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广东省深圳市福田区外国语高级中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·福田期中）在等比数列中，，，则公比（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高二下·福田期中）的展开式中二项式系数最大的项为（　　）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
3．（2025高二下·福田期中）甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·福田期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（　　）
P
A． B． C． D．
5．（2025高二下·福田期中）已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（　　）
A．-36或36 B．-36 C．36 D．18
6．（2025高二下·福田期中）某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·福田期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·福田期中）函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…….一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数.若，则（　　）
A． B．50 C．49 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·福田期中）如图，这是函数的导函数的图象，则（　　）
A．在处取得极大值 B．是的极小值点
C．在上单调递减 D．是的极小值
10．（2025高二下·福田期中）已知的展开式中第3项与第7项的系数相等，则（　　）
A．
B．的展开式中项的系数为56
C．奇数项的二项式系数和为128
D．的展开式中项的系数为
11．（2025高二下·福田期中）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·福田期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是　 　．
13．（2025高二下·福田期中）在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，则d=　 　．
14．（2025高二下·福田期中）已知函数的定义域为，，对任意，恒成立，则的解集为　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·福田期中）已知函数在处取得极值．
（1）求，的值；
（2）求曲线在处的切线方程．
16．（2025高二下·福田期中）已知数列{}的前n项和为，且2=3-3（n∈）
（1）求数列{}的通项公式
（2）若=（n+1），求数列{}的前n项和
17．（2025高二下·福田期中）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为.
（1）求该嘉宾获得公益基金元的概率；
（2）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
（3）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．
18．（2025高二下·福田期中） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
19．（2025高二下·福田期中）如果数列满足：且，则称数列为“阶万物数列”．
（1）若某“4阶万物数列”是等比数列，求该数列的各项；
（2）若某“9阶万物数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若为“阶万物数列”，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：在等比数列中，，，
则，则得，则公比.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而建立首项和公比的方程组，再解方程组得出首项和公比的值.
2．【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：在的展开式中，项的二项式系数为，
根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大．
故答案为：C.
【分析】根据题意结合二项展开式中二项式系数的性质，从而得出的展开式中二项式系数最大的项.
3．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：依题意甲、乙、丙每位同学的第三门高考选考科目都有种选择，
按照分步乘法计数原理可知不同的选法种数为.
故答案为：A．
【分析】由题可知，每位同学有种选择，再利用分步乘法计算原理求解．
4．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得，即，则，
而，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用分布列的性质可得，再利用期望公式可得，再利用方差公式求即可求解.
5．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得，
则，故.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式求得，再求的值，最后利用等差数列前项和公式计算即可.
6．【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件，其概率为，
设女生乙被选中为事件，
则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式得出在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率。
7．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数，可得，
因为函数在区间上单调递增，即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，可得，
所以在上单调递增，所以，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：B．
【分析】求导，再参变分离得在区间上恒成立，令，再结合导数确定的单调性及最值即可．
8．【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由，则，，
，，
依此类推，所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用复合函数的求导法则求得的前几项，找规律写出，代入求解即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数的图象可知，当时，
当时，当时，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，上单调递增，
所以在处取得极大值，在和处取得极小值，故A、B、C正确；
因为，且在上单调递减，处导函数未变号，不是极值点，
所以不是的极小值，故D错误.
故答案为：ABC．
【分析】根据的图象，确定的符号，根据的符号确定得到的单调性，根据单调性确定极值，再逐项判断即可．
10．【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为的展开式通项为（且），
所以的展开式的第项的系数为，
依题意可得，所以，故A正确；
因为的展开式通项为（且），
所以项的系数为，故B错误；
奇数项的二项式系数和为，故C正确；
根据二项式定理，表示个相乘，
所以在这个因式中，其中个选择，个选择，个选择，
所以的展开式中项的系数为，故D正确；
故答案为：ACD
【分析】利用二项式定理求得的展开通项为 ，进而得到 ，解得即可判断A；代入通项可判断B；根据所有奇数项的二项式系数和为判断C；根据二项展开的组合性质判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】等比数列的前n项和；数列的应用；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，
故，即，故，，，，…，，
累加可得
，
所以，故A正确，C正确；
又，故，即，
又，，，…，，
累加可得，
故，故B，D错误.
故答案为：AC．
【分析】对于A，由图可知；对于B，由图可知；对于C，由题可得；对于D，由题可得，再运用累加法及等比数列前项和公式求解．
12．【答案】0.76
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设“买到的产品是甲厂产品”为事件，“买到的产品是乙厂产品”为事件.
已知甲厂产品占，乙厂产品占，所以，.
记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件.
因为甲厂产品的合格率是，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率；
又因为乙厂产品的合格率是，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率.
根据全概率公式.
将，，，代入上式可得：
．
故答案为：．
【分析】根据题意，理清事件，再由全概率公式进行计算即可．
13．【答案】2
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，可得a32=a2（a4+1），
即为（2+2d）2=（2+d）（2+3d+1），化为d2﹣d﹣2=0，解得d=2或﹣1，
若d=2，即有4，6，9成等比数列；
若d=﹣1，即有1，0，0不成等比数列．则d=2成立．
故答案为：2．
【分析】由等差数列和等比数列的定义可求得。
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：令，所以，故在上单调递增，
又由，所以当时，，即，
所以的解集为．
故答案为：．
【分析】令，求导易得在上单调递增，再由，可得时，，据此可解.
15．【答案】（1）解：由函数，可得，
因为函数在处取得极值，
可得，解得，，
经验证，当时，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数处取得极小值，符合题意，
所以，.
（2）解：由（1）知：，且，
可得且，
此时切线方程为，即；
综上，曲线在处的切线方程为.
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】求导，根据题意可得，再解方程组即可；
（2）由（1）知：，且，再利用导数的几何意义求切线方程即可．
（1）解：由函数，可得，
因为函数在处取得极值，
可得，解得，，
经验证，当时，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数处取得极小值，符合题意，
所以，.
（2）解：由（1）知：，且，
可得且，
此时切线方程为，即；
综上，曲线在处的切线方程为.
16．【答案】（1）解： 数列{}的前n项和为，且2=3-3（n∈） ，
当时，，解得，
当时，，
则，即，
因为，，所以，则是以为首项，以3为公比的等比数列，且；
（2）解：由(1)知，，
①，
②，
①-②得，
整理得，
，
则.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据通项与前n项和的关系，结合等比数列的定义求数列 {} 的通项公式即可；
（2）由（1）得，再利用错位相减求和法求和即可.
（1）当时，，解得，
当时，，
则，即，
又，则，
∴，故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为；
（2）由(1)知，所以，
所以①，
则②，
①-②，得，
整理，得，
，
所以.
17．【答案】（1）由题设，嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，
所以；
（2）记=“第一关成功且获得公益基金为零”，=“第一关成功第二关失败”，“前两关成功第三关失败”，
则互斥，且.
又，，
所以；
（3）由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额可能值为，
，，，.
随机变量的分布列为：
0 1000 3000 6000
所以元．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题可知嘉宾在第一关成功并放弃第二关，在结合独立事件的乘法公式求概率即可；
（2）由题可知嘉宾第一关成功第二关失败或前两关成功第三关失败，再设对应事件，利用独立事件的乘法公式求概率即可；
（3）由题可知可取，利用独立事件乘法公式求出对应概率，列出分布列并计算期望即可．
（1）由题设，嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，
所以；
（2）记=“第一关成功且获得公益基金为零”，=“第一关成功第二关失败”，“前两关成功第三关失败”，则互斥，且.
又，，
所以；
（3）由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额可能值为，
，，，.
随机变量的分布列为：
0 1000 3000 6000
所以元.
18．【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
19．【答案】（1）解：设等比数列的公比为，显然，
因为，所以，解得，
又因为，所以，所以，
则“4阶万物数列”为，，，，或者是，，；
（2）解：设等差数列的公差为，由可得，即，即，
当时，，此时，不是“9阶万物数列”，
当时，由和，
可得，解得，，
所以，
当时，由和，可得，
解得，．所以，
综上所述，或；
（3）证明：由已知可知，必有，也必有，其中，，且，
设，，，是数列中所有大于0的数，
，，，是数列中所有小于0的数．
由已知可得，，
则．
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，利用等比数列前n项和公式可得，结合题意求解即可；
（2）由等差数列前n项和公式可得，再分，和，结合条件求解即可；
（3）将数列中的正数项和负数项分开相加，得由已知可得，，再利用放缩法证明即可.
（1）设等比数列的公比为，显然．
由，可得，解得．
由可得，所以．
所以“4阶万物数列”为，，，，或者是，，，．
（2）设等差数列的公差为，
由可得，即，即．
当时，，此时，不是“9阶万物数列”．
当时，由和，
可得，解得，．
所以．
当时，由和，可得，
解得，．所以．
综上所述，或．
（3）由已知可知，必有，也必有，其中，，且，
设，，，是数列中所有大于0的数，
，，，是数列中所有小于0的数．
由已知可得，．
所以
．
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025高二下·福田期中）在等比数列中，，，则公比（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：在等比数列中，，，
则，则得，则公比.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合等比数列的通项公式，从而建立首项和公比的方程组，再解方程组得出首项和公比的值.
2．（2025高二下·福田期中）的展开式中二项式系数最大的项为（　　）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项
【答案】C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：在的展开式中，项的二项式系数为，
根据二项式系数的性质得，当时，，即第四项的二项式系数最大．
故答案为：C.
【分析】根据题意结合二项展开式中二项式系数的性质，从而得出的展开式中二项式系数最大的项.
3．（2025高二下·福田期中）甲、乙、丙三名高一学生都已选择物理、化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治、历史、地理、生物、技术中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列数的基本计算；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：依题意甲、乙、丙每位同学的第三门高考选考科目都有种选择，
按照分步乘法计数原理可知不同的选法种数为.
故答案为：A．
【分析】由题可知，每位同学有种选择，再利用分步乘法计算原理求解．
4．（2025高二下·福田期中）已知随机变量的分布列如下表，若，则（　　）
P
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得，即，则，
而，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用分布列的性质可得，再利用期望公式可得，再利用方差公式求即可求解.
5．（2025高二下·福田期中）已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（　　）
A．-36或36 B．-36 C．36 D．18
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为q，因为，，所以，解得，
则，故.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式求得，再求的值，最后利用等差数列前项和公式计算即可.
6．（2025高二下·福田期中）某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率与独立事件
【解析】【解答】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，
设男生甲被选中为事件，其概率为，
设女生乙被选中为事件，
则男生甲被选中且女生乙也被选中的概率为，
所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合条件概型求概率公式得出在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率。
7．（2025高二下·福田期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由函数，可得，
因为函数在区间上单调递增，即在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，可得，
所以在上单调递增，所以，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：B．
【分析】求导，再参变分离得在区间上恒成立，令，再结合导数确定的单调性及最值即可．
8．（2025高二下·福田期中）函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数…….一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数.若，则（　　）
A． B．50 C．49 D．
【答案】A
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：由，则，，
，，
依此类推，所以.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件，利用复合函数的求导法则求得的前几项，找规律写出，代入求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高二下·福田期中）如图，这是函数的导函数的图象，则（　　）
A．在处取得极大值 B．是的极小值点
C．在上单调递减 D．是的极小值
【答案】A,B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由导函数的图象可知，当时，
当时，当时，当时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，上单调递增，
所以在处取得极大值，在和处取得极小值，故A、B、C正确；
因为，且在上单调递减，处导函数未变号，不是极值点，
所以不是的极小值，故D错误.
故答案为：ABC．
【分析】根据的图象，确定的符号，根据的符号确定得到的单调性，根据单调性确定极值，再逐项判断即可．
10．（2025高二下·福田期中）已知的展开式中第3项与第7项的系数相等，则（　　）
A．
B．的展开式中项的系数为56
C．奇数项的二项式系数和为128
D．的展开式中项的系数为
【答案】A,C,D
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：因为的展开式通项为（且），
所以的展开式的第项的系数为，
依题意可得，所以，故A正确；
因为的展开式通项为（且），
所以项的系数为，故B错误；
奇数项的二项式系数和为，故C正确；
根据二项式定理，表示个相乘，
所以在这个因式中，其中个选择，个选择，个选择，
所以的展开式中项的系数为，故D正确；
故答案为：ACD
【分析】利用二项式定理求得的展开通项为 ，进而得到 ，解得即可判断A；代入通项可判断B；根据所有奇数项的二项式系数和为判断C；根据二项展开的组合性质判断D.
11．（2025高二下·福田期中）如图，是一块半径为1的半圆形纸板，在的左下端剪去一个半径为的半圆后得到图形，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个剪掉半圆的半径）得图形，记纸板的周长为，面积为，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】等比数列的前n项和；数列的应用；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：根据题意可得纸板相较于纸板剪掉了半径为的半圆，
故，即，故，，，，…，，
累加可得
，
所以，故A正确，C正确；
又，故，即，
又，，，…，，
累加可得，
故，故B，D错误.
故答案为：AC．
【分析】对于A，由图可知；对于B，由图可知；对于C，由题可得；对于D，由题可得，再运用累加法及等比数列前项和公式求解．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高二下·福田期中）已知某地市场上供应的一种电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格产品的概率是　 　．
【答案】0.76
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设“买到的产品是甲厂产品”为事件，“买到的产品是乙厂产品”为事件.
已知甲厂产品占，乙厂产品占，所以，.
记“从该地市场上买到一个合格产品”为事件.
因为甲厂产品的合格率是，所以在买到甲厂产品的条件下，产品合格的概率；
又因为乙厂产品的合格率是，所以在买到乙厂产品的条件下，产品合格的概率.
根据全概率公式.
将，，，代入上式可得：
．
故答案为：．
【分析】根据题意，理清事件，再由全概率公式进行计算即可．
13．（2025高二下·福田期中）在等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，则d=　 　．
【答案】2
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：等差数列{an}中，a1=2，公差为d，且a2，a3，a4+1成等比数列，可得a32=a2（a4+1），
即为（2+2d）2=（2+d）（2+3d+1），化为d2﹣d﹣2=0，解得d=2或﹣1，
若d=2，即有4，6，9成等比数列；
若d=﹣1，即有1，0，0不成等比数列．则d=2成立．
故答案为：2．
【分析】由等差数列和等比数列的定义可求得。
14．（2025高二下·福田期中）已知函数的定义域为，，对任意，恒成立，则的解集为　 　．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的单调性；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：令，所以，故在上单调递增，
又由，所以当时，，即，
所以的解集为．
故答案为：．
【分析】令，求导易得在上单调递增，再由，可得时，，据此可解.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2025高二下·福田期中）已知函数在处取得极值．
（1）求，的值；
（2）求曲线在处的切线方程．
【答案】（1）解：由函数，可得，
因为函数在处取得极值，
可得，解得，，
经验证，当时，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数处取得极小值，符合题意，
所以，.
（2）解：由（1）知：，且，
可得且，
此时切线方程为，即；
综上，曲线在处的切线方程为.
【知识点】导数的几何意义；导数的加法与减法法则；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】求导，根据题意可得，再解方程组即可；
（2）由（1）知：，且，再利用导数的几何意义求切线方程即可．
（1）解：由函数，可得，
因为函数在处取得极值，
可得，解得，，
经验证，当时，
当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数处取得极小值，符合题意，
所以，.
（2）解：由（1）知：，且，
可得且，
此时切线方程为，即；
综上，曲线在处的切线方程为.
16．（2025高二下·福田期中）已知数列{}的前n项和为，且2=3-3（n∈）
（1）求数列{}的通项公式
（2）若=（n+1），求数列{}的前n项和
【答案】（1）解： 数列{}的前n项和为，且2=3-3（n∈） ，
当时，，解得，
当时，，
则，即，
因为，，所以，则是以为首项，以3为公比的等比数列，且；
（2）解：由(1)知，，
①，
②，
①-②得，
整理得，
，
则.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据通项与前n项和的关系，结合等比数列的定义求数列 {} 的通项公式即可；
（2）由（1）得，再利用错位相减求和法求和即可.
（1）当时，，解得，
当时，，
则，即，
又，则，
∴，故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为；
（2）由(1)知，所以，
所以①，
则②，
①-②，得，
整理，得，
，
所以.
17．（2025高二下·福田期中）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名．规则如下：参赛选手按第一关，第二关，第三关的顺序依次猜歌名闯关，若闯关成功则依次分别获得公益基金元，元，元，当选手闯过一关后，可以选择游戏结束，带走相应公益基金；也可以继续闯下一关，若有任何一关闯关失败，则游戏结束，全部公益基金清零．假设某嘉宾第一关，第二关，第三关闯关成功的概率分别是，，，该嘉宾选择继续闯第二关、第三关的概率分别为.
（1）求该嘉宾获得公益基金元的概率；
（2）求该嘉宾第一关闯关成功且获得公益基金为零的概率；
（3）求该嘉宾获得的公益基金总金额的分布列及数学期望．
【答案】（1）由题设，嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，
所以；
（2）记=“第一关成功且获得公益基金为零”，=“第一关成功第二关失败”，“前两关成功第三关失败”，
则互斥，且.
又，，
所以；
（3）由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额可能值为，
，，，.
随机变量的分布列为：
0 1000 3000 6000
所以元．
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题可知嘉宾在第一关成功并放弃第二关，在结合独立事件的乘法公式求概率即可；
（2）由题可知嘉宾第一关成功第二关失败或前两关成功第三关失败，再设对应事件，利用独立事件的乘法公式求概率即可；
（3）由题可知可取，利用独立事件乘法公式求出对应概率，列出分布列并计算期望即可．
（1）由题设，嘉宾获得公益基金元的事件为第一关成功并放弃第二关，
所以；
（2）记=“第一关成功且获得公益基金为零”，=“第一关成功第二关失败”，“前两关成功第三关失败”，则互斥，且.
又，，
所以；
（3）由题设知：嘉宾获得的公益基金总金额可能值为，
，，，.
随机变量的分布列为：
0 1000 3000 6000
所以元.
18．（2025高二下·福田期中） 已知函数.
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时，.
【答案】（1）当时，此时单调递减；
当时， . 此时与均单调递减，所以单调递减；
当时，，令则，
∴当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
综上所述：当时，单调递减；
当时，当，单调递减；当，单调递增。
（2）要证当时，，只需证，
由（1）知，即证，
当时，恒成立，
令，则只需证，
，易知单调递增，且，
所以当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增。
所以.
综上所述，当时，
【知识点】函数单调性的判断与证明；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）根据题意，分类讨论a的常规正负三种分类情形，结合基本函数单调性与求导分析即得答案。
(2) 将条件转化为恒成立问题，求导分析函数单调性得出极值。
19．（2025高二下·福田期中）如果数列满足：且，则称数列为“阶万物数列”．
（1）若某“4阶万物数列”是等比数列，求该数列的各项；
（2）若某“9阶万物数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（3）若为“阶万物数列”，求证：．
【答案】（1）解：设等比数列的公比为，显然，
因为，所以，解得，
又因为，所以，所以，
则“4阶万物数列”为，，，，或者是，，；
（2）解：设等差数列的公差为，由可得，即，即，
当时，，此时，不是“9阶万物数列”，
当时，由和，
可得，解得，，
所以，
当时，由和，可得，
解得，．所以，
综上所述，或；
（3）证明：由已知可知，必有，也必有，其中，，且，
设，，，是数列中所有大于0的数，
，，，是数列中所有小于0的数．
由已知可得，，
则．
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）设等比数列的公比为，利用等比数列前n项和公式可得，结合题意求解即可；
（2）由等差数列前n项和公式可得，再分，和，结合条件求解即可；
（3）将数列中的正数项和负数项分开相加，得由已知可得，，再利用放缩法证明即可.
（1）设等比数列的公比为，显然．
由，可得，解得．
由可得，所以．
所以“4阶万物数列”为，，，，或者是，，，．
（2）设等差数列的公差为，
由可得，即，即．
当时，，此时，不是“9阶万物数列”．
当时，由和，
可得，解得，．
所以．
当时，由和，可得，
解得，．所以．
综上所述，或．
（3）由已知可知，必有，也必有，其中，，且，
设，，，是数列中所有大于0的数，
，，，是数列中所有小于0的数．
由已知可得，．
所以
．
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