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广东省深圳市第七高级中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一下·深圳期中）若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·深圳期中）已知，若，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·深圳期中）已知，则（　　）
A．50 B． C．2 D．
4．（2025高一下·深圳期中）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一下·深圳期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（　　）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
6．（2025高一下·深圳期中）在中，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
7．（2025高一下·深圳期中）已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·深圳期中）设，，，则有（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·深圳期中）下列命题中正确的是（　　）
A．
B．若满足，且与同向，则
C．若，则
D．若是等边三角形，则
10．（2025高一下·深圳期中）有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（　　）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）
D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）
11．（2025高一下·深圳期中）《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（　　）
A．的周长为
B．三个内角，，满足
C．外接圆的直径为
D．的中线的长为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分．
12．（2025高一下·深圳期中）复数的共轭复数为，则　 　.
13．（2025高一下·深圳期中）已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标　 　．
14．（2025高一下·深圳期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·深圳期中）已知复数.
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内对应的点在直线上，求.
16．（2025高一下·深圳期中）如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
17．（2025高一下·深圳期中）分别为内角的对边，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
18．（2025高一下·深圳期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期
（2）若，求函数的值域；
（3）若且，求的值．
19．（2025高一下·深圳期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为，求与向量方向相同的单位向量；
（2）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知；
（ⅰ）求周长的最大值；
（ⅱ）求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，则复数的虚部为.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据复数的概念求其虚部即可.
2．【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量，且，
则，
因为，所以，则与的夹角为.
故答案为：D.
【分析】利用向量的夹角公式求解即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由，可得且，
因为，所以，解得，即，
则.
故答案为：B.
【分析】根据向量模以及数量积的坐标运算公式求和，再根据向量垂直求得，最后根据向量模的坐标运算求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为：.
故答案为：C.
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：对于A，因为，则、、三点不共线，故A错误；
对于B，因为，则、、三点不共线，故B错误；
对于C，因为，
则、、三点共线，故C正确；
对于D，因为，又因为，则、、三点不共线.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件和平面向量基本定理以及向量共线定理，从而逐项判断找出正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；同角三角函数间的基本关系；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，所以，所以，
所以，所以或.
故答案为：D.
【分析】利用同角三角函数商关系化切为弦，再利用正弦的二倍角公式角A和角B的关系即可．
7．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：点在线段上，设，且，
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，则，
由，
故，
所以，
由于，所以.
故答案为：A.
【分析】由点在线段上，设，建立空间直角坐标系，写出相应点坐标，表示出，根据，求解即可.
8．【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；半角公式；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，
，
，
则，又因为，所以，即，
故.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简a，利用正切的二倍角公式化简b，利用余弦的二倍角公式化简c，再比较大小即可.
9．【答案】A,D
【知识点】向量的物理背景与基本概念；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、，当且仅当方向相同时取到等号，故A正确；
B、向量是矢量，不能比较大小，故B错误；
C、 若，则，即或者或，故C错误；
D、若是等边三角形，则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据向量的加法性质即可判断A；根据向量是矢量，不能比较大小即可判断B；根据向量的数量积运算求解即可判断C；根据向量的夹角求解即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由函数图象上的横坐标缩短为原来的倍，得到，
再将函数向左平移个单位，得到，故A不正确，B正确；
由函数向左平移个单位，得到，
再将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，得到，故C正确，D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据三角函数的图象的平移、伸缩变换的原则求解判断即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得．
A、设
，
解得的周长为，故A正确；
B、由余弦定理得，，故B正确；
C、由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确；
D、由中线定理得，即，
，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用正弦定理得三角形三边之比，设出利用面积公式即可求出m，即可判断A；利用余弦定理可求得，可得，可得三个内角，，成等差数列即可判断；利用正弦定理可得，外接圆直径可得的值即可判断；
由题意利用中线定理即可计算即可判断．
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：.
【分析】先根据复数代数形式的乘除法运算化简求得复数，再根据共轭复数的定义求解即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：设，由题意可得，
则，即，即，解得，
故点的坐标为.
故答案为：.
【分析】设，由题意可得，利用向量的坐标运算求解即可.
14．【答案】54m
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
在中，，，
，
由正弦定理，可得，
则在中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：54m.
【分析】先在中，求的长度，再在中，利用正弦定理求，最后在中求的长，即可得索菲亚教堂的高度 .
15．【答案】（1）解：若为纯虚数，则，解得 ；
（2）解：由题意可得，解得，则，.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据纯虚数的概念列式求解即可；
（2）根据复数在复平面内的表示，将对应的点代入直线方程列关于m的方程，求得z，再求复数的模即可.
（1）若为纯虚数，则，解得.
（2）由题意可得，
解得，
所以，所以.
16．【答案】（1）解：在菱形中，，
故，
故，
所以.
（2）解：因为，
所以
，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
则，
故.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意结合菱形的结构特征，从而得出，进而得出x，y的值，则得出的值.
（2）利用已知条件结合，从而得出，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值.
（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
17．【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，因为，所以；
（2）解：，，由余弦定理，可得，解得，
因为，，所以，
则的面积．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数基本关系，结合三角形的面积公式求解即可.
（1）因为，
所以，
即，
又，所以．
（2）由余弦定理得，
即，解得或（舍去）．
因为，，
所以，
所以的面积．
18．【答案】（1）解：，
则函数的最小正周期为；
（2）解：由，可得，则，即，
故函数的值域为；
（3）解：因为，所以，
且，即，，
则，
.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)根据正弦、余弦的二倍角公式和辅助角公式化简函数，再利用函数的最小正周期公式，求周期即可；
(2)由，求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求函数的值域即可；
(3)根据范围，求得的取值范围，问题转化为解方程，结合代入求解即可.
（1）由题意可得：
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为.
（3）因为，则，
且，即，
可得，
所以
，
所以.
19．【答案】（1）解：，即，
则与向量方向相同的单位向量为；
（2）解：（ⅰ）由函数的“源向量”为，可得，
因为，所以，又因为，所以，
在中，，由余弦定理得，可得，
，即，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，则周长的最大值为；
（ⅱ），
因为，所以，所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
则的最大值为16.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；单位向量；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式将化为形式，再由“源向量”与“伴随函数”概念求解即可；
（2）（ⅰ）由函数的“源向量”为，可得，由余弦定理得，再利用基本不等式求解的最大值即可；
（ⅱ）利用向量的模长公式，结合基本不等式求解即可.
（1）因为
所以
所以与向量方向相同的单位向量为
（2）（ⅰ）由于函数的“源向量”为，所以，
又因为，所以，又因为，所以
在中，，由余弦定理得：
即
又由基本不等式得：
所以，即
所以，当且仅当时取等号.
所以，
所以周长的最大值为
（ⅱ），
又，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
即的最大值为16.
1 / 1广东省深圳市第七高级中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高一下·深圳期中）若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由，可得，则复数的虚部为.
故答案为：A.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算化简求得，再根据复数的概念求其虚部即可.
2．（2025高一下·深圳期中）已知，若，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：向量，且，
则，
因为，所以，则与的夹角为.
故答案为：D.
【分析】利用向量的夹角公式求解即可.
3．（2025高一下·深圳期中）已知，则（　　）
A．50 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由，可得且，
因为，所以，解得，即，
则.
故答案为：B.
【分析】根据向量模以及数量积的坐标运算公式求和，再根据向量垂直求得，最后根据向量模的坐标运算求解即可.
4．（2025高一下·深圳期中）已知，且，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为：.
故答案为：C.
【分析】根据投影向量的定义求解即可.
5．（2025高一下·深圳期中）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（　　）
A．、、三点共线 B．、、三点共线
C．、、三点共线 D．、、三点共线
【答案】C
【知识点】平面向量的共线定理
【解析】【解答】解：对于A，因为，则、、三点不共线，故A错误；
对于B，因为，则、、三点不共线，故B错误；
对于C，因为，
则、、三点共线，故C正确；
对于D，因为，又因为，则、、三点不共线.
故答案为：C．
【分析】利用已知条件和平面向量基本定理以及向量共线定理，从而逐项判断找出正确的选项.
6．（2025高一下·深圳期中）在中，，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】简单的三角恒等变换；同角三角函数间的基本关系；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：由，可得，
因为，所以，所以，
所以，所以或.
故答案为：D.
【分析】利用同角三角函数商关系化切为弦，再利用正弦的二倍角公式角A和角B的关系即可．
7．（2025高一下·深圳期中）已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：点在线段上，设，且，
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，则，
由，
故，
所以，
由于，所以.
故答案为：A.
【分析】由点在线段上，设，建立空间直角坐标系，写出相应点坐标，表示出，根据，求解即可.
8．（2025高一下·深圳期中）设，，，则有（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的余弦公式；二倍角的正切公式；半角公式；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：，
，
，
则，又因为，所以，即，
故.
故答案为：A.
【分析】利用余弦的二倍角公式化简a，利用正切的二倍角公式化简b，利用余弦的二倍角公式化简c，再比较大小即可.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·深圳期中）下列命题中正确的是（　　）
A．
B．若满足，且与同向，则
C．若，则
D．若是等边三角形，则
【答案】A,D
【知识点】向量的物理背景与基本概念；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：A、，当且仅当方向相同时取到等号，故A正确；
B、向量是矢量，不能比较大小，故B错误；
C、 若，则，即或者或，故C错误；
D、若是等边三角形，则，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】根据向量的加法性质即可判断A；根据向量是矢量，不能比较大小即可判断B；根据向量的数量积运算求解即可判断C；根据向量的夹角求解即可判断D.
10．（2025高一下·深圳期中）有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（　　）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
C．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）
D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变）
【答案】B,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由函数图象上的横坐标缩短为原来的倍，得到，
再将函数向左平移个单位，得到，故A不正确，B正确；
由函数向左平移个单位，得到，
再将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，得到，故C正确，D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据三角函数的图象的平移、伸缩变换的原则求解判断即可.
11．（2025高一下·深圳期中）《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（　　）
A．的周长为
B．三个内角，，满足
C．外接圆的直径为
D．的中线的长为
【答案】A,B,C
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得．
A、设
，
解得的周长为，故A正确；
B、由余弦定理得，，故B正确；
C、由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确；
D、由中线定理得，即，
，故D错误．
故答案为：ABC．
【分析】利用正弦定理得三角形三边之比，设出利用面积公式即可求出m，即可判断A；利用余弦定理可求得，可得，可得三个内角，，成等差数列即可判断；利用正弦定理可得，外接圆直径可得的值即可判断；
由题意利用中线定理即可计算即可判断．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分．
12．（2025高一下·深圳期中）复数的共轭复数为，则　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：.
【分析】先根据复数代数形式的乘除法运算化简求得复数，再根据共轭复数的定义求解即可.
13．（2025高一下·深圳期中）已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：设，由题意可得，
则，即，即，解得，
故点的坐标为.
故答案为：.
【分析】设，由题意可得，利用向量的坐标运算求解即可.
14．（2025高一下·深圳期中）圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为　 　．
【答案】54m
【知识点】解三角形；正弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，，，
在中，，，
，
由正弦定理，可得，
则在中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故答案为：54m.
【分析】先在中，求的长度，再在中，利用正弦定理求，最后在中求的长，即可得索菲亚教堂的高度 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高一下·深圳期中）已知复数.
（1）若为纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内对应的点在直线上，求.
【答案】（1）解：若为纯虚数，则，解得 ；
（2）解：由题意可得，解得，则，.
【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示
【解析】【分析】（1）根据纯虚数的概念列式求解即可；
（2）根据复数在复平面内的表示，将对应的点代入直线方程列关于m的方程，求得z，再求复数的模即可.
（1）若为纯虚数，则，解得.
（2）由题意可得，
解得，
所以，所以.
16．（2025高一下·深圳期中）如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
【答案】（1）解：在菱形中，，
故，
故，
所以.
（2）解：因为，
所以
，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
则，
故.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）由题意结合菱形的结构特征，从而得出，进而得出x，y的值，则得出的值.
（2）利用已知条件结合，从而得出，再结合数量积的运算法则和数量积的定义，从而得出的值.
（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
17．（2025高一下·深圳期中）分别为内角的对边，已知．
（1）求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：，由正弦定理可得，
即，因为，所以；
（2）解：，，由余弦定理，可得，解得，
因为，，所以，
则的面积．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）先利用余弦定理求出，再利用同角三角函数基本关系，结合三角形的面积公式求解即可.
（1）因为，
所以，
即，
又，所以．
（2）由余弦定理得，
即，解得或（舍去）．
因为，，
所以，
所以的面积．
18．（2025高一下·深圳期中）已知函数．
（1）求函数的最小正周期
（2）若，求函数的值域；
（3）若且，求的值．
【答案】（1）解：，
则函数的最小正周期为；
（2）解：由，可得，则，即，
故函数的值域为；
（3）解：因为，所以，
且，即，，
则，
.
【知识点】简单的三角恒等变换；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)根据正弦、余弦的二倍角公式和辅助角公式化简函数，再利用函数的最小正周期公式，求周期即可；
(2)由，求得的取值范围，再利用正弦函数的性质求函数的值域即可；
(3)根据范围，求得的取值范围，问题转化为解方程，结合代入求解即可.
（1）由题意可得：
，
所以函数的最小正周期为.
（2）因为，则，
可得，即，
所以函数的值域为.
（3）因为，则，
且，即，
可得，
所以
，
所以.
19．（2025高一下·深圳期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
（1）若向量的“伴随函数”为，求与向量方向相同的单位向量；
（2）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知；
（ⅰ）求周长的最大值；
（ⅱ）求的最大值．
【答案】（1）解：，即，
则与向量方向相同的单位向量为；
（2）解：（ⅰ）由函数的“源向量”为，可得，
因为，所以，又因为，所以，
在中，，由余弦定理得，可得，
，即，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，则周长的最大值为；
（ⅱ），
因为，所以，所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
则的最大值为16.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；单位向量；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形
【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式将化为形式，再由“源向量”与“伴随函数”概念求解即可；
（2）（ⅰ）由函数的“源向量”为，可得，由余弦定理得，再利用基本不等式求解的最大值即可；
（ⅱ）利用向量的模长公式，结合基本不等式求解即可.
（1）因为
所以
所以与向量方向相同的单位向量为
（2）（ⅰ）由于函数的“源向量”为，所以，
又因为，所以，又因为，所以
在中，，由余弦定理得：
即
又由基本不等式得：
所以，即
所以，当且仅当时取等号.
所以，
所以周长的最大值为
（ⅱ），
又，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当时取等号，
所以，
即的最大值为16.
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