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参考答案与试题解析
一．选择题（共 10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D C A D D A A
二．填空题（共 5小题）
11． （x﹣3y）（x+3y） ．
12． ﹣1 ．
13．y＝﹣x﹣2 （答案不唯一） ．
14． ．
15．（1） 45° ．（2） 10 ．
三．解答题（共 9小题）
16．计算： ．
解：原式＝9+1+1 2 ＝13 ．
17．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E为 AD延长线上一点，AE＝AC，连接 BE，∠CBE＝∠BAE
．求证：BE＝CD．
证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAC，∵∠CBE＝∠BAE，
∴∠CBE＝∠EAC（等量代换），∵∠CDA＝∠BDE，
∴∠E＝180°﹣∠BDE﹣∠CBE＝180°﹣∠CDA﹣∠EAC＝∠C，
在△ABE与△ADC中， ∴△ABE≌△ADC（ASA），∴BE＝CD．
18．某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物 AB的高度，已知无人机在距离水平地面 160m空中水平
飞行，无人机在 C，D两点分别测得建筑物顶端 A的俯角为 22.5°，45°，C，D两点的水平距离为
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，A，B，C，D四点在同一平面上．求建筑物 AB的高度．
解：延长 BA交 CD于点 E，则∠AEC＝90°，EB＝160m，
∵∠ADE＝45°，∠C＝22.5°，∴∠CAD＝45°﹣22.5°＝22.5°，∴∠CAD＝∠C，
∴AD＝CD＝60 m，∴AE＝60 sin45°＝60（m），∴AB＝160﹣60＝100（m）．
答：建筑物 AB的高度为 100m．
19．人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动．宝安区在某学
校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是 A．决策类人工智能、B．人工智
能机器人、C．语音类人工智能、D．视觉类人工智能．每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随
机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图：
A． 决策类人工智能 B． 人工智能机器人
C． 语音类人工智能 D． 视觉类人工智能
项目 选择人数 频率
A．决策类人工智能 8 a
B．人工智能机器人 b 0.25
C．语音类人工智能 28 c
D．视觉类人工智能 24 0.3
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（1）填空：a＝ 0.1 ，b＝ 20 ；扇形统计图中 C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角的度
数为 126° ；
（2）若该中学共有 800名九年级学生，那么估计该中学选择“B（人工智能机器人）”专业意向的学生
有 200 人；
（3）已知甲乙两位同学都选了“A（决策类人工智能）”，丙同学选了“B（人工智能机器人）”，丁同学
选了”C（语音类人工智能）”，从中选 2人到深圳华为总部观摩学习，请利用画树状图或列表的方法，
求出这两位同学选的项目一样的概率．
解：（1）调查的学生人数为 24÷0.3＝80（人），
∴a＝8÷80＝0.1，b＝80﹣8﹣28﹣24＝20，
C（语音类人工智能）专业所对应的圆心角＝0.35×360°＝126°，
故答案为：0.1；20；126°；
（2）800×0.25＝200（人），
故答案为：200；
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
两位同学选的项目一样的结果有 2种，共有 12种等可能的结果，
∴概率为 ．
20．如图，一次函数 y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数 的图象相交于 A（1，3），B（n
，﹣1）两点，分别连接 AO和 BO．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出 y1＞y2时，x的取值范围；
（3）求△ABO的面积．
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解：（1）∵反比例函数 的图象经过 A（1，3），B（n，﹣1）两点，
∴m＝1×3＝﹣n，∴m＝3，n＝﹣3，
∴反比例函数的表达式为：y2 ，点 B（﹣3，﹣1），
将 A（1，3），B（﹣3，﹣1）代入 y1＝kx+b，得 ，解得
∴一次函数的表达式为：y1＝x+2；
（2）观察一次函数和反比例函数的图象得：当 y1＞y2时，x的取值范围是：﹣3＜x＜0或 x＞1；
（3）对于 y1＝x+2，令 y＝0，则 x+2＝0，解得 x＝﹣2，
∴C点坐标为（﹣2，0），∴S△AOB 4．
21．如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，过点 C作 AD的垂线，垂足为点 E．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若 AD＝2CE，OA ，求阴影部分的面积．
（1）证明：连接 OC，
由条件可知∠CAO＝∠ACO，∵C是 的中点，∴ ，∴∠BAC＝∠EAC，
∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AE，∵CE⊥AD，∴CE⊥OC，∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接 DB、OD，BD，OC交于点 F，由条件可知∠EDB＝90°，∵∠AEC＝∠ECO＝90°，
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由矩形性质可知 DF＝EC，∠DFC＝90°，∴OC⊥BD，∴DF＝FB，
∴DB＝2DF＝2EC，∴AD＝DB，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∴∠DOA＝2∠DBA＝90°，
∴ ．
22．武汉欢乐谷是华中地区超受欢迎的主题乐园，位于东湖畔，占地 35万平方米，拥有 38个室外游乐项
目，过山车是其经典项目之一．如图所示，以 OE所在直线为 x轴，OF所在直线为 y轴建立平面直角
坐标系，F→E→G为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线．其中 米， 米（轨
道厚度忽略不计）．
（1）求抛物线 F→E→G的函数关系式；
（2）在轨道距离地面 米处有两个位置 P和 G，当过山车运动到 G处时，平行于地面向前运动了 1.5
米至 K点，又进入下坡段 K→H（K接口处轨道忽略不计，点 H为最低点）．已知轨道抛物线 K→H→Q
的形状与抛物线 P→E→G完全相同，求 OH的距离；
（3）现需要在轨道下坡段 F→E进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架 AM、CM、BN、
DN，且要求 AB＝2OA，已知这种材料的价格是 50000元/米，如何设计支架，会使造价最低？最低造价
为多少元？
解：（1）设抛物线解析式为 ，∴ ，解得： ，
∴抛物线 F→E→G的函数关系式为 ．
（2）当 时， ，∴x2＝8，x1＝1，∴PK＝7+1.5＝8.5，PG＝8﹣1＝7，
∴EH＝PK＝8.5，∴ 米．
（3）设 A（t，0），则 B（3t，0），∴AM+CM+BN+DN
，∵ ，
∴当 时，支架最短，为 12米，
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此时，最低造价为 12×50000＝600000元．
23．综合与实践
（1）【问题发现】
在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图 1，已知正方形 ABCD，
E为对角线 AC上一动点，过点 C作垂直于 AC的射线 CG，点 F在射线 CG上，且∠EBF＝90°，连接
EF．通过观察图形，直接写出 AE与 CF的数量关系：AE＝CF ．
（2）【类比探究】
兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图 2，已知矩形 ABCD，
，AD＝2，E为对角线 AC上一动点，过点 C作垂直于 AC的射线 CG，点 F在射线 CG上，
且∠EBF＝90°，连接 EF．请判断线段 AE与 CF的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展应用】
在（2）的条件下，点 E在对角线 AC上运动，求当四边形 BECF关于直线 EF对称、四边形 BECF为
矩形这两种情况时，线段 BF的长度分别是多少？简述理由．
解：（1）AE与 CF的数量关系为 AE＝CF；理由如下：
∵四边形 ABCD是正方形，E为对角线 AC上一动点，
∴∠ABC＝90°，AB＝CB，∠BAE＝∠BCE＝45°，∵∠EBF＝90°，
∴∠ABC＝∠EBF＝90°，即∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBF＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，∵AC⊥CG，∴∠ECF＝90°，又∵∠BCE＝45°，∴∠BCF＝45°＝∠BAE，
在△ABE和△CBF中， ，∴△ABE≌△CBF（ASA），∴AE＝CF，
故答案为：AE＝CF；
（2） ；理由如下：
∵四边形 ABCD是矩形， ，AD＝2，
∴ ，
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∴ ，∵∠EBF＝90°，∴∠ABC＝∠EBF＝90°，
∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBF＝90°，∴∠ABE＝∠CBF，
∵AC⊥CG，∴∠ECF＝90°，∴∠BCF+∠BCE＝∠BCE+∠BAE＝90°，
∴∠BCF＝∠BAE，∴△ABE∽△CBF，∴ ，∴ ；
（3）当四边形 BECF关于直线 EF对称时， ；当四边形 BECF为矩形时，BF＝1．理由如下：
①当四边形 BECF关于 EF所在直线对称时，如图 3，此时 EF⊥BC交于点 H，
则 BF＝CF，BHF＝90°， ，∴BHF＝∠ABC＝90°，∠FBC＝∠BCF，
∵∠ECF＝90°，∴∠ACB+∠BCF＝∠BFH+∠FBC＝90°，∴∠ACB＝∠BFH，
∴△BHF∽△ABC，∴ ，在矩形 ABCD中， ，
由勾股定理得： ， ，∴ ，
解得： ；
②当四边形 BECF为矩形时，如图 4，
则∠BEC＝∠BEA＝90°，CE＝BF，∴∠BAE+∠ABE＝90°，
∵四边形 ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠EBC＝90°，∴∠BAC＝∠EBC，
∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△BEC，∴ ，∵BC＝2，AC＝4，
∴ ，解得：CE＝1（经检验，是分式方程的解，且符合题意），
∴BF＝CE＝1，
综上所述，当四边形 BECF关于直线 EF对称时， ；当四边形 BECF为矩形时，BF＝1．
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24．如图，直线 l：y＝x+4与 y轴，x轴分别交于点 A，B，抛物线 C1：y bx+c经过点 A，B，
交 x轴于另一点 C，点 E为线段 OA上一动点，直线 CE交抛物线于点 D．
（1）填空：b＝ ﹣1 ，c＝ 4 ；
（2）若 CE：ED＝2：3，求点 D的坐标；
（3）在（2）的条件下，抛物线上有一动点 P，过点 P作 x轴的垂线分别交直线 l和直线 CE于点 M，
N，设 PM+PN＝d，点 P的横坐标为 m（﹣3≤m≤2）．
①求 d关于 m的函数关系式；
②求满足 d为整数的点 P的个数．
【解答】解：（1）在 y＝x+4中，当 x＝0时，y＝4；当 y＝0时，x＝﹣4，
∴点 A（0，4），点 B（﹣4，0），把点 A（0，4），点 B（﹣4，0）代入 y x2+bx+c得：
，
解得： ，即 b的值为﹣4，c的值为 4；故答案为：﹣1，4；
（2）由（1）得 y x+4，当 y＝0时， x+4＝0，解得：x＝2或 x＝﹣4，
∴点 C（2，0），∴OC＝2，
如图 1，过点 D作 DG∥y轴，交 BC于点 G，
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∴ ，∵CE：ED＝2：3，∴ ，
∴OG＝3，即点 D的横坐标为﹣3，当 x＝﹣3时，y 9+3+4＝2.5，
∴点 D的坐标为（﹣3，2.5）；
（3）设 CD的解析式为：y＝kx+a，则 ，解得 ，
∴直线 CD的解析式为：y x+1；
由题意得：P（m， m+4），M（m，m+4），N（m， m+1），
①分两种情况：
如图 2，﹣3≤m＜0，
∵PM+PN＝d，
∴d m2﹣m+4﹣m﹣4+（ m2﹣m+4 m﹣1） m2﹣2m m2 m+3＝﹣m2 m
+3；
如图 3，0≤m≤2，
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∵PM+PN＝d，∴d＝m+4﹣（ m2﹣m+4）+（ m2﹣m+4 m﹣1）
m2+2m m2 m+3 m+3；
综上，d关于 m的函数关系式为：d ；
②当﹣3≤m＜0时，如图 2，d＝﹣m2 m+3＝﹣（m ）2 ，
∴当 m＝0时，d＝3，
当 m 时，d 4 ，
当 m＝﹣3时，d＝﹣9 （﹣3）+3 ，
∴ d≤4 中的整数 d有 2，3，4，三个，
由对称性可知：d＝2时点 P有一个，d＝3时点 P有一个，d＝4时点 P有两个，
则满足 d为整数的点 P的个数有 4个；
当 0≤m≤2时，如图 3，d m+3；
∵此时 d随着 m的增大而增大，
∴当 m＝2时，d＝6，当 m＝0时，d＝3，
∴3≤d≤6中的整数有 3，4，5，6，即满足 d为整数的点 P的个数有 4个，
综上可得：满足 d为整数的点 P的个数为 4+4＝8（个）．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2 0 2 6 /3 /2 5 11 :3 2 :4 8；用户：2 4 9 0 0 9；邮箱：3 3 2 6 2 9 4 5 7@ q q .c om；学号：2 4 9 0 0 9
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◆
些都区八角楼教联体2025-2026学年度第一阶良监测
情在各湖日山答巡人减内作容，超出株色短形边松以定×减的学安效！
数学试卷
.6分)
20《8分)〔1)
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真空2本大3，小分，5分
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三、解将配〔本大医共y爆.共5分》
1(i分)a,〔3)2+〔-1)+-214行°+in+5-2.
冬的恩区内汴答，州出色形表定区前无效！
人消在爷恩日门谷题区装内作者，超山果丝妇「边框取烂区说约谷煞无效！
卉在么装口的青思取吸内汴将，州中铜色师形对中表定民战前将深无发！
销任齐想口的容装又装内作爷，超，螺边杯职烂不速内治察无较！
青在各目的存候内作答。超中偏向坏市效壮老对K小发1客常木资1
22.【16分)
2.11分
24.(12分(1)：-
1)【类发利】
1)
2)
(3【h空用】曾都区八角楼教联体2025-2026第一阶段质量监测
数学试卷
(试卷共4页，满分120分，时间120分钟)
一、选择题（共10题，每题3分，共30分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1。有理数0，-4,3，-2中，最小的数是()
A.0
B.-4
C.3
D.-2
2。如图所示几何体的俯视图为()
主视方向A.
c.■
3。下列运算正确的是()
A.x2x4=x8B.(x-1)2=x2-1C.(-m2)3=-m5D.m2+m3=m3
4。如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O(即跷跷板的中点)到地面的距离是60c,当淇淇
从水平位置CD垂直上升15cm时，嘉嘉离地面的高度是()
A.15cm
B.30cm
C.40cm
D.45cm
淇洪
120
第4题图
第7题图
第8题图
5。不等式组2x+1>5
的解集是()
(1-3x≥-8
A.X<2
B.x≥3
C.2D.无解
6。如表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温，比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动
情况，下列说法正确的是(
)
日期气温
2月2日
2月3日
2月4日
2月5日
2月6日
最高/℃
12
6
10
9
P
最低/℃
1
-2
-1
0
2
A.日最高气温的波动大
B.日最低气温的波动大
C.一样大
D.无法比较
7。如图，用半径为24cm,圆心角为120°的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，
这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是()
A.4πcm
B.8πcIm
C.12πcm
D.16ntcm
8。如图，在ABCD中，点P是BC边上的动点，连接AP,DP,E是AD的中点，F是PD的中点，点P
从B点向C点的运动的过程中，EF的长度()
A.保持不变B.逐渐增大C.先增大再减小D.先减小再增大
9。如图，△ABC的边BC与⊙0相切于点B,点A在⊙0上，AC经过圆心O,且∠C=40°，P为劣弧
AB上一动点，连接AP,BP,则∠P的度数为()
A.115
B.125
C.1309
D.140°
第1页（共4页）》
3,0)x
L
S
第9题图
第10题图
第14题图
第15题图
10.如图所示是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过A点(3,0)，二次函数图象对称轴为直线x
=1,给出五个结论：①b>0:②当x<1时，y随着×的增大而增大：③a-b+c<0:④4a-2b+c>0:
⑤am24bm-a-b≤0.其中正确结论是(
A.①②⑤
B.①③④
c.①④⑤
D.②③④
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.分解因式：x2-9y2=
12.在平面直角坐标系中，点A(-5,b)关于原点对称的点为B(a,6),则(atb)2025=
13.写出一个过点(0，-2)，且函数值y随自变量x的增大而减小的一次函数的解析式：
14.如图是某设备的局部设计电路图，随机闭合三个开关S1,S2,S,中的两个，则灯泡L3亮起来的概率
是
15。如图，正方形ABCD中，AD=12,点E是对角线BD上一点，连接AE,过点E作EF⊥AE,交BC
于点F,连接AF,交BD于点G,将△EFG沿EF翻折，得到△EFM,连接AM,交EF于点N,若点F
是BC边的中点，则①∠AFE的度数为
°；②线段AM的长是
三、解答题（共9题，共75分）
16.(6分)计算：（写）2+(-1)2026+(m-2014)°+sin60°+V3-2.
17.(6分)已知：如图，AD是△ABC的角平分线，E为AD延长线上一点，AE=AC,连接BE,∠CBE
=∠BAE.求证：BE=CD
D
y=kx+b
C22.5V45
7777777779n7地面
第17题图
第18题图
第20题图
18.(6分)某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物AB的高度，己知无人机在距离水平地面160m空
中水平飞行，无人机在C,D两点分别测得建筑物顶端A的俯角为22.5°，45°，C,D两点的水平距离
为60V√2m,A,B,C,D四点在同一平面上.求建筑物AB的高度.
19。(8分)人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动，随州市
曾都区在某学校九年级开展“人工智能项目化学习活动”，设置了四个类型，分别是A.决策类人工智能、
B.人工智能机器人、C.语音类人工智能、D.视觉类人工智能.每名学生只选择其中一个项目进行学习，
现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下统计图：
第2页（共4页）

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