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2025-2026学年五年级下册数学单元高频易错培优提升卷（人教版）
第2单元 因数和倍数
学校： 班级： 姓名： 成绩：
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。
一、选择题
1．若自然数A＝a×b×c（a、b、c均不为0），则A有（ ）个因数。
A．5 B．6 C．8 D．不能确定
2．两个质数的和是18，这样的数一共有（ ）组。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．时代广场做促销活动，准备把56盒牙膏装进袋子里，使每袋牙膏的盒数相同且数量大于1，有（ ）种不同的装法。
A．5 B．6 C．7 D．8
4．下列每组数中，公因数只有1的一组数是（ ）。
A．2和一个奇数 B．一个质数和一个合数 C．连续两个偶数 D．一个奇数和一个合数
5．2025年春节，电影《哪吒2》横空出世，以破100亿的惊人票房成绩强势登顶中国影史票房榜首。据了解，《哪吒2》某日在某平台上播放次数既是2的倍数，又是3的倍数，这部电影当天播放的总次数可能是（ ）。
A．2914 B．3364 C．5796 D．4551
6．下面各组数中，两个数是因数和倍数关系的是（ ）。
A．2.4和0.8 B．3和23 C．1.5和6 D．12和36
7．某小学有52□名学生参加春季实践活动，已知参加活动的学生人数既是2的倍数，又是3的倍数，□里的数是（ ）。
A．0 B．1 C．2 D．3
8．如果“16→8”表示8是16的因数，下面各图中正确表示各数关系的是（ ）。
A．B． C． D．
9．数学上把相差2的两个质数叫“孪生质数”，如3和5都是质数，且3和5相差2，那么3和5 就是一对孪生质数。下列是孪生质数的是（ ）。
A．2和3 B．9和11 C．11和13 D．13和15
10．一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做（ ）。
A．质数 B．合数 C．奇数 D．偶数
二、填空题
11．阳阳和爸爸玩猜数游戏，爸爸说：“这是一个四位数，最高位既是奇数又是合数，百位上是最小的质数和最小的合数的和，最低位既是偶数又是质数，剩下一个数既不是质数也不是合数，也不是0。”这个数是( )。
12．李老师在某学习平台的积分已经达到31091分了，至少再得( )分就是3的倍数；至少再增加( )分就是2和5的倍数。
13．在75，42，30，87，23，108，59中，奇数有( )，偶数有( )，质数有( )，合数有( )，因数有2和3的有( )。
14．在6中，最大填上( )就含有因数2；在49中，至少填上( )就是3的倍数；要使85是2的倍数又是5的倍数，方框里一定要填( )。
15．用0、2、3、5组成一个三位数，使它是2的倍数，其中最大的是( )，最小的是( )；再组成一个三位数，使它是5的倍数，其中最大的是( )。
16．一个数的最大因数和最小倍数都是24，这个数是( )，请写出它的所有因数是( )。奇数与偶数的和是( )，奇数与偶数的积是( )。
17．20的因数有( )，在这些因数中，质数有( )，合数有( )，( )既不是质数也不是合数。
18．一个三位数8□0，要使它同时是2、3、5的倍数，□里最大填( )，最小填( )。
19．对于一个自然数，用与这个数互质且大于2的最小自然数替换这个数，称为一次“互质替换”，在黑板上任意写出一个大于2025的自然数，反复进行“互质替换”，最多经过______次“互质替换”首次出现3。
20．爸爸的手机密码由4个10以内的数字组成，第一个数字是最小的合数，第二个数字既是偶数又是质数，第三个数字既不是质数也不是合数，最后一个数字既是奇数又是合数。解锁密码是( )。
21．从0，1，5，7中选出三个数组成三位数，其中有因数3的最大的奇数是( )，有因数5的最小的偶数是( )，同时是2、3、5倍数的最大的数是( )。
22．《三十六计》或称《三十六策》，是指中国古代三十六个兵法策略。其中数字36的最大因数是( )；比36小的两位数中，既是2的倍数，又是3的倍数的有( )。
23．黑板上写着1至2025共2025个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，在这个数所有可能的取值中，最大值为______。
24．我们约定，自然数中能被3整除的数称为“三合数”，不能被3整除的数称为“三素数”，从1到20的自然数中任取一个“三合数”与一个“三素数”相乘得到84个乘积，则这84个乘积的和为______。
25．小明在期中考试时，语文得79分，常识得90分，数学考得最好。已知小明的三科平均分是个偶数，那么小明数学得______分。
三、判断题
26．任何一个质数加上1后都是偶数。( )
27．两个质数相加，和一定是偶数。( )
28．一个数既是奇数又是合数，这个数最小是9。( )
29．A是B的因数，B是C的因数，所以C是A的倍数。( )
30．2、3、1这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数。( )
四、计算题
31．求出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
24和36 35和50
32．用短除法将下列各数分解质因数。
56 64 84 96
五、作图题
33．一个长方形的面积是30cm2，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有哪些？在方格纸上画出来，并写出30的全部因数。（每个小方格的边长表示1cm）
30的全部因数：（ ）。
34．用16个小正方形拼成长方形或正方形，有几种不同的拼法？请在下面的方格纸中画一画。
六、解答题
35．乐乐在文具店买了2支水笔和6个笔记本，付给营业员50元，营业员找给他5元钱，乐乐看到水笔和笔记本的价格都是整元数，就说营业员给他算错了，请你说说理由。
36．妈妈买了16个苹果，让莉莉把苹果从购物袋中拿出，不许一次拿完，也不许一个一个地拿，每次拿的个数相同，拿到最后正好一个不剩。一共有几种拿法？
37．星期天，东华小学组织3个班的学生去春游。休息时，小郑老师说：“我为每个同学买了一瓶3元的饮料，请大家想一想，一共花了多少钱？”过了一会儿，有三个同学算出不同的结果，小明算的结果是989元，小刚算的结果是637元，小红算的结果是735元，小郑老师笑着说：“你们有一个人算对了。”你认为谁算得对呢？为什么？请说明理由。
38．李老师在文具店买了若干套套尺和圆规，店员说李老师应付85元。按照下面的价格计算，店员说得对吗？
文具名称 单价
套尺 6元/套
圆规 4元/个
39．依依买了一个笔袋、几支钢笔和几本笔记本，付给售货员50元，售货员叔叔找给她25元。依依看了看单价，说：“叔叔，您把账算错啦！”想一想，依依为什么这么快就知道账算错了？
40．小美到文具店购买学习用品。笔记本5元一个，笔袋15元一个，记号笔2元一支。小美买了一些笔记本和笔袋，她付给售货员50元，找回了13元，找的钱数对吗？请说明理由。
41．一块长方形绸布，长是80厘米，宽是72厘米。如果把它剪成若干个大小一样的小正方形，要求不能有剩余布料，且小正方形的边长最大，最多可以剪成多少个小正方形？
42．张奶奶家有一块长方形菜地，菜地的周长是24米，长和宽都是以米为单位的整数，并且都是合数，平均每平方米的菜地要施肥0.2千克。这块菜地共需施肥多少千克？（长和宽不相等）
43．长江两岸的船工以摆渡为生，每天都从南岸出发驶向北岸，再从北岸驶回南岸，不断往返，记船由南岸驶向北岸为1次。摆渡第30次结束时，船在南岸还是北岸？为什么？
44．某社区有60人参加广场舞比赛，这60人要排成一个方队，要求每行和每列的人数都不少于3人，每行的人数多于每列的人数，有几种不同的排法？
45．云云的妈妈在超市买了3桶同样的花生油，付款时售货员说应付257元，云云认为不对。你觉得云云的看法正确吗？说说你的理由。（每桶花生油的单价为整元数）
46．五（2）班部分学生参加全区数学竞赛，每张试卷有50道试题。评分标准是：答对一道给3分，不答的题每道给1分，答错一道扣1分。试问：这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？
47．小明到爷爷办的养牛场去玩。小明问：“爷爷，这里有多少头奶牛呢？"爷爷说：“这群奶牛，4头4头地数，多3头；6头6头地数，多5头；15头15头地数，多14头。而且这群奶牛的数量在150~200 头之间。你计算一下，这群奶牛有多少头？”
48．实验小学抽调35名教师分别到甲、乙两个社区参加创城志愿者服务活动。如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数还是偶数？如果抽调到甲社区的教师人数为偶数呢？请分这两种情况，用你喜欢的方式（如文字、算式、列表等）说明理由。
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参考答案与试题解析
1．D
【分析】题干中仅告知 A 是三个非0自然数的乘积，并未说明a、b、c是否为质数，也未说明它们是否互不相同。因此，A的因数个数是不确定的，可以通过举反例的方法逐一验证选项。
【解析】A.若a＝2，b＝3，c＝5，则A＝2×3×5＝30。30的因数有 1、2、3、5、6、10、15、30，共8个，不是5个。此选项错误。
B.若a＝2，b＝3，c＝5，则A＝30，因数个数为8个，不是6个。此选项错误。
C.若a＝1，b＝2，c＝3，则A＝1×2×3＝6，6的因数有1、2、3、6，共4个，不是8个。此选项错误。
D.由于题干未规定a、b、c是否为质数以及是否互不相同，导致A的因数个数无法确定。此选项正确。
2．B
【分析】列举所有小于18的质数（只有1和它本身两个因数的数）；再逐一验证质数组合。
【解析】小于18的质数有：2、3、5、7、11、13、17；
当第一个数为2时，第二个数为18－2＝16，16不是质数，组合不成立；
当第一个数为3时，第二个数为18－3＝15，15不是质数，组合不成立；
当第一个数为5时，第二个数为18－5＝13，13是质数，组合成立；
当第一个数为7时，第二个数为18－7＝11，11是质数，组合成立；
当第一个数为11时，第二个数为18－11＝7，组合重复；
当第一个数为13时，第二个数为18－13＝5，组合重复；
当第一个数为17时，第二个数为18－17＝1，1不是质数，组合不成立；
两个质数的和是18，这样的数一共有2组。
3．C
【分析】每袋牙膏的盒数相同且数量大于1，只需找出56的所有因数即可解答。
【解析】56＝1×56＝2×28＝4×14＝7×8。
符合条件的装法（每袋数量大于1）：每袋2盒，装28袋；每袋4盒，装14袋；每袋7盒，装8袋；每袋8盒，装7袋；每袋14盒，装4袋；每袋28盒，装2袋；每袋56盒，装1袋。共7种不同装法。
4．A
【分析】公因数是指几个数共有的因数，如果两个数的公因数只有1，那么这两个数是互质的；
【解析】根据分析，我们逐一判断：
A．2和一个奇数：奇数不是2的倍数，那么奇数和2的公因数只有1；
B．一个质数和一个合数：合数可以是质数的倍数，例如3和6；
C．连续两个偶数：偶数都是2的倍数，除了公因数1，还有公因数2；
D．一个奇数和一个合数：奇数和合数可以有多个公因数，例如9和12，它们的公因数是1和3；
所以选项A是正确的。
5．C
【分析】一个数既是2的倍数又是3的倍数，判断2的倍数看个位是否为偶数，判断3的倍数看各位数字之和是否为3的倍数，依次验证选项。
【解析】A．2914：个位是4是2的倍数，2＋9＋1＋4＝16，16不是3的倍数，不符合；
B．3364：个位是4是2的倍数，3＋3＋6＋4＝16，16不是3的倍数，不符合；
C．5796：个位是6是2的倍数，5＋7＋9＋6＝27，27是3的倍数，符合；
D．4551：个位是1不是2的倍数，不符合。
这部电影当天播放的总次数可能是5796。
6．D
【分析】在整数范围内，若整数a能被整数b整除，则a是b的倍数，b是a的因数。据此分析选项。
【解析】A．因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，2.4和0.8是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合；
B．23不能被3整除，所以23不是3的倍数，3不是23的因数，不符合；
C．因数和倍数关系仅在整数范围内讨论，1.5是小数，不满足整数条件，直接排除，不符合；
D．36÷12＝3，商是整数，所以36是12的倍数，12是36的因数，二者有因数和倍数的关系，符合。
两个数是因数和倍数关系的是12和36。
7．C
【分析】根据既是2的倍数特征（个位是0、2、4、6、8），又是3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数），逐一分析选项。
【解析】A．个位为2，是2的倍数；5＋2＋0＝7，7不是3的倍数，所以原数不是3的倍数，A不符合题意；
B．个位为1，不是2的倍数，B不符合题意；
C．个位为2，是2的倍数；5＋2＋2＝9，9是3的倍数，C符合题意；
D．个位为3，不是2的倍数，D不符合题意。
8．B
【分析】箭头指向的数是箭头起点的数的因数，也就是“起点数→因数”，据此判断每个选项。因数的定义，如果a÷b＝c（a、b、c均为非0的自然数），那么b和c是a的因数。
【解析】A．24和48之间，24是48的因数，箭头方向正确；2和24之间，2是24的因数，箭头方向正确；2和48之间，2是48的因数，箭头方向错误；该选项错误；
B．24和48之间，24是48的因数，箭头方向正确；2和24之间，2是24的因数，箭头方向正确；2和48之间，2是48的因数，箭头方向正确；该选项正确；
C．24和48之间，24是48的因数，箭头方向错误；2和24之间，2是24的因数，箭头方向正确；2和48之间，2是48的因数，箭头方向错误；该选项错误；
D．24和48之间，24是48的因数，箭头方向错误；2和24之间，2是24的因数，箭头方向错误；2和48之间，2是48的因数，箭头方向错误；该选项错误。
正确表示各数关系的是图。
9．C
【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。由题意可知，孪生质数是指两个数都是质数且它们的差为2，据此逐一分析各项即可。
【解析】A．2和3都是质数，但它们的差不是2，不符合题意；
B．9不是质数，不符合题意；
C．11和13都是质数，且它们的差为2，符合题意；
D．15不是质数，不符合题意。
是孪生质数的是11和13。
10．B
【分析】仅含1和本身两个因数的数是质数；若除1和本身外还有其他因数，则称为合数。
【解析】根据合数的定义，可知：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
11．9612
【分析】自然数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数；只有1和它本身两个因数的数是质数，除了1和它本身外还有其他因数的数是合数。按数位逐一分析，确定每一位的数字。
【解析】一位数中，既是奇数又是合数的数是9，因此千位是9；
最小的质数是2，最小的合数是4，二者和为2＋4＝6，因此百位是6；
唯一既是偶数又是质数的数是2，因此个位是2；
既不是质数也不是合数、且不为0的数是1，因此十位是1。
综上，组合后得到这个四位数是9612。
12．1 9
【分析】一个数各个数位的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位上是0的数是2和5的倍数，据此解答即可。
【解析】
所以至少再得分就是3的倍数。
所以至少再增加分就是和的倍数。
13．75，87，23，59 42，30，108 23，59 75，42，30，87，108 42，30，108
【分析】奇数：不能被2整除的整数；偶数：能被2整除的整数。
质数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除；合数：一个大于1的自然数，除了1和它本身外，还能被其他自然数整除。
能被2整除的数个位是0、2、4、6、8；能被3整除的数：各位数字之和能被3整除。同时被2和3整除的数：需要同时满足上述两个条件。
【解析】奇数：不能被2整除的数，有75、87、23、59；
偶数：能被2整除的数，有42、30、108；
质数：只有1和它本身两个因数的数，有23、59；
合数：除了1和它本身还有其他因数的数，有75、42、30、87、108；
因数有2和3：即能同时被2和3整除，有42、30、108。
14．8 2 0
【分析】2的倍数的特征是个位上是0、2、4、6、8；3的倍数的特征是一个数各位上的数字之和是3的倍数；5的倍数的特征是个位上是0或5；同时是2和5的倍数的数，个位上必须是0。
【解析】根据2的倍数特征，个位可以是0、2、4、6、8，最大为8。
4＋9＝13，13至少加2得15，15是3的倍数，所以至少填上2。
根据2和5的倍数特征，个位只能是0，所以填0。
15．532 230 530
【分析】2的倍数特征：个位必须是0、2、4、6、8，本题可用数字为0、2，因此个位只能是0或2；5的倍数特征：个位必须是0或5，本题可用数字为0、5，因此个位只能是0或5。求最大数时，高位优先选最大数字；求最小数时，高位优先选最小非0数字，同时满足倍数特征。
【解析】①要组成的三位数是2的倍数中最大的，那么百位优先选最大的数5，十位选3，个位选2，组成532；
②要组成的三位数是2的倍数中最小的，百位不能为0，否则不是三位数，那么百位优先选除0之外的最小的数2，个位只能是0，因此十位选3，组成230；
③要组成的三位数是5的倍数中最大的，那么百位优先选最大的数5，个位只能是0，十位选3，组成530。
16．
24
1、2、3、4、6、8、12、24
奇数
偶数
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。根据奇数和偶数的运算性质判断奇数与偶数的和、奇数与偶数的积。
【解析】一个数的最大因数和最小倍数都是24，这个数是24；
24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以24的所有因数是：1、2、3、4、6、8、12、24；
奇数与偶数的和是奇数；
奇数与偶数的积是偶数。
17．1、2、4、5、10、20 2、5 4、10、20 1
【分析】找一个数的因数的方法，用列乘法算式的方法。一个数（0除外）的因数只有1和它本身两个因数，这样的数就是质数；一个数（0除外）的因数除了1和它本身以外，还有其他的因数，这样的数就是合数；1既不是质数也不是合数。据此解答。
【解析】20＝1×20＝2×10＝4×5
20的因数有1、2、4、5、10、20，在这些因数中，质数有2、5，合数有4、10、20，1既不是质数也不是合数。
18．7 1
【分析】□里填的是0到9之间的数字。因为该三位数的个位数字是0，则该数是2、5的倍数；若该数还是3的倍数，则这个三位数各个数位上的数字之和还需要是3的倍数，据此解答。
【解析】8＋□＋0＝8＋□
8＋□的和必须能被3整除，所以□里填1、4、7时这个三位数同时是2、3、5的倍数，□里最大填7，最小填1。
19．2
【分析】明确“互质替换”的含义。根据不同类型自然数判断“互质替换”的情况，确定最多经过的“互质替换”次数
【解析】根据“互质替换”的定义，每次替换得到的数是与原数互质且大于 2 的最小自然数。我们要找大于2的自然数，首先考虑3。
第一步：判断何时替换结果为3。如果当前的数不是3的倍数，那么它与3的公因数只有 1，即它们互质。因为3是大于2的最小自然数，所以替换后的结果就是3。如果当前的数是3的倍数，那么它与3的公因数至少有3，即它们不互质。所以替换后的结果一定不是 3。
第二步：分析替换过程。 情况一：如果在黑板上写出的数不是3的倍数。根据第一步的分析，经过1次“互质替换”，得到的数就是3。
情况二：如果在黑板上写出的数是3的倍数。第一次替换：因为原数是3的倍数，所以替换后的数与原数互质，那么这个替换后的数一定不是3的倍数（否则它们就有公因数3）；第二次替换：因为第一次替换后的数不是3的倍数，根据第一步的分析，它与3互质，所以第二次替换得到的数就是3。
第三步：得出结论，无论起始数是多少，只要它是3的倍数，最多经过2次替换就能得到 3；如果它不是3的倍数，经过1次替换就能得到3。 题目要求“最多”经过多少次，且起始数大于2025，找到大于 2025 且是 3 的倍数的数，例如 2028，所以最多经过2次。
20．4219
【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，除了1和它本身，还有其它因数，这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数；不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数。
【解析】第一个数字是最小的合数是4；
第二个数字既是偶数又是质数是2；
第三个数字既不是质数也不是合数是1；
第四个数字既是奇数又是合数是9。
解锁密码是4219。
21．705 150 750
【分析】组成有因数3最大的奇数：个位是奇数；还要满足三个数加起来的和能够被3整除；最大的三位数，百位尽量大，选7，十位选5的话，个位是奇数，个位就是1，但7＋5＋1不满足被3整除，百位是7，十位是0时，剩余数字1、5，个位选5，和为7＋0＋5＝12，能被3整除，并且是奇数，所以有因数3的最大的奇数是705；
组成最小的偶数，个位是0，另外几个数，把数从高位按从小到大排列，即150；
同时是2、3、5倍数的最大的数，百位选7，因为最大；个位是0，能同时被2、5整除；十位选剩余最大的数字5，且7＋5＋0＝12，能被3整除，得到的数是750。
【解析】由分析可得：从0，1，5，7中选出三个数组成三位数，其中有因数3的最大的奇数是（705），有因数5的最小的偶数是（150），同时是2、3、5倍数的最大的数是（750）。
22．36 12、18、24、30
【分析】一个数最大的因数是它本身。既是2的倍数又是3的倍数的数，是6（2×3＝6）的倍数，需要找出比36小的两位数，也就是从10到35之间所有6的倍数。
【解析】36的最大因数是36。
在10~35之间，6的倍数有12（6×2＝12）、18（6×3＝18）、24（6×4＝24）、30（6×5＝30），所以既是2的倍数，又是3的倍数的有12、18、24、30。
23．2024
【分析】要想最后剩下的数最大，就要尽量擦去较小的数，保留较大的数。按照规则每次擦去两个数写上它们的平均数，依次从最小的数开始操作，逐步合并计算，最后就能得到最大的结果。
【解析】先求剩下数的最大，那么擦去的数应该尽量小，找到规律：
首先擦去1，3，写上2，
擦去2，2，写上2，
擦去2，4，写上3，
擦去3，5，写上4，
擦去4，6，写上5，
…，
擦去2023，2025，写上2024，
所以剩下数的最大值为2024。
在这个数所有可能的取值中，最大值为2024。
24．9261
【分析】先找出1到20的自然数里所有的“三合数”和“三素数”。三合数有：3、6、9、12、15、18；三素数有：1、2、4、5、7、8、10、11、13、14、16、17、19、20。所有乘积的和＝3×1＋3×2＋…＋3×20＋…＋18×19＋18×20，根据乘法分配律的逆运算，分别求出所有“三合数”与“三素数”的和，再相乘。
【解析】由分析可知，这84个乘积的和列式为：
3×1＋3×2＋…＋3×20＋…＋18×19＋18×20
＝3×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20）＋…＋18×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20）
＝（3＋6＋9＋12＋15＋18）×（1＋2＋4＋5＋7＋8＋10＋11＋13＋14＋16＋17＋19＋20）
＝63×147
＝9261
这84个乘积的和为9261。
25．95
【分析】总数＝平均数×份数；奇数×偶数＝偶数，则总分是偶数；奇数＋偶数＝奇数，奇数＋奇数等一偶数。所以数学分数一定是奇数，数学考得最好，则数学分数大于90分；并且总分数是3的倍数，3的倍数特征：各个数位上的数字和是3的倍数；据此即可求解。
【解析】三科平均分是个偶数，语文得79分，是奇数，常识得90分，是偶数，则数学成绩是奇数，且大于90分。
大于90的奇数有：91，93，95、97、99。
如果数学成绩得91分：79＋90＋91＝260；2＋6＋0＝8，8不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不是91分。
如果数学成绩得93分：79＋90＋93＝262；2＋6＋2＝10，10不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不是93分。
如果数学成绩得95分：79＋90＋95＝264；2＋6＋4＝12，12能被3整除，符合题意，所以数学成绩可能是95分。
如果数学成绩得97分：79＋90＋97＝266；2＋6＋6＝14，14不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不可能是97分。
如果数学成绩得99分：79＋90＋99＝268；2＋6＋8＝16，16不能被3整除，不符合题意，所以数学成绩不可能是99分。
小明数学得95分。
26．×
【分析】大于1的自然数，除了1和它本身外，没有其他因数叫做质数。能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。
【解析】2是质数，也是质数中唯一的偶数，，3是奇数。
所以，题干中“任何一个质数加上1后都是偶数”的说法错误。
故答案为：×
27．
×
【分析】本题考查质数与奇数、偶数的性质。大部分质数是奇数，但 2 是唯一的偶质数。根据奇偶性运算规律，奇数加奇数等于偶数，但偶数加奇数等于奇数。需要验证是否存在两个质数相加和为奇数的情况，即其中一个质数为 2 的情况。
【解析】质数是指在大于 1 的自然数中，除了 1 和它本身以外不再有其他因数的数。2 是质数中唯一的偶数，其余质数均为奇数。例如：2 和 3 都是质数，2 加 3 等于 5，5 是奇数。因此两个质数相加，和不一定是偶数。原题说法错误。
故答案为：×
28．√
【分析】在自然数中，不是2的倍数的数叫做奇数。一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
【解析】在自然数中，1 既不是质数也不是合数；
3、5、7 只有1和它本身两个因数，是质数；
9是奇数，且9的因数有 1、3、9，除了1和它本身还有因数3，所以9是合数。
因此，既是奇数又是合数的最小数是9，原题说法正确。
故答案为：√
29．√
【分析】根据定义，在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说余数为0），我们就说除数是被除数的因数（也称约数），被除数是除数的倍数。若A是B的因数，则B是A的倍数；若B是C的因数，则C 是B的倍数。利用倍数关系的传递性，可以推断C是A的倍数。可以通过具体数字举例验证结论的正确性。
【解析】根据因数与倍数的意义：在非零自然数范围内，如果数A是数B的因数，那么数B就是数 A的倍数；如果数B是数C的因数，那么数C就是数B的倍数。
因为C是B的倍数，B是A 的倍数，所以C 是A 的倍数。
例如：2是4的因数，4是8的因数，8是2的倍数，符合题意。
故原题说法正确。
故答案为：√
30．√
【分析】一个数各位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数，据此判断。
【解析】2＋3＋1
＝5＋1
＝6
6÷3＝2
6是3的倍数，所以2、3、1这三个数字，无论怎样排列成三位数，一定是3的倍数。
故答案为：√
31．（1）最大公因数是12，最下公倍数是72
（2）最大公因数是5，最下公倍数是350
【分析】根据求最大公因数和最小公倍数的方法，先给每组数中的每个数分解质因数，再找出两个数公有的因数，这几个因数相乘即为最大公因数；这两个数的公因数再与两个数各自的因数相乘，乘积就是这两个数的最小公倍数；据此解答即可。
【解析】（1）24＝2×2×2×3
36＝2×2×3×3
故最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×2×2×3×3＝72
（2）35＝5×7
50＝5×5×2
故最大公因数是5，最小公倍数是5×5×7×2＝350
32．56＝2×2×2×7；
64＝2×2×2×2×2×2；
84＝2×2×3×7；
96＝2×2×2×2×2×3
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质数的连乘积形式，一般先从简单的质数试着分解。
【解析】
56＝2×2×2×7；
64＝2×2×2×2×2×2；
84＝2×2×3×7；
96＝2×2×2×2×2×3。
【点评】此题主要考查用短除法分解质因数，要注意分解质因数的书写形式。
33．（1）见详解；
（2）1；2；3；5；6；10；15；30。
【分析】根据30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，在方格图上分别画出长为30厘米、宽为1厘米；长为15厘米、宽为2厘米；长为10厘米、宽为3厘米；长为6厘米、宽为5厘米的长方形，并写出30的全部因数即可。
【解析】（1）
（2）30的全部因数：1；2；3；5；6；10；15；30。
34．见详解
【分析】根据题意，用16个小正方形拼成长方形或正方形，也就是将16拆分为两个整数相乘，能拆出几个就有几种不同的拼法；据此解答。
【解析】16＝1×16，16＝2×8，16＝4×4；
据此，长方形的长和宽可以是：1和16，2和8；
正方形的边长为4；
画图如下：
【点评】此题考查因数与倍数的知识，关键能够掌握求一个数的因数的方法。
35．理由见详解
【分析】根据总价＝单价×数量可知：2支水笔的总价＝水笔的单价×2，6个笔记本的总价＝笔记本的单价×6，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，据此可知：2支水笔和6个笔记本的总价都是偶数，偶数＋偶数＝偶数，据此可知：乐乐买文具花的总钱数一定是偶数，找回的钱数＝乐乐付的钱数－花去的钱数，又因为偶数－偶数＝偶数，所以乐乐付给营业员50元，找回的钱数一定是偶数，据此判断。
【解析】答：乐乐说得对，营业员算错了，因为乐乐买2支水笔和6个笔记本花去的钱数都是偶数，付给营业员的钱数50元也是偶数，则找回的钱数应该也是偶数，而实际找回的钱数5是奇数，所以营业员算错了。
36．3种
【分析】根据每次拿的个数相同且正好拿完，说明每次拿的个数是16的因数。根据题意需要从16 的所有因数中排除1和16这两个数，剩下的因数个数即为拿法的种数。
【解析】16的因数有：1，2，4，8，16。共5个。
5－2＝3（种）
答：一共有3种拿法。
37．
小红算得对；理由见详解
【分析】根据“总价＝单价×数量”可知总钱数一定是3的倍数。3的倍数特征：各个数位上的数字之和能被3整除。分别验证三个同学算出的结果是否是3的倍数。
【解析】9＋8＋9＝26，26不是3的倍数，所以989不是3的倍数；
6＋3＋7＝16，16不是3的倍数，所以637不是3的倍数；
7＋3＋5＝15，15是3的倍数，所以735是3的倍数。
答：小红算得对。
38．不对
【分析】偶数×奇数＝偶数，偶数×偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，据此分析解答。
【解析】6 和 4 都是偶数。
因为购买的数量是自然数，偶数×自然数，积是偶数。
所以套尺的总价钱是偶数，圆规的总价钱也是偶数。
偶数＋偶数＝偶数
所以应付的总钱数一定是偶数。
因为 85 是奇数，
答：所以店员说得不对。
39．见详解
【分析】首先判断依依的付款和各种商品的单价是偶数还是奇数，然后依据奇偶加减的运算规律进行推断。
【解析】笔袋、钢笔、笔记本的单价都是偶数，它们的总价也一定是偶数，三个偶数的和是偶数，50元减去一个偶数，差也一定是偶数。而售货员叔叔找给她25元是奇数，所以一看就知道账算错了。（答案不唯一，合理即可）
【点评】奇偶加减的运算规律：偶数±偶数＝偶数，偶数±奇数＝奇数； 奇数±奇数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；
40．不对；理由见详解
【分析】5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。
【解析】37÷5＝7……2
找的钱数不对。
答：因为笔记本和笔袋的价钱都是5的倍数，所以花费的钱数也是5的倍数，37不能被5整除，不是5的倍数，所以找的钱数不对。
41．
90个
【分析】求出长和宽的最大公因数，就是剪成的最大正方形的边长，再看一排（即长）能剪多少个，再看一列（即宽）能剪多少个，最后相乘即可。
【解析】80和72的最大公因数是8，所以，小正方形的边长就是8厘米。
80÷8＝10（个）
72÷8＝9（个）
10×9＝90（个）
答：最多可以剪成个小正方形。
42．6.4千克
【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，长与宽之和等于周长除以2，也就是12米；合数：一个数除了1和它本身，还有其他因数的数是合数；据此找出长和宽，长方形的面积＝长×宽，把数据代入求出面积，再乘每平方米需要的肥料重量即可。
【解析】长与宽之和：
24÷2＝12（米）
12以内的合数有4、6、8
12－4＝8（米）
8×4＝32（平方米）
32×0.2＝6.4（千克）
答：这块菜地共需施肥6.4千克。
43．南岸；理由见详解
【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
判断摆渡结束次数为奇数还是偶数，船在不同的岸，据此发现规律，并按规律解答。
【解析】摆渡第1次结束时，船在北岸；第2次结束时，船在南岸；第3次结束时船在北岸；第4次结束时，船在南岸……以此类推，摆渡结束次数为奇数时，船在北岸；摆渡结束次数为偶数时，船在南岸。30为偶数，所以摆渡第30次结束时，船在南岸。
44．4种
【分析】根据题意，行数×列数＝60，即行数和列数是60的一对因数，并且需要满足条件：行数≥3，列数≥3，每行人数＞每列人数，根据乘法算式列出60的因数，看满足条件的有几对即可。
【解析】1×60＝60（1＜3，不符合）
2×30＝60（2＜3，不符合）
3×20＝60（每行20人，每列3人，符合条件）
4×15＝60（每行15人，每列4人，符合条件）
5×12＝60（每行12人，每列5人，符合条件）
6×10＝60（每行10人，每列6人，符合条件）
综上：有4种不同排法。
答：有4种不同的排法。
45．正确；理由见详解
【分析】单价×数量＝总价。3桶油的价钱应该是3的倍数，3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
【解析】花生油单价×3桶＝应付钱数
2＋5＋7＝14
257不是3的倍数。
答：云云的看法正确。因为每桶花生油的单价为整元数，3桶同样的花生油的价钱应该是3的倍数，257不是3的倍数，付257元不对。
46．能确定是偶数
【分析】根据题意，可以设每人答对a道，答错b道，则不答的题有（50－a－b）道；那么答对的题的得分是3a分，不答的题的得分是1×（50－a－b）分，答错的题的得分是（1×b）分，再相加，即是每人的总得分；然后分析这个总分数是奇数还是偶数，设这部分学生人数是偶数或奇数，根据奇数与偶数的运算性质确定这部分学生得分的总和能否确定是偶数还是奇数。
奇数和偶数的运算性质：
偶数＋偶数＝偶数，奇数＋奇数＝偶数，奇数＋偶数＝奇数；
奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数。
【解析】设每人答对a道，答错b道，则不答的题有（50－a－b）道，那么每人的得分是：
3×a＋1×（50－a－b）－1×b
＝3a＋50－a－b－b
＝（2a－2b＋50）（分）
无论a、b是奇数还是偶数，2a、2b都是偶数，50也是偶数，偶数－偶数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以（2a－2b＋50）是偶数，即每人的得分是偶数。
如果这部分学生人数是偶数，则偶数×偶数＝偶数；
如果这部分学生人数是奇数，则偶数×奇数＝偶数。
答：这部分学生得分的总和能确定是偶数。
47．179头
【分析】根据题意可知，奶牛的数量是比15的倍数多14，奶牛的数量在150~200 头之间，据此先找出符合的数；然后判断这些数是否符合比4的倍数多3，且是否符合比6的倍数多5；据此解答。
【解析】比15的倍数多14，且在150~200之间的数有：
15×10＋14
＝150＋14
＝164
15×11＋14
＝165＋14
＝179
15×12＋14
＝180＋14
＝194
164÷4＝41
164不符合题意；
179÷4＝44……3
179÷6＝29……5
179符合题意；
194÷4＝48……2
194不符合题意。
答：这群奶牛有179头。
【点评】本题可从“比15的倍数多14”推导出符合另外两种情况的数。
48．偶数；奇数；理由见详解
【分析】由运算性质的奇偶性可知，奇数与奇数的差为偶数，奇数与偶数的差为奇数，假设出抽调到甲社区的教师人数，求出抽调到乙社区的教师人数，最后判断乙社区的教师人数为奇数还是偶数，据此解答。
【解析】情况1：假设抽调到甲社区了15人。
35－15＝20（人）
因为20为偶数，所以当抽调到甲社区的教师人数为奇数时，抽调到乙社区的教师人数为偶数。
情况2：假设抽调到甲社区了10人。
35－10＝25（人）
因为25为奇数，所以当抽调到甲社区的教师人数为偶数时，抽调到乙社区的教师人数为奇数。
答：如果抽调到甲社区的教师人数为奇数，那么抽调到乙社区的教师人数为偶数，如果抽调到甲社区的教师人数为偶数，那么抽调到乙社区的教师人数为奇数。
【点评】熟练掌握奇数和偶数的运算性质是解答题目的关键。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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