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浙江杭州市2025-2026学年第二学期高三二模教学质量检测数学试卷
一、单选题
1．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．7
2．若（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．设，若，则（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
4．我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3:2.
规格 一号 二号 三号 四号 五号
尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64
根据上表，可以判断五种规格国旗的（ ）
A．周长构成等差数列 B．周长构成等比数列
C．面积构成等差数列 D．面积构成等比数列
5．设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（ ）
A．1 B．2 C． D．
6．设函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知向量，满足，，设，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．设椭圆C：，点和均为椭圆C的顶点，点M，N在椭圆C上. 若，则四边形面积的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．2
二、多选题
9．在中，，，，则（ ）
A． B．的面积为6
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．，是增函数
B．，是奇函数
C．若有三个不同的零点，，，则
D．过点且与曲线相切的直线恰有3条，则
11．选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（ ）
A．，
B．，，
C．，
D．，，
三、填空题
12．设函数，则______.
13．已知双曲线E：的右焦点为F，过原点O的直线交E于P，Q两点，且. 若直线的斜率为，则双曲线E的离心率为______.
14．一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色.若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为______.
四、解答题
15．设公比为q的等比数列的前n项和为，且.
(1)求q和;
(2)求.
16．如图，正四棱锥的所有棱长均为2，点M是棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)设点Q在棱上，求平面与平面所成角的余弦值的最大值.
17．某公交车每10分钟发一班车，但由于交通状况，实际到达某一固定站点的时间间隔不稳定.为了研究乘客的等待时间，随机记录了50名乘客的等待时间，数据整理如下表（单位：分钟）：
等待时间
频数 20 14 10 6
(1)估计这50名乘客的平均等待时间（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)记乘客等待时间为，随机变量X服从指数分布，且取值不超过的概率为，其中是自然对数的底数.
（i）证明：对于任意的，有；
（ii）如果小明已经等公交车等了5分钟，记他还需要的等待时间为（单位：分钟）.他利用人工智能辅助决定：若，则坐公交车（费用2元）；若，则打车（费用20元）.求小明的交通费用的均值.
18．已知抛物线：的焦点为F，顶点为，点在上.
(1)求的方程；
(2)已知点在上，过M且斜率为2的直线交于点Q，令.
（i）求点P的坐标（用t表示）；
（ii）设直线与的另一个交点为N，焦点F到直线的距离是否存在最大值 若存在求其最大值.若不存在，请说明理由.
19．（1）已知，证明：；
（2）设，若恒成立，求正整数的最大值；
（3）求证：.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B A C B D B BC ACD
题号 11
答案 ABD
12．2
13．/
14．82
15．（1）解:(1)设数列公比为，那么
当时,,又,所以,,
当时,两式相减得,即,
所以，,
，解得;
（2）由(1)得.
16．（1）因为的所有棱长相等，点是棱的中点，
所以，，
又因为，平面，
所以平面.
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，以过点且垂直于底面的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，
设，由（1）知平面，
则为平面的法向量.
则，，
设平面的法向量为，
则，可取，
记平面与平面所成角为，则.
当时，取到最大值.
17．（1）平均时间.
（2）（i）证明：由题意知，，
分别记已经等待s分钟和已经等待分钟为事件A和事件B，
则
.
所以对于任意的，有.
（ii）由（i）知，
，
所以费用的期望是（元）.
18．（1）将点代入得，所以：.
（2）
（i）过M点斜率为2的直线，
直线方程，由得，
可得，
设，由得，
即，解得，所以.
（ii）因为，所以直线方程为，
解方程组，得，
所以，
直线：，
整理得，
因此直线过定点.
又，所以，
所以点F到直线的最大距离为.
19．（1）一方面，记，.
则，故在上单调递增，即.
另一方面，记，.
所以，故在上单调递增，即.
综上，，成立.
（2）当时，由（1）知，故恒成立.
一方面，取，则；
另一方面，当时，记，则.
由知，
所以，故单调递增.进而.
综上，正整数的最大值为2.
（3）当时，由（2），
即.
则，①
下证，，
，
则，
故单调递增.进而，即.
所以结合①可得，即，
所以.

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