双曲线 C上异于顶点的一点，则（ ）
（2）求△ABC周长的最大值．
A．||PA1|﹣|PA2||＝2a
B．若焦点 F2关于双曲线 C的渐近线的对称点在 C上，则 C的离心率为 16．（15分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在
C．若双曲线 C为等轴双曲线，则直线 PA1的斜率与直线 PA2的斜率之积为 1 如图所示的“阳马”P﹣ABCD中，侧棱 PD⊥底面 ABCD，AD＝2，AB＝4，点 E是 PA的中
D．若双曲线 C为等轴双曲线，且∠A1PA2＝3∠PA1A2，则 点，F为线段 PB上一点且 FB＝2FP．
（1）若 EF⊥PF，求 PD的长；
三．填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分. （2）若平面 DEF与平面 ABCD所成的二面角为 ，求直线 PC与平面 DEF所成角的正弦值．
12． 展开式中的常数项为 ．
13．如图所示，正方形 ABCD是圆柱 O1O2的轴截面，且 O1O2＝2，已知 P为圆柱侧面上的点，
则集合 T＝{P|平面 PAC⊥平面 ABCD}表示椭圆的离心率为 ．
17．（15分）已知函数 f（x）＝lnx+x+1﹣axex（a∈R）．
（1）当 a＝0时，求曲线 y＝f（x）在 x＝1处的切线方程；
14．正四棱柱容器（表面厚度忽略不计）底面正方形边长为 10，在容器中恰好能放入半径分别 （2）若 f（x）在[1，+∞）上单调递减，求 a的取值范围．
为 5和 2的大小两个玻璃球，则正四棱柱容器的高的最小值为 ．
18．（17分）在云南省推进绿色能源战略背景下，某古城景区为提升电动观光车服务质量，对
200名游客进行满意度调研．现收集到如表数据：
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对续航能力满意 对续航能力不满意 （ii）如图 2，当 时，求折叠后的线段 AB长度的取值范围．
对充电设施满意 70 30
对充电设施不满意 50 50
（1）现随机选取一名受访游客，设事件 A为“该游客对电动观光车续航能力满意”，事件 B
为“该游客对充电设施满意”，求 P（A）和 P（A|B）；
（2）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断游客对电动观光车续航能力的满意度与对充
电设施的满意度是否存在关联．
附：
α 0.05 0.01 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
19．（17分）已知双曲线 的离心率为 ，左、右焦点分别为 F1、
F2，焦点 F2到渐近线的距离为 1．经过点 F1且倾斜角为θ的直线 l与双曲线 C的左支交于 A、
B两点（其中点 A在 x轴上方）．
（1）求双曲线 C的标准方程；
（2）将平面 xOy沿 x轴折叠，记 y轴正半轴和 x轴所确定的半平面（平面 AF1F2）与 y轴负
半轴和 x轴所确定的半平面（平面 BF1F2）所成的二面角为α．
（i）如图 1，当 时，求折叠后|AF1|+|BF1|﹣|AB|的值；
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参考答案 即 ，
一．单选题 因为△ABC为锐角三角形，所以 sinC≠0．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
因此 ，
答案 A A B B B C B C 故 ；
（2）由余弦定理知：b2＝a2+c2﹣2accosB，
二．多选题
即 ．
题号 9 10 11
所以 a+c≤2．
答案 ABD AC BCD 因此△ABC周长为 a+b+c≤3，
即周长最大值为 3．
三．填空题
12．375． 16．解：（1）因为侧棱 PD⊥底面 ABCD，ABCD是长方形，
13． ． 则 PD⊥AD，PD⊥DC，AD⊥DC，
14 所以以 D为坐标原点， ， 的方向分别为 x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐． ．
标系．
四．解答题
15．解：（1）由 b＝1及 ，
得 ，
所以 ．
因为 A+B+C＝π，且△ABC为锐角三角形．
设 PD＝h（h＞0），AD＝2，AB＝4，点 E是 PA的中点，F为线段 PB上一点且 FB＝2FP．
所以 ，
则 D（0，0，0），P（0，0，h），A（2，0，0），B（2，4，0）．
即 2sinC﹣sinBcosC﹣cosBsinC ， 因为点 E是 PA的中点，
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x
所以 ， （2）由函数 f（x）＝lnx+x+1﹣axe 在[1，+∞）上单调递减，
因为 F为 PB上一点且 FB＝2FP， 得 x∈[1，+∞）， 恒成立，
，解得 ， 则 在[1，+∞）上恒成立，令 ，
所以 ． 求导得 ，函数 g（x）在[1，+∞）上单调递减，
（2）由 PD⊥平面 ABCD，所以 是平面 ABCD的一个法向量， 则 ，
设 是平面 DEF的法向量，E（1，0， ）， 因此 ，
所以 a的取值范围是 ．
则 ，
所以 ，则可取 ， 18．解：（1）根据题意，P（A） 0.6，
P（A|B） 0.7；
由题意可知， ，解得 ，
（2）根据题意，零假设 H0：游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度无
则 ， ， 关，
又 C（0，4，0），
则χ2 6.635，
则 ， 所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断 H0不成立，
即可以认为游客对电动观光车续航能力的满意度与对充电设施的满意度存在关联．
则 ，
19．解：（1）因为双曲线 的离心率为 ，
故所求的正弦值是 ．
所以 ，所以 c2＝2a2，
又因为 c2＝a2+b2，所以 a＝b．
17．解：（1）当 a＝0时，f（x）＝lnx+x+1，求导得 ，则 f′（1）＝2，而 f（1）
因为右焦点 F2（c，0）到渐近线的距离为 1，取渐近线的方程为 bx﹣ay＝0，
＝2，
所以 ，
所以曲线 y＝f（x）在 x＝1处的切线方程为 y﹣2＝2（x﹣1），即 y＝2x．
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所以 a＝1， 所以折叠后 ．
所以双曲线 C的标准方程为 x2﹣y2＝1；
（ii）在折叠前，设直线 l方程为 ，
（2）（i）在折叠前（如图），可知左焦点 ，又 ，
联立 ，
消去 x整理可得 ，
因为直线 l与双曲线 C的左支交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点（其中点 A在 x轴上方），
所以 y1＞0，Δ＝8m2﹣4（m2﹣1）＞0，y1y2＜0
由韦达定理可知 ， ，所以﹣1≤m2﹣1＜0．
所以直线 l的方程为 .将其代入双曲线方程 x2﹣y2＝1，
在折叠后（如图 2），以射线 OF1方向为 x轴正方向，原 y轴负方向为 y轴正方向，
消去 y整理可得 ， 过原点 O作直线垂直于平面 BF1F2，且向上方向为 z轴正方向，建立空间直角坐标系．
设交点 A（x1，y1），B（x2，y2），则 ， ， 因为 ，所以 ，B（﹣x2，﹣y2，0），
分别代入 ，可得 ， ，
所以 ，
所以 ， ，
因为 ， ，
所以 ；
所以
在折叠后（如图 1），因为 ，所以平面 AF1F2⊥平面 BF1F2，
易知原 y轴正半轴垂直于平面 BF1F2，进而原 y轴正半轴垂直于原 x轴，也垂直于原 y轴负
半轴．
以射线 OF1方向为 x轴正方向，原 y轴负方向为 y轴正方向，原 y轴正方向为 z轴正方向，
建立空间直角坐标系，
，
则 ， ，
设 ，则|AB|2＝16t2+19t+4，且 t≤﹣1，
则 ，
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因为对称轴 ，
所以|AB|2＝16t2+19t+4在区间（﹣∞，﹣1]上单调递减，
所以|AB|2min＝1，且无最大值，
所以折叠后的线段 AB长度的取值范围是[1，+∞）．
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